高一寒假第3讲数列的小伙伴们教师版目标班.pdf

高一寒假 第3讲 数列的小伙伴们 教师版 目标班 第 1 页 本讲内容分成两部分：31 等比数列的基本量；32 等比数列的性质初步本讲内容较少，可以与上一讲进行一个时间上的均衡本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些具体的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等比数列的项数再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质希望把概念分开讲解，分别配例题国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽量不满分晋级 知识切片 数列 1 级 与数列的第一次亲密接触 数列 2 级 数列的小数列 3 级 等差数列深入 第 3 讲 数列的小伙伴们 第 2 页 用了，由汉诺塔引入 等比数列引入 汉诺塔 在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，印度教的主神大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔（如下图）不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘：一次只移动一片，不管在哪根柱子上，小圆盘必在大圆盘上面当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题”要把圆盘移动到另外一根柱子上，至少需要移动多少次呢？设有n个圆盘，要从A移动到C，至少需要移动的次数为na易知1 2n ，时，1213aa，3n 的时候，可以考虑先将上面两个小的移到B上，要23a 次，再将最大的那个移到C上，要1次，最后将B上的两个移到C上，要23a 3.1 等比数列基本量计算 第 3 页 次，总共要2217a 次 对于一般的n，我们可以类似考虑（如下图）：先将上面1n 个圆盘移到B上，要1na次；然后将最大的那个盘子移到C上，要1次移动；最后再将B上的那1n 个圆盘移到C上，要1na次这种方法需要的次数为111121nnnaaa 下面简单说明一下，至少要移动的次数121nnaa只需要考虑最大的那个圆盘移动到C上的时候，此时，比较小的1n 个圆盘必定是图中的摆放方式，这1n 个圆盘从A到B要1na次，然后这1n 个盘子移到C又要1na次，因此总共至少要121na次才行 综上可得到数列 na的递推公式121nnaa，则（也可变形为1121nnaa，于是2112112121212nnnnnaaaa ）假设一秒钟能移动一次，那完成目标需要的时间就是6421秒，大概是5845亿年，地球是远撑不到那个时候的 当然，我们不是要探讨地球什么时候毁灭，而是要研究像231 2 2 2，这样的数列，比如怎么求和，类似于这样的数列就是等比数列 考点 1：等比数列的概念 1文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它知识点睛 第 4 页 的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母(0)q q 表示 2符号定义：数列 na中，若1nnaqa（q为常数，0q），则称 na为等比数列 对于等比数列定义的详细理解：由于等比数列每一项都可作为分母，故每一项均不为 0，因此q也不为 0 “从第二项起”是因为首项没有“前一项”1nnaa均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与前一项之比，防止前后次序颠倒 如果一个数列不是从第2 项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列这时可以说此数列从第2项起或第3 项起是一个等比数列 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列 常数列都是等差数列，但却不一定是等比数 第 5 页 列若常数列是各项都为 0 的数列，它就不是等比数列当常数列各项不为 0 时，是等比数列 【例1】等比数列的认识 下列数列是等比数列吗?如果是，求出公比，如果不是说明理由【追问】等比数列是不是一定是单调的？【解析】不是等比数列，是等比数列 的项中有 0，此数列从第 2 项起是一个等比数列1q，2q 【追问】主要是希望学生通过一些等比数列的例子探索一下等比数列的单调性，不涉及等比数列的通项公式 1q 时，等比数列是常数列，不单调性；0q 时，等比数列一定是正负交替的，这时数列一定不单调，如1248，；1q，10a 时 数 列 单 调 增 加，如1248，；1q，10a 时，数列单调递减，如经典精讲 第 6 页 1248，；01q，10a 时，数列单调递减，如11124，；01q，10a 时，数列单调递增，如1124，考点2：等比数列的通项公式 已知等比数列 na，首项为1a，公比为q，第n项为na，通项公式：11nnaa q 等比数列通项公式的推导：可以直接迭代，根据等比数列定义有2211221nnnnnaaqaqaqaq 也可以用叠乘法进行推导：根据等比数列的定义，可以得到21aqa，32aqa，43aqa，1nnaqa 把 以 上1n 个 等 式 左 右 两 边 分 相 乘 得13241231nnnaaaaq q qqaaaa个，即11nnaqa，11nnaa q 知识点睛 经典精讲 第n首项 第 7 页【例2】等比数列的基本量与通项公式 已知数列na的通项公式为2 3nna，则首项1a _，公比q _ 等比数列48239，的第4项4a _，第 20 项20a_ 等比数列1113242，的第5项为_，项数n _ 已知等比数列 na中，33a，10384a，则该数列的通项na _ 4 8，；22到52共8项，或是写出通项公式131224nnna知8 323254a 33 2n；根 据 题 意 得：21913384a qa q 得 到1342aq，13323 24nnna 等比数列的求和中一个关键的问题是正确确定数列的项数，等比数列的公比的幂次成等差数列，故等比数列的项数求法用到等差数列的项数求法，这里的挑战五分钟是为了熟悉项数的求法，避免错误题目数量较少，用不到五分钟【挑战五分钟】等比数列12551125，的项数为_ 等 比 数 列333 327，的 项 数 为_ 第 8 页 等比数列11111248256，的项数为_ 等 比 数 列1116442，的 项 数 为_ 等比数列111113612243 2n，的项数为_ 等 比 数 列473103333n，的 项 数 为_ 等 比 数 列4128322n，的 项 数 为_ 等 比 数 列31333n，的 项 数 为_ 011113 23 23 2n，共1n 项；3(3)103(2)10310333n ，共有(3)14nn 项；2 0 12 1 12 21222n ，共21n 项 11202223333n，共有22n 项 已知数列 na是等比数列，28a，432a，则公比q _ 由等比数列的通项公式18aq，3132aq，24q，2q 【点评】如果目测的话，很可能会认为公比是2，漏掉2 考点 3：等比数列的求和公式 知识点睛 第 9 页 等比数列 na的前n项和为nS，有前n项和公式：1111(1)111nnnnaqSaa qaqqqq，1q 时，1nSna；1q 时，11(1)11nnnaa qaqSqq 等比数列前n项和公式的推导：（一般用得多的是前面的求和公式）法一：由等比数列的定义知2132121nnnnaa qaa qaaqaaq，将 这n个 等 式 的 两 边 分 别 相 加 得：23121()nnaaaaaaq，即1()nnnSaSa q，整理得111(1)nnnSqaa qaa q，当1q 时，1(1)(2)1nnaqSnq，显然此式对1n 也成立；当1q 时，1nSna 法二：错位相减法（会在春季同步的求和中再次遇到）将上式两边同乘以q得：231111nnqSa qa qa qa q，na是常 na非常首项 第 10 页 两式相减得：11(1)nnq Saa q，以下讨论同法一 注意等比数列的求和公式对1q 的情况需要单独讨论！当1q 时，将 前n项 和 公 式 整 理 成1(1)1nnaqSq111naa qq11111naaqqqq，即等比数列的前n项和公式一定有nnSccq的形式，给出等比数列的前n项和公式可以快速看出公比q，且nq前面的系数与常数项互为相反数，由此可以快速解决例 4 例：等比数列na的前n项和3nnSr，则3q，1r ；等比数列na的前n项和13nnSr，则3q，整理一下得3 3nnSr，故3r ；等比数列na的前n项和213nnSr，则3 9nnSr，有9q，且3r 这个结论可以这么理解：12nnnaSSn，；这样的式子无法算出1a，故1a常常出问题，见易错门诊；要想1a不成问题，希望110aSS成立，故希望00S，即得nnSccq 经典精讲 第 11 页【铺垫】（2019 东城一模文 11）设na是等比数列，若141,8aa，则q ，数列na的 前6项的和6S 已知数列 na是等比数列，前n项和记为nS，132aq，则6S _ 等比数列4816512，的和为_ 1020；此等比数列的公比为2，可直接用公式1451221020112nnaa qSq；也可算出项数为8，得84(12)102012nS【例3】等比数列的前n项和 等比数列11148256，的和为_ 设4710310()22222nf n（nN），则()f n等于（）A2817n B12817n C32817n D42817n 已知数列 na是等比数列，前n项和记为nS，若12a，公比3q，则使得26nS 的项数n _ 已知等比数列na的前n项和为112nnS，则1a _，na _ 已知等比数列na的前n项和为1136nnSx，则x的值为（）A13 B13 C12 D12 （目标班专用）已知等比数列 na中，332a，392S，第 12 页 求首项1a和公比q D；473102222n，构成以2为首项，8为公比的等比数列，且共有4n 项，故442(18)2()(81)1 87nnf n 3；由 等 比 数 列 的 前n项 和 公 式1(1)2(13)26113nnnaqSq，3n 12n；1112aS，12q，故1111222nnna C；解法一：当0n 时，00S，即1036x，12x 解法二：1136nnSx，116ax，22ax，36ax，由中项公式得2213aa a，即21466xx x，解得12x 或0 x（舍），12x 解法三：1111111nnnaqaaSqqqq，由定义形式可知，136x12x 化简得2210qq，解得12q 或1q；又1232aq，得1312aq，或16a，12q 【点评】一般来说，对于23SS，我们没必要用求和公式去求，这样也省去讨论1q 的麻烦 已知nS求na时，不管是等差数列还是等比数 第 13 页 列，或者其它数列，都要注意1a单独讨论 对第 1 题，因为00S，故数列na是从第2项开始才是等比数列 等比数列的求和中，注意1q 与1q 时，公式是大不相同的，需要分别讨论 1已知数列na的前n项和3nnS，求通项na【解析】当1n 时，113aS；当2n时，1113323nnnnnnaSS 故131232nnnan，2求21nSaaa（其中a为常数）【解析】当0a 时，1S；当1a 时，1Sn；当1a 时，111naSa 例 4 介绍较为复杂的等比数列基本量的计算，在同步班中等比数列的基本量只做课前回顾，不再展开，例 4的【追问】会在春季同步时作为性质展开，此处可作为一个思考的问题【例4】等比数列的基本量综合 数列na的前n项和21nnS，则数列2na的前n项和为（）第 14 页 A221n B21(21)3n C41n D1(41)3n （2019 年丰台区高三一模数学理 10）已知等比数列na的首项为 1，若12342aaa，成等差数列，则数列1na的前 5 项和为_ 【追问 1】已知数列na为等比数列，公比为q（1q），则数列1na，2na，(0)nnaa，lg(0)nnaa，2na中哪些是等比数列？是等比数列的，公比为多少？【追问 2】已知数列na，nb都为等比数列，公比分别为12qq，则数列nnab，nna b，nnab是否为等比数列？是等比数列的，公比为多少？如果12qq，数列nnab是否为等比数列？设等差数列na的公差d不为0，19ad，若ka是1a与2ka的等比中项，则k等于（）A2 B4 C6 D8 （目标班专用）设等比数列na的公比为q，前n项和为nS若12nnnSSS，成等差 数列，则q的值为_【解析】D；由21nnS 知，12nna故214nna，数列2na是公 第 15 页 比为4，首项为1的等比数列，故它的前n项和为141(41)143nn 设数列 na的公比为q，则21344aaa，即244qq，解得2q，所以1*112nnnaN，前 5 项的和为51131211612 追问 1：数列1na，2na，(0)nnaa 都为等比数列，公比分别为21qqq，；lg(0)nnaa 不是等比数列，是等差数列，公差为lgq；2na既不是等比数列，也不是等比数列 追问 2：数列nna b，nnab是等比数列，公比分别为1122qq qq，；数列nnab在12qq时一定不是等比数列；在12qq时，可能不是等比数列，但如果数列nnab中各项都非零的话，一定是等比数列，公比为1q如：22nnnnab，不是等比数列 B；212kkaa a，即2111(1)(21)akda akd 由19ad得：22(8)9(28)kddkd，由0d 得：2(8)18(4)kk，第 16 页 即2280kk，故4k 或2k （负值舍去）解法一：由题意知122nnnSSS，12nnnnSSSS，即112nnnaaa，解法二：由题意知122nnnSSS；若1q，有1112(1)(2)nanana，因为10a，故有223nn，这不可能；若1q，则有12111(1)(1)(1)2111nnnaqaqaqqqq，由0q 可化简得：220qq，解得2q 或1q（舍去）和等差数列类似，等比数列的题目只要知道1a和q后，都可以通过这两个基本量的各种运算来求解同样的如果总是生搬基本公式的话，计算量会很大，准确率会降低，因此我们还需要学习一些省时省事的小技巧，即等比数列的一些简单性质当然也不能舍本逐末，等比数列的基本量的基础运算还是最重要的，性质只是辅助基本概念明白透彻了，性质也会更容易理解 学习等比数列的性质，可以和等差数列的3.2 等比数列性质初步 第 17 页 性质对照引入 考点 4：等比数列的性质 1等比中项：三个数x，G，y组成等比数列，G叫做x，y的等比中项 如果G是x和y的等比中项，则2Gxy 2等比数列na的主要性质：若 na是等比数列，则n mnmaaq 若 na是等比数列，m，n，p，tN，当mnpt时，mnptaaaa，特别地：当2mnp时，2mnpaaa 当mnpt时，mnptaaaa，特别地：当2mnp时，2mnpaaa 若 na是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列na，n ma，2nma，为等比数列，公比为mq 这一讲对等比数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习 对性质的简单证明如下：当mnpt时，特别地：当2mnp时，2mnpppaaaaa 212111nmmnmn mn maaqqaaq，na，n ma，2nma，为等比数列，公比为mq 知识点睛 项数对 应 项项 数 是对应项是 第 18 页 性质 1 是说明求通项时，可以从任意项开始求，比如已知482aq，求10a时，可以常规求出1a，再由通项公式算；也可以直接用10 469104822aaq 来求解 在使用中，常常将性质和同时使用，比如在等比数列 na中，44a，求26aa可以先利用性质说明246aaa，成等比 数 列，然 后 利 用 性 质 说 明22264416aaa，也可以直接使用性质 由等比数列的性质知一个等比数列隔项取一定是等比数列，这时新的等比数列的公比为20q，不注意这个有时可能会出错，见易错门诊 【铺垫】各项均为正数的等比数列na中，23a，1027a，则6a _ 在各项均为负数的等比数列na中，116a ，54a ，则q _，3a _，9a _【解析】9；262106819aa aa，负值舍去；451aa q得：45114aqa，故212q，从而22q ；又此经典精讲 第 19 页 数列各项均为负数，故22q；21533648a aaa，故38a ；251991aa aa 【例5】等比数列的性质 m是2323，的等比中项0m，则m ；39a，为等比数列，则a 等比数列 na的各项为正，公比q满足24q，则3445aaaa的值为（）A14 B2 C12 D12 在等比数列 na中，若110aa，是方程23260 xx的两根，则47aa （2019 年海淀区高三一模数学理）在等比数列 na中，14358aaa a，则7a=（）A116 B18 C14 D12 在等比数列 na中，515205aa，则20a_ （目标班专用）在等比数列 na的前n项中，1a最小，且12166128nnaaa a，前n 项和126nS，则n _，q _ D；34344534112aaaaaaq aaq 2；根据性质 2 得471102aaaa B；由435aa a得24354aa aa，又40a，因 此2417411aa aa，247118aaa 第 20 页 52；根据性质 2 得210515100aaa，1010a 由性质 3 知下标成等差数列的子列也构成等比数列，即5101520aaaa，构成等比数列 公比151051102aqa，201552aa q （目标班专用）62，；由题意可知1166128nnaaa a，1264naa，126412611nnaa qqSqq，解得2q 1112 22nnnnaa q，即264n，故6n 【例6】等比数列的性质应用 设等比数列 na的公比为q，前n项和为nS，已知34a，639SS，则 na的通项na 4561238aaaaaa，即3331231238a qa qa qaaa 讲完这题可以接着讲后面的易错题那道题中12aa可能等于零，容易被忽视直接消去【备选】在等比数列 na中，423a，35209aa若数列 na的公比大于1，且3log2nnab，求数列 nb的前n项和nS【解析】由等比数列的性质得 235449aaa，所以35aa，是方程2204099xx的两个根 由公比大于1解得35229aa，25393aqqa，312229981aaq，1512 3nnnaa q，3log52nnabn，21194222nn nSnnn 第 21 页 1已知数列na是等比数列，11a ，59a ，则3a _，9a _ 21539a aa33a，但22310aa qq，故33a ；2195981a aaa 2 设等比数列 na的公比1q，前n项和为nS 已知32a，42=5SS，则 na的通项na 【解析】22nna 或12(1)nna 425SS，即1234125aaaaaa，而由等比数列的性质有：23412aaqaa 21212125aaqaaaa，即21240aaq 当120aa时，110aa q，1q ，31332121nnnnaa q 当120aa时，240q，2q ，又因1q，所以2q 所以33nnaa q32=222nn 【演练1】在等比数列 na中，25864aa，则公比q为（）A2 B3 C4 D8 【解析】A；【演练2】设 na是公比为正数的等比数列，若15116aa，则数列 na前 7 项的和为（）A63 B64 C127 D128【解析】C【演练3】若43aa，为等差数列的连续三项，则实战演练 求等符号 第 22 页 0129aaaa的值为（）A1023 B1025 C1062 D2047【解析】A；由题意知832aaa于是10012912102312aaaa【演练4】等比数列na的前n项和为nS，333Sa则公比q 设等比数列na的公比为12q，前n项和为nS，则44Sa 212313aaaaq，10a，2213qqq，即2210qq，解得12q 或1q；【演练5】在等比数列 na中，若39aa，是方程231190 xx的两根，则6a的值是_【演练6】在等比数列 na中，若12321aaa，123216a a a，求na；若3518aa，4872aa，求公比q 解得26a，代入已知可得13131536aaaa，解方程得13312aa，或13123.aa，当13a 时，2q；当112a 时，12q 故13 2nna或11122nna 由3518aa，得241118a qa q，即26118aq ，又由4872aa，得371172a qa q，即210172aq 得 44q，2q 第 23 页【点评】在求得13a，312a 或112a，33a 后，由于260a，因此，公比q一定大于 0 在等比数列中，奇数项和偶数项分别同号（无论公比q大于 0 或小于 0），因此，在求出44q 后，q的值应为2 此外，上题还可以直接将两式相除得44q，从而求出q 1等比数列 na，首项1a，公比为q，则通项公式为na _ 2等比数列 na的公比为q，首项1a，则前n项和公式为nS _ 3等比数列 na，若2pqm，则pqaa_2ma（填、）分牛的传说 古代的印度，有一位老人，他在弥留之际，把三个儿子叫到床前，对他们说：“我就要去见真主了，辛苦了一辈子，没有其它珍贵遗产留给你们，只有 19 头牛，你们自己去分吧，老大分总数的 1/2，老二分总数的 1/4，老三分总数的 1/5”话音甫落，老人就咽了气 按照印度的教规，牛被视为神灵，不准宰杀，只能整头的分，而先人的遗嘱必须无条件遵从那么，概念要点回顾 第 24 页 这 19 头牛怎样分呢？这道题着实难坏了兄弟三人 他们请教了许多有才学的人，人们总是摇头，表示爱莫能助三兄弟急得走投无路，却无计可施 结局大家估计也听过：有一天，一位老农牵着一头牛路过，看到兄弟三人愁眉苦脸，便动问原由老农听后思索了片刻说：“这件事好办，我把自己的一头牛借给你们，这样总共就有了 20 头牛，老大可分得10 头，老二可分得 5 头，老三可分得 4 头，你们三人分去了 19 头牛，剩下的一头再还给我！”真是妙极了！一个曾使多少人费尽心机无法解决的大难题竟这样干脆利落的解决了，不用说，这件事也被当作佳话而广为流传 这种分法到底对不对呢？我们来算一下，按老人的遗嘱，老大应该分得192头，老二分得194头，老三分得195头，注意到1111924520，所以分一次后没分完，还剩下牛的数量的120即1920头 老人的遗愿显然应该分完，因此老大应该继续分得这1920头的一半，老二、老三分得的比例为14和15，悲剧的是这次仍然不会分完，还剩1920头的120没分完，所以这个过程需要继续下去 统 计 下 来，老 大 应 该 分 得 的 牛 的 数 量 为23111111119191919220 2202202，这是一个无穷递减等比数列的求和我们知道等比数列的求和公式：当n趋于无穷大时，极限1lim020nn，此时10nS，这就是老大应分得的牛的数量！同样的方法可得到老二、老三分得的牛的数量为5和4这说明老农的分法没有 第 25 页 错，是不是很奇妙！（附：无穷递缩等比数列（1q，10a）的求和公式：23111111aaa qa qa qq）