人教版高中数学选修2-2数学归纳法教学讲义学生版.pdf

第 1 页 共 13 页 励 学 国 际 学 科 学 生 讲 义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：宋冰洁 课 题 数学归纳法 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 数学归纳法【要点梳理】要点一:数学归纳法的概念与原理 1.数学归纳法的定义 对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当 n 取第一个值 n0时命题成立；然后假设当 n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归纳法 要点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0，如果当 n=n0时，命题成立，再假设当 n=k(kn0，kN*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当 n=k+1 时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于 n0的正整数 n0+1，n0+2，命题都成立.2.数学归纳法的原理 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。它的证明共分两步：证明了第一步，就获得了递推的基础。但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；第 2 页 共 13 页 证明了第二步，就获得了递推的依据。但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。3.数学归纳法的功能和适用范围 1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.2.数学归纳法一般被用于证明某些与正整数 n（n取无限多个值）有关的数学命题。但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明。要点二:运用数学归纳法的步骤与技巧 1.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的基本步骤：(1)证明：当 n 取第一个值 n0（如 n0=1 或 2 等）命题正确；(2)假设当 n=k(kN*，且 kn0)时命题成立，以此为前提，证明当 n=k+1 时命题也成立.根据(1)，(2)可以断定命题对于一切从 n0开始的所有正整数 n 都成立.要点诠释：（1）不要弄错起始 n0：n0不一定恒为 1，也可能 n0=2 或 3（即起点问题）（2）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）（3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）（4）切忌关键步骤含糊不清：“假设 n=k 时结论成立，利用此假设证明 n=k+1 时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）2.用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由 n=k 到 n=k+l的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由 n=k 到 n=k+1 的推证方法 在运用归纳假设时，应分析由 n=k 到 n=k+1 的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从 n=k+1 时分离出 n=k 时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡 第 3 页 共 13 页 要点三:用数学归纳法证题的类型：1.用数学归纳法证明与正整数 n 有关的恒等式 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性 2.用数学归纳法证明与正整数 n 有关的整除性问题 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。3.用数学归纳法证明与正整数 n 有关的几何问题 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等 4.用数学归纳法证明与正整数 n 有关的不等式 用数学归纳法证明一些与 n 有关的不等式时，推导“nk1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等 5.用数学归纳法证明与数列有关的命题 由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要【典型例题】类型一、对数学归纳法的认识 例 1.对一切 nN*，试比较 2n与 n2的大小 举一反三：【变式】利用数学归纳法证明：“凸多边形的对角线的条数是1-32n n”时，n 的第一个取值 n0应当是_ 第 4 页 共 13 页 例 2.用数学归纳法证明等式：112132231 21126nnnnnnn nn 【总结升华】在利用归纳假设论证 n=k+1 时等式也成立时，应注意分析 n=k 和 n=k+1 时两个等式的差别。举一反三：【变式 1】已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k（2k且为偶数）时命题为真，则还需证明（）A.n=k+1 时命题成立 B.n=k+2 时命题成立 C.n=2k+2 时命题成立 D.n=2（k+2）时命题成立 【变式 2】用数学归纳法证明“1111+*12321nn nn，N”时，由 n=k（k1）不等式成立，推证 n=k+1时，左边应增加的项数是（）A.2k1 B.2k1 C.2k D.2k+1 【变式 3】用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1）（nN*）第 5 页 共 13 页 类型二、利用数学归纳法证明等式 例 3用数学归纳法证明：当2*nn，N时，211112111149162nnn 【总结升华】数学归纳法常常用来证明与非零自然数有关的命题；在证明过程中，应用归纳假设，只有通过归纳假设的使用，才达到由 n=k 的情况递推到 n=k+1 的情况，保证了命题的传递性；用数学归纳法证明时，要注意从nk时的情形到1nk时的情形是怎样过渡的，即要证明1nk时等式成立，应如何利用nk时等式成立这一假设.显然，分清等式两边的构成情况是解决这一问题的关键；举一反三：【变式】用数学归纳法证明：2222221234212 21*nnnnn N.第 6 页 共 13 页 例 4.对任意正偶数 n，求证：11111111122341242nnnnn 举一反三：【变式】用数学归纳法证明：对任意的 nN*,11 111111123 42-1 2122nnnnn .类型三、用数学归纳法证明不等式 例 5.用数学归纳法证明不等式：21 41211242nnn.第 7 页 共 13 页 举一反三：【变式 1】用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221nnn.【变式 2】已知)(14131211)(Nnnnf.求证：n1 时，22)2(nfn.【变式 3】设数列an满足 a1=2，an+1=an+na1（n=1，2，）.证明 an12 n对一切正整数 n 都成立；第 8 页 共 13 页 类型三：用数学归纳法证明与数列有关的命题 例 6.已知数列 na中，112a，2nnSn anN.()求234,a a a的值；()推测数列 na的通项公式，并证明.举一反三：【变式 1】在数列an中,a1=1,Sn是它的前 n 项和,当 n2 时,222nnnnSa Sa.(1)求234,a a a的值,并推测an的通项公式.(2)用数学归纳法证明所得的结论.类型四：用数学归纳法证明整除性问题 例 7.是否存在正整数 m，使得 f（n）=（2n+7）3n+9 对任意自然数 n 都能被 m 整除?若存在，求出最大的 m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.第 9 页 共 13 页 举一反三：【变式】用数学归纳法证明422135nn(nN)能被 14 整除.类型五：用数学归纳法证明几何问题 例 8.用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线的条数是12n(n3)（n3，nN*）举一反三：【变式】在平面内有 n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点 求证：这 n 条直线将它们所在的平面分成 n2n22 个区域 第 10 页 共 13 页 励 学 国 际 学 生 课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：宋冰洁 作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】一、选择题 1用数学归纳法证明1122nnnnnCCCn（nn0且 n0N*），则 n 的最小值为（）A1 B2 C3 D4 2设 f（n）=11n+12n+13n+12n（nN*），那么 f（n+1）f（n）等于 A121n B122n C121n+122n D121n122n 3用数学归纳法证明等式：4221232nnn（nN*），则从 n=k 递推到 n=k+1 时左边应增加的项为（）Ak2+1 B(k+1)2 C42(1)(1)2kk D(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2 4用数学归纳法证明：*1111(,1)2321n nNnn时，第一步应证下述哪个不等式成立（）A12 B1122 C111223 D1123 5用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xnyn能被 xy 整除”，第二步归纳假设应写成()A假设 n2k1(kN*)正确，再推 n2k3 正确 B假设 n2k1(kN*)正确，再推 n2k1 正确 C假设 nk(kN*)正确，再推 nk1 正确 D假设 nk(k1)正确，再推 nk2 正确 第 11 页 共 13 页 6下列代数式(其中 kN*)能被 9 整除的是()A667k B27k1 C2(27k+1)D3(27k)7对于不等式21nnn（nN*），某人的证明过程如下：（1）当 n=1 时，2111 1，不等式成立（2）假设当 n=k（kN*）时不等式成立，即21kkk，则 n=k+1 时，2222(1)132(32)(2)(2)(1)1kkkkkkkkk 当 n=k+1 时，不等式成立 上述证法（）A过程全都正确 Bn=1 验得不正确 C归纳假设不正确 D从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 二、填空题 8用数学归纳法证明：设111()123f nn，则(1)(2)(1)()nfff nnf n（nN+，且 n2）第一步要证的式子是_ 9已知112a，133nnnaaa，则 a2，a3，a4，a5的值分别为_，由此猜想 an=_ 10用数学归纳法证明“34n+2+52n+1（nN）能被 14 整除”时，当 n=k+l 时，34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为_ 11利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是_ 三、解答题 12求证：6)12)(1(21222nnnn 第 12 页 共 13 页 13用数学归纳法证明 421n+3n+2能被 13 整除，其中 nN*14用数学归纳法证明：1+212+213+21n321nn(nN*)15在数列an中，a1=1，当 n2 时，an，Sn，Sn12成等比数列(1)求 a2，a3，a4，并推出 an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论 第 13 页 共 13 页