中考数学试题汇编及解析探索型问题课标试题.pdf

创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 2021 年中考数学试题汇编及解析 探究型问题 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 探究型问题这类问题往往涉及面很广，主要是探究题设结论是否存在，或者是否成立，或者是让学生自己先猜测结论，再进展研究从而得出正确的结论等等，这些题通常有一定的难度，几乎在全国各地的中考数学试卷中都能见到。1、2021如图 1，在直角坐标系中，点 A 的坐标为1，0，以 OA为边在第四象限内作等边AOB，点 C 为 x 轴的正半轴上一动点OC1，连结 BC，以 BC为边在第四象限内作等边CBD，直线 DA 交 y 轴于点 E 1试问OBC 与ABD 全等吗？并证明你的结论 2随着点 C 位置的变化，点 E 的位置是否会发生变化，假设没有变化，求出点 E的坐标；假设有变化，请说明理由 3如图 2，以 OC 为直径作圆，与直线 DE 分别交于点 F、G，设 AC=m，AF=n，用含 n的代数式表示 m 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 解析 1两个三角形全等 AOB、CBD 都是等边三角形 OBA=CBD=60 OBA+ABC=CBD+ABC 即OBC=ABD OB=AB，BC=BD OBCABD 2点 E 位置不变 OBCABD BAD=BOC=60 OAE=180-60-60=60 在 RtEOA 中，EO=OAtan60=3 或者AEO=30，得 AE=2，OE=3 点 E 的坐标为0，3 3AC=m，AF=n，由相交弦定理知 1m=nAG，即 AG=mn 又OC 是直径，OE 是圆的切线，OE2=EGEF 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 在 RtEOA 中，AE=3 1=2 32=2-mn2+n 即 2n2+n-2m-mn=0 解得 m=222nnn.2、2021 如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点,点C为线段AB上的一动点,过点C作CDx轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)假设S梯形 OBCD4 33,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与OBA相似.假设存在,恳求出所有符合条件 的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.解析 1直线 AB 解析式为：y=33x+3 2方法一：设点坐标为x，33x+3，那么 ODx，CD33x+3 OBCDS梯形2CDCDOB3632x 由题意：3632x 334，解得4,221xx舍去 ，33 方法二：23321OBOASAOB,OBCDS梯形334，63ACDS 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 由 OA=3OB，得BAO30，AD=3CD ACDS21CDAD223CD63可得 CD33 AD=，ODC，33 当OBPRt时，如图 假设BOPOBA，那么BOPBAO=30，BP=3OB=3，1P3，33 假设BPOOBA，那么BPOBAO=30,OP=33OB=1 2P1，3 当OPBRt时 过点 P 作 OPBC 于点 P(如图)，此时PBOOBA，BOPBAO30 过点 P 作 PMOA 于点 M 方法一：在 RtPBO 中，BP21OB23，OP3BP23 在 RtPO 中，OPM30，OM21OP43；PM3OM4333P43，433 方法二：设x，33x+3，得 OMx，PM33x+3 由BOPBAO,得POMABO tanPOM=OMPM=xx333，tanABOC=OBOA=3 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 33x+33x，解得 x43此时，3P43，433 假设POBOBA(如图)，那么OBP=BAO30，POM30 PM33OM43 4P43，43由对称性也可得到点4P的坐标 当OPBRt时，点 P 在轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P3，33，2P1，3，3P43，433，4P43，43 3、2021如图，在直角坐标系中，以点(3 0)A，为圆心，以2 3为半径的圆与x轴相交于点BC，与y轴相交于点DE，1假设抛物线213yxbxc经过CD，两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上 2在1中的抛物线的对称轴上求一点P，使得PBD的周长最小 3设Q为1中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，说明理由 解析 13OA，2 3ABAC (3 0)B，(3 3 0)C，又在RtAOD中，2 3AD，3OA 223ODADOA D的坐标为(03)，又DC，两点在抛物线上，创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 231(3 3)3 303cbc 解得2333bc 抛物线的解析式为：212 3333yxx 当3x 时，0y 点(3 0)B，在抛物线上 2212 3333yxx 21(3)43x 抛物线212 3333yxx的对称轴方程为3x 在抛物线的对称轴上存在点P，使PBD的周长最小 BD的长为定值 要使PBD周长最小只需PBPD最小 连结DC，那么DC与对称轴的交点即为使PBD周长最小的点 设直线DC的解析式为ymxn 由33 30nmn 得333mn 直线DC的解析式为333yx 由3333yxx得32xy 故点P的坐标为(32)，-3存在，设(3)Qt，为抛物线对称轴3x 上一点，M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，那么BCQM且BCQM，点M在对称轴的左侧 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 于是，过点Q作直线LBC与抛物线交于点()mM xt，由BCQM得4 3QM 从而3 3mx ，12t 故在抛物线上存在点(312)M，使得四边形BCQM为平行四边形 4、2021把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角 顶 点D与 三 角 板ABC的 斜 边 中 点O重 合，其 中90ABCDEF，45CF，4ABDE，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q 1 如图 9，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证APDCDQ 此 时，AP CQ 2将三角板DEF由图 1 所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中 090，问AP CQ的值是否改变？说明你的理由 3在2的条件下，设CQx，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式 解析 18 2AP CQ的值不会改变 ()()()B(Q)C F E A P 图 1 图 3 图 3 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 理由如下：在APD与CDQ中，45AC 18045(45)90APDaa 90CDQa 即APDCDQ APDCDQ APCDADCQ 22182AP CQAD CDADAC 3情形 1：当045a时，24CQ，即24x，此时两三角板重叠局部为四边形DPBQ，过D作DGAP于G，DNBC于N，2DGDN 由2知：8AP CQ 得8APx 于是111222yAB ACCQ DNAP DG 88(24)xxx 情形 2：当4590a 时，02CQ时，即02x，此时两三角板重叠局部为DMQ，由于8APx，84PBx，易证：PBMDNM，BMPBMNDN即22BMPBBM解得28424PBxBMPBx 84444xMQBMCQxx 于是1844(02)24xyMQ DNxxx 综上所述，当24x时，88yxx 当02x时，8444xyxx 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 2484yxxx或 法二：连结BD，并过D作DNBC于点N，在DBQ与MCD中，45DBQMCD 45DQBQCBQDCQDCMDQQDCMDC DBQMCD MCDBCDBQ 即242 2MCx 84MCx 284844xxMQMCCDxxx 2148(02)24xxyDN MQxx 法三：过D作DNBC于点N，在RtDNQ中，222DQDNNQ 24(2)x 248xx 于是在BDQ与DMQ中45DBQMDQ DMQDBMBDM 45BDM BDQ BDQDMQ BQDQDQMQ 即4xDQDQMQ 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 224844DQxxMQxx 2148(02)24xxyDN MQxx 5、2021如图，点O是坐标原点，点An，0是x轴上一动点(n0以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB2OA 矩形AOBC绕点A逆时针旋转 90o得矩形AGDE 过点A的直线ykxm 交y轴于点F，FBFA抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HMx轴，垂足为点M(1)求k的值；(2)点A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由 解析 1根据题意得到：E3n，0，Gn，n 当 x0 时，ykxmm，点 F 坐标为0，m RtAOF 中，AF2m2n2，FBAF，m2n2(-2nm)2，化简得：m0.75n，对于 ykxm，当 xn 时，y0，0kn0.75n，k0.75 2抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、F、G，ccnbanncnban75.039022 yxOMHGFEDCBA创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 解得：an41，b21，c0.75n 抛物线为 y=n41x221x0.75n 解方程组：nxynxxny75.075.075.021412 得：x15n，y13n；x20，y20.75n H 坐标是：5n，3n，HM3n，AMn5n4n，HMAM6n2；而矩形 AOBC 的面积2n2，AMH 的面积矩形 AOBC 的面积3:1，不随着点 A 的位置的改变而改变 6、2021如图1，在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D求证：APAC+BPBD=AB2 证明：连结AD、BC，过P作PMAB，那么ADB=AMP=90，点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上 由割线定理得：APAC=AMAB，BPBD=BMBA，所以，APAC+BPBD=AMAB+BMAB=ABAM+BM=AB2 当点P在半圆周上时，也有APAC+BPBD=AP2+BP2=AB2成立，那么：1如图2当点 P 在半圆周外时，结论APAC+BPBD=AB2是否成立？为什么？2如图3当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来 解析 1成立 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 证明：如图2，PCM=PDM=900，点 C、D 在以 PM 为直径的圆上，ACAP=AMMD，BDBP=BMBC，ACAP+BDBP=AMMD+BMBC，由，AMMD+BMBC=AB2，APAC+BPBD=AB2 2如图3，过 P 作 PMAB，交 AB 的延长线于 M，连结 AD、BC，那么 C、M 在以 PB 为直径的圆上，APAC=ABAM，D、M 在以 PA 为直径的圆上，BPBD=ABBM，由图象可知：AB=AM-BM，由可得：APAC-BPBD=ABAM-BM=AB2 7、2021问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图 1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设BON=60那么BM=CN：如图 2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点BM 与CN相交于点O，假设BON=90那么BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题：如图 3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 假设BON=108，那么BM=CN.任务要求 (1)请你从，三个命题中选择一个进展证明；(2)请你继续完成下面的探究；如图 4，在正n(n3)边形ABCDEF中，M，N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当BON等于多少度时，结论BM=CN成立(不要求证明)如图 5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，BON=108时，试问结论BM=CN是否还 成立，假设成立，请给予证明假设不成立，请说明理由(I)我选 解析 1 如选命题 证明：在图 1 中，BON=601+2=60 3+2=60，1=3 又BC=CA，BCM=CAN=60BCMCAN BM=CN 2如选命题 证明：在图 2 中，BON=901+2=90 3+2=90，1=3 又BC=CD，BCM=CDN=90BCMCDN BM=CN 3如选命题 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 证明；在图 3 中，BON=1081+2=108 2+3=1081=3 又BC=CD，BCM=CDN=108 BCMCDN BM=CN (2)答：当BON=0(n-2)180n时结论BM=CN成立 答当BON=108时。BM=CN还成立 证明；如图 5 连结BD、CE.在BCI)和CDE中 BC=CD,BCD=CDE=108,CD=DE BCD CDE BD=CE,BDC=CED,DBC=CEN CDE=DEC=108,BDM=CEN OBC+ECD=108,OCB+OCD=108 MBC=NCD 又DBC=ECD=36,DBM=ECN BDM CNE BM=CN 8、2021抛物线2yaxbxc，经过点A(0，5)和点B3 ，2 (1)求抛物线的解析式：(2)现有一半径为 l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问P在运动过程中，是否存在P 与坐标轴相切的情况？假设存在，恳求出圆心P的坐标：假设不存在，请说明理由；创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 (3)假设 Q的半径为r，点Q 在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值 解析(1)由题意，得；5392cbc b=-4解得c=5 抛物线的解析式为245yxx (2)当P在运动过程中，存在P与坐标轴相切的情况 设点P坐标为(00,xy)，那么 那么当P与 y 轴相切时，有0 x=1，0 x=1 由0 x=-1，得20114 1510(1,10)yP，由0 x=1，得20214 152(1,2)yP 6 当P与x轴相切时有01y 抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方0y=1 由01y=1，得200451xx，解得0y=2，B(2，1)综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：123(1,10),(1,2),(2,1)PPP (3)设点Q坐标为(x，y)，那么当Q与两条坐标轴都相切时，有y=x 由y=x得245xxx，即2550 xx，解得552x 由y=-x，得245xxx 即2350 xx，此方程无解 O的半径为 552r 9、2021如图 1，直线12yx 与抛物线2164yx 交于AB，两点 1求AB，两点的坐标；2求线段AB的垂直平分线的解析式；3如图 2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处用铅笔拉创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上挪动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？假如存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；假如不存在，请简要说明理由 1解：依题意得216412yxyx 解之得12126432xxyy (63)(4 2)AB，2作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M如图 1 由1可知：3 52 5OAOB 5 5AB 1522OMABOB 过B作BEx轴，E为垂足 由BEOOCM，得：54OCOMOCOBOE，同理：55500242ODCD，设CD的解析式为(0)ykxb k y x O y x O P A 图 2 图 1 B B A y x O 图 1 D M A C B 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 52045522kkbbb AB的垂直平分线的解析式为：522yx 3 假设存在点P使APB的面积最大，那么点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm 上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点如图 2 212164yxmyx 2116042xxm 抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m ，2523144mP，在直线12524GHyx：中，25250024GH，2554GH 设O到GH的间隔 为d，1122125 51252524224552GH dOG OHddABGH，P到AB的间隔 等于O到GH的间隔 d y x O P A 图 2 H G B 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 S最大面积115 51255 52224AB d