二次函数导学案(全章)解析.pdf

靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2 第 1 课时 二次函数的概念【学习目标】1经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2探索并归纳二次函数的定义；3能够表示简单变量之间的二次函数关系。【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。【课时类型】概念课【学习过程】一、学习准备 1函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量，是因变量。2一次函数的关系式为 y=(其中 k、b 是常数，且 k0)；正比例函数的关系式为 y (其中 k是 的常数)；反比例函数的关系式为 y=(k 是 的常数)。二、解读教材数学知识源于生活 3某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子。假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为 y 个，那么 y=。4如果你到银行存款 100 元，设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？。5能否根据刚才推导出的式子y=-5x2+100 x+60000 和 y=100 x2+200 x+100 猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如 yax2+bx+c(a，b，c 是常数，a0)的函数叫做 x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。例 1 下列函数中，哪些是二次函数？(1)2321xy (2)112xy(3)xy222 (4)251tts(5)22)3(xxy (6)210 rs 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？(1)2xy (2)252132xxy (3)1(xxy (4)1132）（xy (5)caxy2 (6)12xs 注意：(1)关于 x 的代数式一定是整式，其中 a，b，c 为常数且 a0；(2)等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项哟！靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2 三、挖掘教材 6对二次函数定义的深刻理解及运用 例 2 若函数1232kxxykk 是二次函数，求k 的值。分析：x 的最高次数等于 2，即 k2-3k+2=2，求出 k 的值即可。解：即时练习：若函数1)3(232kxxkykk是二次函数，则k 的值为 。四、反思小结 1我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。2定义：一般地，形如 y=ax+bx+c(a，b，c 是常数，a0)的函数叫做 x 的二次函数。3二次函数 y=ax+bx+c(a，b，c 是常数，a0)的几种不同表示形式：(1)y=ax(a0)；(2)y=ax+c(a0 且 c0)；(3)y=ax+bx(a0 且 b0)。4二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_，且_项系数不为_的整式。【达标测评】1下列函数不属于二次函数的是（）Ay=(x1)(x+2)By=21(x+1)2 Cy=2(x+3)22x2 Dy=13x2 2在边长为 6 cm 的正方形中间剪去一个边长为 x cm(x0）,y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧（x0 x0)y=ax2(a0 时，y 随 x 的增大而增大，求 m 的值。10已知抛物线 y=ax2经过点 A（-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点 B（-1，-4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标。四、反思小结 二次函数的 yax2（a0）的图象与性质：五个方面理解：，。【达标测评】1抛物线 y=2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，y 随着 x 的增大而增大；在 侧,y 随着 x 的增大而减小。当 x=时，函数 y 的值最小,最小值是 。抛物线 y=2x2的图象在 方（除顶点外）。2函数 yx2的顶点坐标为 ，若点（a，4）在其图象上，则 a 的值是 。3函数 yx2与 y-x2的图象关于 对称，也可以认为 y-x2 是函数 yx2的图象绕 旋转得到的。4求出函数 y=x+2 与函数 yx2的图象的交点坐标 。5若 a1，点（a-1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数 yx2的图象上，判断 y1，y2，y3的大小关系是 。第 3 课时 二次函数 yax2+k 的图象与性质 x y O 教学后记 靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2【学习目标】1会用描点法作出函数 yax2+k 的图象，能根据图象认识和理解二次函数yax2+k 的性质；2理解二次函数 yax2+k 中 a 和 k 对函数图象的影响；3理解二次函数 yax2与 yax2+k 的关系。【学习重点】理解二次函数 yax2+k 的性质。【学习难点】理解二次函数 yax2与 yax2+k 的关系。【学习过程】一、学习准备 1画出两条抛物线的草图并填空。二、解读教材 2用描点法作出二次函数 y2x2+1 的图像。x 0 y2x2+1 小结：y2x2+1 的图像是 ，且开口向 。对称轴是 ，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 。顶点是：(，)，且从图像看它有最 点，则函数 y 有最 值，即当 x=时 y 有最 值是 。3在同一直角坐标系中，作出二次函数 y-x2，y-x2+2，y-x2-2 的图像。小结：抛物线 yax2+k 的开口方向由 决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下。对称轴是 ，当 a0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 。且函数 y 当 x=0 时 ymin=。当 a0时，y 随 x 的增大而 。当 x=时，y 有最 值为 。三、挖掘教材-抛物线 yax2+k 可以由抛物线 yax2经过向上（k0）或向下(k0）或向 (k0)y=ax2(a0)y=ax2+k(a0；由得abc0；考虑1x 时y0，所以有abc0；考虑1x 时y0，所以有abc 0；考虑2x 时y0，所以有42abc0，同理2x 时，42abc0；图象与 x 轴有两个交点，所以24bac0。例 2 如图是二次函数2yaxbxc图像的一部分，图像过点A3,0，对称轴1x ，给出四个结论：2b4ac，20ab，0abc，5ab，其中正确的结论是（）A、B、C、D、分析：由图象可以知道a0；抛物线与 x 轴有两个交点，24bac0，即2b4ac；又对称轴1x ，即12ba，2ab，b0；20ab，a、b均为负数，5ab；当1x 时，抛物线有最高点，abc 0；综上，正确的是，故选 B。例 3 如图所示的抛物线是二次函数223yaxxa的图象，那么a的值是_。分析：由图象可知：a0；当0 x 时1y，即21a，1a ，但是a0，故1a 。对 称 轴 在 y 轴 的 左 边a、b同号，对称轴在 y 轴的靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2 oxyx=-11y1ox3oxy三、巩固训练 1抛物线2yaxbxc如图所示，则（）A、a0，b0，c0 B、a0，b0，c0 C、a0，b0，c0 D、a0，b0，c0 2已知二次函数2yaxbxc的图像如图所示，下列结论中正确的个数是（）abc0，abc 0，abc0，2ba A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 3已知函数22yxxc 的部分图像如图所示，则 c 0，当 x_时，y 随 x 的增大而减小。4 已知一次函数yaxb的图像过点2,1，则关于抛物线23yaxbx的三条叙述：过定点2,1；对称轴可以是1x；当a0 时，其顶点的纵坐标的最小值为 3，其中正确叙述的个数是（）A、0 B、1 C、2 D、3 5已知二次函数20yaxbxc a的图象如图所示，当 y0 时，x 的取值范围是（）A、1x3 B、x3 C、x-1 D、x3 或 x-1 6抛物线cbxaxy2的图象与x 轴的一个交点是2,0，顶点是1,3，下列说法中不正确的是（）A、抛物线的对称轴是1x B、抛物线开口向下 C、抛物线与 x 轴的另一个交点是2,0 D、当1x 时，y 有最大值是 3 7已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A、223yxx B、223yxxC、223yxx D、223yxx 8在直角坐标系中画一个二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，且满足 b0，c0 B、a+b+cab-ac D、4ac-b20 12若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则直线 y=abx+c 不经过 象限。x y O x y O 1-1 x y O 1 x y O x y O-1 3 x y O 1-2-1 1 2 3-3 y x O-1 3 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 10 题 第 11 题 第 12 题 第 9 题 靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2 第 9 课时 求二次函数的解析式（一）【学习目标】1掌握已知三点，会用一般式求函数的表达式；2掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求函数的表达式。3掌握已知两根及一点，用两根式求函数解析式。【学习重点】用一般式、顶点式求函数的表达式。【学习难点】用顶点式和两根式求函数的表达式。【学习过程】一、学习准备：1已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为 。2二次函数的一般式为 ，二次函数的顶点式 ，二次函数的两根式（或交点式）为 。二、方法探究（一）已知三点，用一般式求函数的表达式。3例 1 二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。4即时练习 已知抛物线经过 A（-1，0），B（1，0），C（0，1）三点，求二次函数的解析式。三、方法探究（二）已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。5例 2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。解：设抛物线的解析式为2()ya xhk。把顶点（2，3）,即 h=-2 ,k=3 代入表达式为 2(2)3ya x 再把（1，7）代入上式为 27(12)3a 解得4a 所以函数解析式为24(2)3yx 即241619yxx 6即时练习（1）抛物线经过点（0，8），当1x 时，函数有最小值为9，求抛物线的解析式。靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2（2）已知二次函数2()ya xhk，当2x 时，函数有最大值 2，其过点(0，2)，求这个二次函数的解析式。四、方法探究（三）已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。7例 3 已知抛物线经过（1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。解：设抛物线的解析式为12()()ya xxxx 把抛物线经过的（1，0），（3，0）两点代入上式为：(1)(3)ya xx 再把（2，6）带入上式为6(21)(3)ax 解得2a 所以函数的解析式为2(1)(3)yxx 即2246yxx 8即时练习 已知抛物线经过 A（-2，0），B（4，0），C(0，3)，求二次函数的解析式。五、反思小结求二次函数解析式的方法 1已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？2用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。3用两根式求二次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。【达标测评】求下列二次函数的解析式：1图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）。2当 x=2 时，y最大值=3，且过点（1，-3）。3图象与 x 轴交点的横坐标分别为 2 和-4，且过点(1，-10)教学后记 靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2 第 10 课时 求二次函数的解析式（二）【学习目标】1了解二次函数的三种表示方式；2会灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。【学习重点】灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。【学习过程】一、学习准备 1函数的表示方式有三种：法，法，法。2二次函数的表达式有：、，。二、典型例题用适当的方法求出二次函数的表达式 3例 1 已知抛物线2(0)yaxbxc a与 x 轴的两个交点的横坐标是1，3，顶点坐标是（1，2），求函数的解析式（用三种方法）4即时练习：用适当的方法求出二次函数的解析式。一条抛物线的形状与2yx相同，且对称轴是直线12x ，与 y 轴交于点（0，1），求抛物线的解析式。5例 2 已知如图，抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为A(-1,0)，与 y 轴的正半轴交于点C。直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B 的坐标；当点 CO=3时，求抛物线的解析式。靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2 6即时练习：已知直线 y=2x-4 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象相交于 A（-2，m），B(n，2)两点，且抛物线以直线 x=3为对称轴，求抛物线的解析式。三、反思小结求二次函数解析式的方法 1已知三点或三对 x、y 的对应值，通常用2(0)yaxbxc a。2已知图象的顶点或对称轴，通常用2()(0)ya xhk a。3已知图象与 x 轴的交点坐标，通常用12()()(0)ya xxxxa。四、巩固训练 1已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，该二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为(4,0)。（1）求 B 点的坐标（2）求这个二次函数的关系式；2如图，在平面直角坐标系中，直线33yx 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线22 3(0)3yaxxc a经过ABC，三点。（1）求过ABC，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标。（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由。A O x y B F C 教学后记 靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2 第 11 课时 利用二次函数求最大利润【学习目标】1能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，体会数学“建模”思想，并感受数学的应用价值；2并能运用公式当 x=ab2时，y最大（小）值=abac442解决实际问题。【学习重点】用“数形结合”的思想理解公式，并能运用公式解决实际问题。【学习难点】分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。【学习过程】一、学习准备 1二次函数 y=ax2+bx+c 的图像是一条_，它的对称轴是直线 x=ab2，顶点是_。2二次函数 y=-2x2+3x-1 的图象开口_，所以函数有最_值，即当 x=时，ymax=_。二、解读教材 3例 1 某商经营 T 恤衫，已知成批购买时的单价是 5 元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是 15 元时，销售量是 500 件，而单价每降低 1 元，就可以多售 200 件。问销售价是多少时，可以获利最多？分析：若设销售单价为 x(x15)元，所获利润为 y 元，则：(1)销售量可以表示为_；(2)销售额可以表示为_；(3)销售成本可以表示为_；(4)所获利润可表示为 y=_。解：设 根据题意得关系式：y=_，即 y=。a=0，则当 x=-ab2时，y()=；若 a0，则当 x=时，y()=。2在二次函数 y=2x2-8x+9 中当 x=时，函数 y 有最 值等于 。3如图，在边 BC 长为 20cm，高 AM 为 16cm 的 ABC 内接矩形 EFGH，并且它的一边 FG 在 ABC 的边 BC 上，E、F 分别在 AB、AC 上，若设 EF 为 xcm，请用 x 的代数式表示 EH。解：矩形 EFGH，EHBC AEH_。又BC 上的高 AM 交 EH 于 T。AMAT=_，即1616x=_。EH=。二、解读教材 4在上题图中，若要使矩形 EFGH 获得最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？解：设矩形面积为 y，而 EF=x，EH=，则 y=。a=-450，且 x=时，函数有最 值是 ，此时 xab2时，y 随 x 的增大而 ，当 xab2时，y 随 x 的增大而 ；当 a0 时，与 y 轴交于 半轴，当 c0 时，一元二次方程)0(02acbxax有两个 的实数根，抛物线与 x 轴有 个交点，当=0 时，一元二次方程)0(02acbxax有两个 的实数根，抛物线与 x 轴有 个交点，当 0；当x 时，y0；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。7请写出一个二次函数以（2,3）为顶点，且开口向上。8抛物线顶点为 P(-1，-8)且经过点(0，-6)，则此抛物线的解析式为 。9函数2yaxbyaxbxc和在同一直角坐标系内的图象大致是：（）A D C B 靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2 10二次函数)0(2acbxaxy的图象如图，则a、b、c、acb42的取值范围是：（）A、a0，b0，c0，acb420 B、a0，b0，c0，acb420 C、a0,b0，c0，acb420 D、a0，b0，c0,acb420 11下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|的结果相同的是：（）12求满足下列条件的二次函数解析式：（1）图象过（1，0）、（0，-2）和（2，3）。（2）图象与 x 轴的交点的横坐标为-2 和 1，且过点（2，4）。（3）当 x=2 时，y最大值=3，且过点（1，-3）。13如图所示，是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点 A 和 A1、点 B 和 B1分别关于y轴对称，隧道拱部分 BCB1为一条抛物线，最高点 C 离路面 AA1的距离为 8m，点 B 离路面为 6m，隧道的宽度 AA1为16m；（1）求隧道拱抛物线 BCB1的函数解析式；（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽度为 4m，车载大型设备的顶部与路面的距离均为 7m，它能否通过这个隧道？请说明理由。yxO BB1AA1OCyxA D C B