椭圆、双曲线、抛物线综合测试题.pdf
A x 2 B 2 C 2 椭圆+=1 的左、右焦点分别为 16 7,6 D 2 2 F1,F2，一直线经过F1交椭圆于A B两点，则 A 32 B 16 C 3 两个正数a、b的等差中项是 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的）2 2 y x 1 设双曲线 二=1的一个焦点为（0,2），则双曲线的离心率为（）.m 2 AABF2的周长为（）13 3 2 4 设F1、F2是双曲线X2一匕=1 的两个焦点，P是双曲线上的一点，且 3|PF1|=4|PF2|,24 则F1F2的面积为（）A 4 2 B 8、3 C 24 D 48 2 2 5 P是双曲线-=1 的右支上一点，M、N 分别是圆（x+5）2+y2=1和（x 5）2+y2=4 9 16 上的点，则|PM|-1 PN|的最大值为（）A 6 B 7 C 8 D 9 6 已知抛物线x2=4y上的动点P在x轴上的射影为点 M，点A（32），贝U|PA|+|PM|的 最小值为（）A 无-1 B,而-2 C,希 1 D.10 2 7 一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2+8x+12=0都外切，贝U动圆圆心的轨迹为（）B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 2 y .8 若双曲线 十一土=1（a A0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 a b 率为（A.2 B、.3 C,5 D 2 2.2 11 万程 mx+ny=0 与 mx=2px(p 0）的动弦，且|AB|=a（a 2p），则AB的中点 M 到y 轴的最近距离是（A 1a 2 填空题（本大题共)1 2p 4 个小题,每小题 1 a 2 5 分，共 20 分.把答案填写在题中横线上）13 设FI、F2分别是双曲线的左、右焦点,1 2p 1 2p P是双曲线上一点，且 2FIPF2=60O,9 抛物线y=x2上到直线2x-y=0距离最近的点的坐标（）B(1,1)C J,9 j D(2,4)10 已知c是椭圆 与+与=1（abA0）的半焦距，贝 U 里甚的取值范围（）a b a A（1,二）B（、2,二）C（1,、，2）D（1,、.2+ny2=1（m0,n 0,m r n）表示的曲线在同一坐标系中图 S 加F2=12后，离心率为 2,则双曲线方程的标准方程为.2 2 2 2 x y.,x y 14 已知椭圆 一+=1与双曲线-=1（m,n,p,qM R,m a n），有共同的焦点 F1、m n p q F2，点P是双曲线与椭圆的一个交点，贝 U|PFI|PF?|=.15 已知抛物线x2=2py（p0）上一点 A（0,4）到其焦点的距离为，贝 U p=-4 2 2 _ 16 已知双曲线 4 一言=1（a J2【的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为 三 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10 分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：5 焦点在X轴上，虚轴长为 12,离心率为一；12 若AB是抛物线 2 y 4 3 顶点间的距离为6,渐近线方程为y=3x.2 18.（12 分）在平面直角坐标系中，已知两点A（-3,0）及B（3,0）.动点 Q 到点 A 的距离为 10,线段 BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P.求|PA|+|PB|的值；写出点P的轨迹方程.2 2 _ x y 19.（12 分）设椭圆+气=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2,过右焦点F2且与 a b x轴垂直的直线l与椭圆相交，其中一个交点为 M（J2,1）.求椭圆的方程；设椭圆的一个顶点为 B（0,b）,直线BF2交椭圆于另一点N，求1BN的面积.20.（12 分）已知抛物线方程 x2=4y，过点P（t,Y）作抛物线的两条切线 PA、PB,切 点为A、B.求证：直线 AB过定点（0,4）;求AOAB（O 为坐标原点）面积的最小值.2 2 21.（12 分）已知双曲线 与乌=1（a 0,b0）的左、右焦点分别为 FI、F2,点P在 a b 双曲线的右支上，且|PF1|=3|PF2|.求双曲线离心率 e的取值范围，并写出 e取得最大值时，双曲线的渐近线方程；若点P的坐标为（-10,邑宓0），且PF茄2=0,求双曲线方程.5 5 1 22.（12 分）已知。为坐标原点，点 F、T、M、P满足 OF=（1,0）,OT=（1,t）,t t r 1 一 FM=MT,RM FT,RT/OF.求当t变化时，点P的轨迹方程；若R是轨迹上不同于 R的另一点，且存在非零实数 乳使得FP1=%FF2,3C 提示：根据题意得 参考答案 1A 提示：根据题意得 c2=a2+b2=m+2=4,.m=2,e=C=J 2 a.a 寸*9=!=次.故选A.2B 提示：AABF2 的周长=|AFi|+1 AF2|+1 BFi|+1 BF2|=4a=16.故选 B.（a+b-5 解得 a=3 b=2,.c=75,e=亚.ab=6 a 3 4C 提示：I，P是双曲线上的一点，且 3|PF1|=4|PF2|,|PFi|PF2|=2,解得|PFi|=8,昨|=6,又|FIF2|=2C=10,1 .APF1F2是直角二角形，SFIF2y6=24.故选 C.5 D 提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点，|PM巨|PFI|+1,|PN|芝昨|-2,-|PM|PN|AF|1=7101.故选 A.7C 提示：设圆x2十y2=1的圆心为O(0,0)，半径为 1,圆x2十y2+8x+12=0的圆心为 O1(Y,0),O为动圆的圆心，r为动圆的半径，则|OOI|-|OO|=(r*2)-(r*1)=1,所以根据双曲线的定义可知.故选 C.b 8C 提示：设其中一个焦点为F(c,0),一条渐近线方程为 y=x,根据题意得 a 求=1.仁c|aL=2a,化简得 b=2a，J-1 1+但1=j1+4=V5.故 a 9B 提示：设P(x,X)为抛物线 y=x2上任意一点，则点 P到直线的距离为|2x x2-4|(x-1)2 3|d=.5 当x=1时，距离最小，即点 P(1,1).10 D 提示：由于 2 b2 c2 2bc b2 c2 b2 c2 2 a=2,11 C 提示:b c 1.故选 a 椭圆与抛物线开口向左.D.12 D 提示:设A(X1,y1),B(X2,y2),结合抛物线的定义和相关性质,则AB的中点 M 到y 轴的距离为|AF|p|BF|2 其值最小，即为 x X2 2-a-1 p.故选 D.2 2 2=|AF|+|BF|-p,显然当AB过焦点时,2 2 y 2 c-.e=-=2,c=2a.填空题 2 2 x y x 13 -=1提示：设双曲线方程为2-412 a2 b S浙2=12后，/.|PF1|x 肝21,48.(2c)2=|PF112+|PF2|2-2尸菖|PF21 coE F1PF2,解得 c2=16,a2=4,b2=12.|PF1|PF2|=2“m-14 m p 提示：根据题意得 6=|AB|,点P的轨迹是中心 在原点，以A,B为焦点，长轴在 x轴上的椭圆，其中2a=10,2c=6,所以椭圆的轨迹方 2 2 程为匕=1 25 16【二1 19 解：l x轴，FS,。)，根据题意得 如2b2-a2-b2=2 所求椭圆的方程为：一十=1 4 2|y=x _ 2 由可知B(0,J2),直线BF2的方程为y=x J2,.|x2 y2，=1.4 2 解得点 N 的纵坐标为 S&BN=S&F2N+S杏BF2=5*(J2+)(2 J2=3 1 20 解：设切点 A(x1,y1),B(x2,y2),又 y=x,PFI，PF2=0,|PFI|2+|PF2|2=4c2,又因为点P（4J10,3J10）在双曲线上,5 5 160 90 25 25 二1 2 2=1，a b 160 2 a 60 2=1，a 解得a2=4,b2=6,所求双曲线方程为;2 2 x y d 2=1.a b 22 解设P(x,y),则由F M=MT得点M是线段FT 中点，M（0,），则 2 1 1 则切线 PA 的方程为：y y1=x(x x)，即 y=x1x y1；2 2 1 1 切线PB的万程为：y-y2=x2(xx2)，即y=x2x y2，又因为点P(t,-4)是切线 2 2 PA、PB 的交点，4=1乂_乂，工=1x2t_y2,2 2.,过A、B两点的直线方程为 x=1tx-y，即1tx-y+4=0,2 2 直线AB过定点(0,4).1-tx y 4=0 由 16.当且仅当t=0时，AOAB(O为坐标原点)面积的最小值 21 解：|PFI|-|PF2|=2a,|PFI|=3|PF2|,.|PF|=3a,|PF2|=a,c 由题意得|PF1|+|PF2|F1F2|,.4a 2c,.-2,又因为e1,二双曲线离心率e a 的取值范围为（1,2.故双曲线离心率的最大值为 2.即 10a2=4c2，即 b2=3a2,2 PM=(-x,y),又因为 T7=(-2,t),P7=(-x,t-y),=c，t、c _ RM FT,2x+t(y)=0,2-P1T II OF,(_1 x)0(t y),1=0,即 t=y 由和消去参数得 y2=4x.证明：易知F(1,0)是抛物线y2=4x的焦点，由EP1=FR2，得F、R、P2三点共线,即R P2为过焦点F的弦.当R P2垂直于x轴时，结论显然成立；当R B不垂直于x轴时，设R(xi,yi),R(x2,y2)，直线R B的方程为y=k(x1),y=kx-k 2 2 2 22k24 24 整理碍 k&2-2(k+2)x+k=0,.x1+x2=-2，x1x2=1,.1 L 1,1 1 x 为 2 十=+-=-=1.|FR|FR|x1 1 x2 1 x*(x x?)1
