函数的基本性质知识点总结_1.pdf
.下载可编辑.函数的基本性质 基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；设()f x，()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)。（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y=fg(x)，其中u=g(x),A是y=fg(x)定义域的某个区间，B是映射 g:xu=g(x)的象集：若u=g(x)在 A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=fg(x).下载可编辑.在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=fg(x)在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2D，且x1x2；作差f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。若函数)(xfy 是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.3.函数的周期性 如果函数 yf(x)对于定义域内任意的 x，存在一个不等于 0 的常数 T，使得 f(xT)f(x)恒成立，则称函数 f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.性质：如果 T 是函数 f(x)的周期，则 kT(kN)也是 f(x)的周期.若周期函数f(x)的周期为 T，则)(xf（0）是周期函数，且周期为|T。若)()(axfxf,则 函 数)(xfy 的 图 象 关 于 点)0,2(a对 称;若)()(axfxf,则函数)(xfy 为周期为a2的周期函数.例题：1.11xyx的递减区间是 ；)23(log221xxy的单调递增区间是 。2.函数)112lg()(xxf的图象（）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线xy 对称 .下载可编辑.3.设)(xf是定义在R上的奇函数，若当0 x时，)1(log)(3xxf，则)2(f 。4.定义在R上的偶函数)(xf满足)2()2(xfxf，若)(xf在0,2上递增，则（）A.)5.5()1(ff B)5.5()1(ff C)5.5()1(ff D以上都不对 5.讨论函数xxxf1)(的单调性。6.已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数,若0)12()1(mfmf，求实数m 的取值范围。7.已知函数)(xf的定义域为 N，且对任意正整数x，都有)1()1()(xfxfxf。若2004)0(f，求)2004(f。习题：题型一：判断函数的奇偶性 1.以下函数：（1）)0(1xxy；（2）14 xy；（3）xy2；（4）xy2log；（5）)1(log22xxy，(6)221)(2xxxf；其中奇函数是 ，偶函数是 ，非奇非偶函数是 。2.已知函数)(xf=11xx,那么)(xf是()A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数 题型二：奇偶性的应用 1.已知偶函数)(xf和奇函数)(xg的定义域都是(-4,4),它们在0,4上的图像分别如 图（2-3）所示，则关于x的不等式0)()(xgxf的解集是_。yy=g(x)-4-2y=f(x)-2-40 xyx0图(2-3)2.已知5)(357dxcxbxaxxf，其中dcba,为常数，若7)7(f，则)7(f_ .下载可编辑.3.下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（）A.()sinf xx B.()1f xx C.1()2xxf xaa D.2()ln2xf xx 4.已知函数)(xfy 在 R 是奇函数，且当0 x时，xxxf2)(2，则0 x时，)(xf的 解析式为 。5.若 f x是偶函数,且当0,x时,1f xx,则10f x的解集是（）A.10 xx B.012x xx或 C.02xx D.12xx 题型三：判断证明函数的单调性 1.判断并证明12)(xxf在),0(上的单调性 2.判断122)(2xxxf在)0,(上的单调性 题型四：函数的单调区间 1.求函数20.7log(32)yxx的单调区间。2.下列函数中，在)0,(上为增函数的是（）A.842xxy B.)0(3aaxy C.12xy D.)(log21xy 3.函数xxxf1)(的一个单调递增区间是（）A.,0 B.0,C.1,0 D.,1 4.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是()A.y=-3x+1 B.y=|x+2|C.y=x4 D.y=x2-4x+3 5.函数 y=245xx的递增区间是()A.(-，-2)B.-5，-2 C.-2，1 D.1，+)题型五：单调性的应用 1.函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-，4)上是减函数，那么实数 a 的取值范围是()A.3，+)B.(-，-3 C.-3 D.(-，5 2.已知函数 f(x)=2x2-mx+3，当 x(-2，+)时是增函数，当 x(-，-2)时是减函数，则f(1)等于()A.-3 B.13 C.7 D.由 m 而决定的常数 .下载可编辑.3.若函数7)(23bxaxxxf在 R 上单调递增，则实数a,b一定满足的条件是（）A032 ba B.032 ba C032 ba D132 ba 4.函数1)(,1,1,223)(xfxabaxxf若恒成立，则 b 的最小值为 。5.已知偶函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。题型六：周期问题 1.奇函数)(xf以 3 为最小正周期，3)1(f，则)47(f为()A.3 B.6 C.-3 D.-6 2.设f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x=3 对称，则下面正确的结论是()A.f(1.5)f(3.5)f(6.5)B.f(3.5)f(1.5)f(6.5)C.f(6.5)f(3.5)f(1.5)D.f(3.5)f(6.5)f(1.5)3.已 知 xf为 偶 函 数,且xfxf22,当02x时,xxf2,则2006f（）A2006 B4 C4 D 41 4.设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10 x时，xxf)(，则)5.47(f等于_ 5.已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(xm)f(x),求证:2m 是 f(x)的一个周期.6、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(mx)f(mx)，且 f(x)是偶函数,求证:2m 是 f(x)的一个周期.7、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(1)3，对任意的 xR，均有 f(x4)f(x)f，求 f(2001)的值.
