中考数学一元二次方程组(大题培优易错试卷)附答案.pdf

中考数学一元二次方程组(大题培优易错试卷)附答案 一、一元二次方程 1解下列方程：（1）x23x=1 （2）12（y+2）26=0【答案】(1)12313313,22xx;(2)1222 3,22 3yy 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得 x23x1=0，b24ac=130 12313313,22xx （2）（y+2）2=12，或，1222 3,22 3yy 2如图，在 ABC 中，AB6cm，BC7cm，ABC30，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动如果 P、Q 两点同时出发，经过几秒后 PBQ 的面积等于 4cm2？【答案】经过 2 秒后 PBQ 的面积等于 4cm2【解析】【分析】作出辅助线，过点 Q 作 QEPB 于 E，即可得出 S PQB=12PBQE，有 P、Q 点的移动速度，设时间为 t 秒时，可以得出 PB、QE 关于 t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案【详解】解：如图，过点 Q 作 QEPB 于 E，则 QEB90 ABC30，2QEQB S PQB12PBQE 设经过 t 秒后 PBQ 的面积等于 4cm2，则 PB6t，QB2t，QEt 根据题意，12（6t）t4 t26t+80 t22，t24 当 t4 时，2t8，87，不合题意舍去，取 t2 答：经过 2 秒后 PBQ 的面积等于 4cm2【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去 3某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米 5670 元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为 10%（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调 x%，则 7000（1x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为 10%（2）（15%）（115%）=95%85%=80.75%，（1x）2=（110%）2=81%80.75%81%，房产销售经理的方案对购房者更优惠 4解方程：2212xx6x9（）【答案】124xx23，【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得 2212xx3（）（）开平方，得 1 2xx3，或1 2xx3（）解得124xx23，5图 1 是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为 ABC 和 DEF，其中 B=90，A=45，BC=，F=90，EDF=30，EF=2将 DEF的斜边 DE 与 ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将 DEF 沿 AC 方向移动在移动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合)（1）请回答李晨的问题：若 CD=10，则 AD=；（2）如图 2，李晨同学连接 FC，编制了如下问题，请你回答：FCD 的最大度数为 ；当 FC AB 时，AD=；当以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 FC 为斜边时，AD=;FCD 的面积 s 的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）60；.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出 AC 的长，即可得到 AD 的长.（2）当点 E 与点 C 重合时，FCD 的角度最大，据此求解即可.过点 F 作 FHAC 于点 H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含 30 度角直角三角形的性质求解即可.过点 F 作 FHAC 于点 H，AD=x，应用含 30 度角直角三角形的性质把 FC 用 x 来表示，根据勾股定理列式求解.设 AD=x，把 FCD 的面积 s 表示为 x 的函数，根据 x 的取值范围来确定 s 的取值范围.试题解析：（1）B=90，A=45，BC=，AC=12.CD=10，AD=2.（2）F=90，EDF=30，DEF=60.当点 E 与点 C 重合时，FCD 的角度最大，FCD 的最大度数=DEF=60.如图，过点 F 作 FHAC 于点 H，EDF=30，EF=2，DF=.DH=3，FH=.FC AB，A=45，FCH=45.HC=.DC=DH+HC=.AC=12，AD=.如图，过点 F 作 FHAC 于点 H，设 AD=x，由知 DH=3，FH=，则 HC=.在 Rt CFH 中，根据勾股定理，得.以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 FC 为斜边，即，解得.设 AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.FCD 的面积 s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含 30 度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.6已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，于是，对正整数，有 原式=7关于 x 的方程(k1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论 k 为何值，方程总有实数根（2）设 x1，x2是方程(k1)x2+2kx+2=0 的两个根，记 S=+x1+x2，S 的值能为 2 吗？若能，求出此时 k 的值若不能，请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）S 的值能为 2，此时 k 的值为 2【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k1)，可能为 0，可能不为 0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使 0 恒成立；（2）欲求 k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可 试题解析：（1）当 k-1=0 即 k=1 时，方程为一元一次方程 2x=1,x=有一个解；当 k-10 即 k1 时，方程为一元二次方程，=（2k）-42（k-1）=4k-8k8=4(k-1)40 方程有两不等根 综合得不论 k 为何值，方程总有实根（2）x x,x x=S=+x1+x2=2k-2=2，解得 k=2，当 k=2 时，S 的值为 2 S 的值能为 2，此时 k 的值为 2 考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系 8沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有 7.5 万人，街道划分为 A，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过 A 社区居民人口数量的 2 倍（1）求 A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查 A，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有 1.2 万人知晓，B 社区有 1.5 万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为 m%，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m%，第二月在第一个月的基础上又增长了 2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求 m 的值【答案】（1）A 社区居民人口至少有 2.5 万人；（2）m 的值为 50【解析】【分析】（1）设 A 社区居民人口有 x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过 A 社区居民人口数量的 2 倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.592%，据此列出关于 m 的方程并解答【详解】解：（1）设 A 社区居民人口有 x 万人，则 B 社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x2x，解得 x2.5 即 A 社区居民人口至少有 2.5 万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5（1+45m%）+1.5（1+45m%）（1+2m%）=7.592%，解得 m=50 答：m 的值为 50【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程 9小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为 30 元/只，每天销售量 y（只）与销售单价 x（元）之间的关系式为 y10 x+700（40 x55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为 50 元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为 4000 元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为 w 元，根据题意得：w（x30）y（x30）（10 x+700）10 x2+1000 x2100010（x50）2+4000 a100，当 x50 时，w 取最大值，最大值为 4000 答：当销售单价为 50 元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为 4000 元【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.10已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k1）xk22k0 有两个实数根 x1，x2（1）求实数 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使得 x1x2x12x220 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)当 k14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数 k，使得 x1x2x12x220 成立【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.试题解析：（1）2221420kkk，解得14k （2）由2212120 x xxx 得 2121230 x xxx（），由根与系数的关系可得：2121221,2xxkx xkk 代入得：22364410kkkk，化简得：210k，得1k.由于k的取值范围为14k，故不存在 k 使2212120 x xxx 11（问题）如图，在 abc（长宽高，其中 a，b，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图，在 211 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2=2 32=3 条线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 311=3（2）如图，在 311 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2+3=3 42=6 条线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 611=6（3）依此类推，如图，在 a11 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有1+2+a=a a12线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为_ 探究二：（4）如图，在 a21 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有 1+2=2 32=3 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a1231=3a a12（5）如图，在 a31 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有 1+2+3=3 42=6 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为_（6）依此类推，如图，在 ab1 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_ 探究三：（7）如图，在以 ab2 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱AC 上有b b12 条线段，棱 AD 上有 1+2=2 32=3 条线段，则图中长方体的个数为3a a12b b123=3ab a1b14（8）如图，在 ab3 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有b b12条线段，棱 AD 上有 1+2+3=3 42=6 条线段，则图中长方体的个数为_ （结论）如图，在 abc 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（应用）在 234 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有 1000 个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论【答案】探究一：（3）a a12；探究二：（5）3a（a+1）；（6）ab a1b 14；探究三：（8）3ab a1b12；【结论】：abc a1b1 c 18；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是 64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4 代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论【详解】解：探究一、（3）棱 AB 上共有a a12线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 11=a a12，故答案为a a12；探究二：（5）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有 6 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 61=3a（a+1），故答案为 3a（a+1）；（6）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 b b121=ab a1b 14，故答案为ab a1b 14；探究三：（8）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上有 6 条线段，则图中长方体的个数为a a12 b b126=3ab a1b12，故答案为3ab a1b12；(结论)棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上有c c12条线段，则图中长方体的个数为a a12b b12c c12=abc a1b1 c 18，故答案为abc a1b1 c 18；(应用)由(结论)知，abc a1b1 c 18，在 234 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 2 3 42 13 14 18 =180，故答案为为 180；拓展：设正方体的每条棱上都有 x 个小立方体，即 a=b=c=x，由题意得 33(1)8xx=1000，x（x+1）3=203，x（x+1）=20，x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）444=64 所以组成这个正方体的小立方块的个数是 64【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目 12若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根（1）求 a 的取值范围；（2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解【答案】（1）a174；（2）x=1 或 x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于 a 的不等式，即可求出 a 的取值范围；（2）根据（1）确定出 a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）关于 x 的一元二次方程 x23x+a2=0 有实数根，0，即（3）24（a2）0，解得 a174；（2）由（1）可知 a174，a 的最大整数值为 4，此时方程为 x23x+2=0，解得 x=1 或 x=2【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）0 方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（3）0 方程没有实数根 13解方程：（x2+x）2+（x2+x）6【答案】x12，x21【解析】【分析】设 x2+xy，将原方程变形整理为 y2+y60，求得 y 的值，然后再解一元二次方程即可【详解】解：设 x2+xy，则原方程变形为 y2+y60，解得 y13，y22 当 y2 时，x2+x2，即 x2+x20，解得 x12，x21；当 y3 时，x2+x3，即 x2+x+30，12413112110，此方程无解；原方程的解为 x12，x21【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.14已知关于 x 的方程 x2(k+3)x+3k0(1)若该方程的一个根为 1，求 k 的值；(2)求证：不论 k 取何实数，该方程总有两个实数根【答案】(1)k1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把 x1 代入方程，即可求得 k 的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把 x1 代入方程 x2(k+3)x+3k0 得 1(k3)+3k0，1k3+3k0 解得 k1；(2)证明：1,(3),3abkck 24bac (k+3)243k(k3)20，所以不论 k 取何实数，该方程总有两个实数根【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.15阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程3220 xxx，可以通过因式分解把它转化为2(2)0 x xx，解方程0 x 和220 xx，可得方程3220 xxx的解。（1）问题：方程3220 xxx的解是10 x，2x _，3x _。（2）拓展：用“转化”思想求方程43xx的解。（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长6ADm，宽4ABm，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C。求 AP 的长。【答案】（1）2，-1;（2）1，3 ;（3）3m.【解析】【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；（3）设 AP 的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.【详解】（1）x3-x2-2x=0，x（x2-x-2）=0，x（x-2）（x+1）=0 所以 x=0 或 x-2=0 或 x+1=0 x1=0，x2=2，x3=-1；故答案为：2，-1；（2）43xx 方程的两边平方，得 4x-3=x2 即 x2-4x+3=0（x-3）（x-1）=0 x-3=0 或 x-1=0 x1=3，x2=1，当 x=3 或 1 时,43x有意义，故是方程的解.（3）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 A=D=90，AB=CD=4m,设 AP=xm，则 PD=（6-x）m 因为 BP+CP=10，BP=22216APABx,CP=22216(6)DCPDx,所以216(6)x=10-216x 两边平方，得 16+(6-x)2=100-20216x+x2+16 整理，得 3x+16=5216x,两边平方并整理，得 x2-6x+9=0 即（x-3）2=0 所以 x=3 经检验，x=3 是方程的解 答：AP 的长为 3m【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法解无理方程是注意到验根解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键