高中数学平面向量知识点总结.pdf

高中数学平面向量知识点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13,2020高中数学必修高中数学必修 4 4 之平面向量之平面向量知识点归纳知识点归纳一一.向量的基本概念与基本运算向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行单位向量：模为 1 个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设AB a,BC b，则a+b=AB BC=AC（1）0 a a 0 a；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法：相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（）a a；（）当 0时，a的方向与a的方向相同；当 0时，a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a 6 6、平面向量的基本定理：、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一 向量a，有且只有一对实数1,2使：a 1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二二.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成a xi yj，记作a=(x,y)。2平面向量的坐标运算：(1)若a x1,y1,b x2,y2，则a b x1 x2,y1 y2(2)若Ax1,y1,Bx2,y2，则AB x2 x1,y2 y1(3)若a=(x,y)，则a=(x,y)(4)若a x1,y1,b x2,y2，则a/b x1y2x2y1 0(5)若a x1,y1,b x2,y2，则ab x1x2 y1 y2若a b，则x1 x2 y1 y2 0三平面向量的数量积三平面向量的数量积1两个向量的数量积：b=a已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则abcos叫做a与b的数量积（或内积）规定0a 02向量的投影：bcos=abR，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影|a|b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积3数量积的几何意义：a4向量的模与平方的关系：aa a2|a|25乘法公式成立：a b a 2ab b22a b a b a2b2 a b；222 a2ab b226平面向量数量积的运算律：交换律成立：ab b a 分配律成立：a bc ac b c ca b特别注意：（1）结合律不成立：ab cabc；（2）消去律不成立ab ac不能得到b c对实数的结合律成立：ab ab abR（3）ab=0 不能得到a=0或b=07两个向量的数量积的坐标运算：b=x1x2 y1y2已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则AOB=（001800）叫做向量a与b的夹角cos=cos a,b abx1x2 y1y2a b=x21 y2221x2 y2当且仅当两个非零向量a与b同方向时，=00，当且仅当a与b反方向时=1800，同时何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为 900则称a与b垂直，记作ab10两个非零向量垂直的充要条件：ababOx1x2 y1y2 0平面向量数量积的性质0与其它任