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古代数学趣题 Prepared on 21 November 2021 中国古代数学 1.及时梨果 元代数学家朱世杰于 1303 年编着的四元玉鉴中有这样一道题目：九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱。问：梨果多少价几何？此题的题意是：用 999 文钱买得梨和果共 1000 个，梨 11 文买 9 个，果 4文买 7 个。问买梨、果各几个，各付多少钱？解：梨每个价：119911（文）果每个价：4774（文）果的个数：（9111000999）（91174）343（个）梨的个数：1000343657（个）梨的总价：911657803（文）果的总价：74343196（文）2两鼠穿墙 我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问何日相逢，各穿几何 今意是:有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙。大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问几天后两鼠相遇，各穿几尺 解：第一天，1+1=2 尺 还有 3 尺 第二天，2+0.5=2.5 尺 还有 0.5 尺 第三天，解：设还需 X 天。(4+0.25)X=0.5 X=172 172天=2 小时 49 分 在第三日凌晨2 时 49 分相逢，相逢时大老鼠穿 3.47尺，小老鼠穿 1.53尺。3隔壁分银 只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一份多四两，半斤一份少半斤。试问各位能算者，多少客人多少银？（注：旧制1 斤16 两，半斤8 两）此题是民间算题，用方程解比较方便。解：设客人为 x 人。4x48x8 x3 43416（两）答：客人 3 人，银 16 两。4李白打酒 李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？这是一道民间算题。题意是：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量单位，1 斗10 升），这样遇店见花各 3 次，把酒喝完。问壶中原来有酒多少？解：设壶中原来有酒 x 斗。（2x1）21210 x87 5今有物不知其数 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何”题目的意思就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下 2 个；五个五个地数，会剩下 3 个；七个七个地数，也会剩下 2 个。这些物品的数量至少是多少个？（注：诗题及题目原文都无“至少”二字，但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题，否则就会有无数多个答案。所以，解释题目意思时，在语句中加上了“至少”二字。）孙子算经解这道题目的“术文”和答案是：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。”“答曰：二十三。”这段话的意思是：先求被 3 除余 2，并能同时被 5、7 整除的数，这样的数是 140；再求被 5 除余 3，并能同时被 3、7 整除的数，这样的数是 63；然后求被 7 除余 2，并能同时被 3、5 整除的数，这样的数是 30。于是，由 1406330=233，得到的 233 就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。再用求得的“233”减去或者加上 3、5、7 的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数：23，128，233，338，443，从而可知，23、128、233、338、443、都是这一道题目的解，而其中最小的解是 23。其实由于三个三个地数和七个七个地数都是剩 2 个，由此可求出 3、7 的最小公倍数再加 2，也就是 23 个。23 也正好是五个五个地数多 3 个，所以这些物品的数目至少是 23 个。