江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案.pdf

.-1-/11 金陵中学 2017-2018 学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 数学 I 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填在答题卡相应位置上.1.设集合2,4A,2,6,8B,则AB.2.已知复数2(12i)z,其中i是虚数单位,则|z的值是.3.某校共有教师 200 人,男学生 1200 人,女学生 1000 人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为 50 人,那么n的值为.4.如图是一算法的伪代码,则输出值为.5.如图,在长方体1111ABCDABC D中,3cmABAD,12cmAA,则三棱锥111AAB D的体积为.6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2221(0)xymm的一条渐近线方程为30 xy,则实数m的值为.7.设各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS,若52378,13aaS,则数列na的通项公式为na.8.将一颗均匀的骰子连续抛掷 2 次,向上的点数依次记为,m n,则2mn的概率是.9.若实数,x y满足条件14,23,xyxy 则42zxy的取值 X 围为.10.在平面直角坐标系xOy中,已知()cosf xx,()3sing xx,两曲线()yf x与()yg x在区间(0,)2上交点为A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于,B C两点,则线段BC的为.11.如图,在平面四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,且10OB,6OD.若28DA DC,则BA BC的值为.12.若对满足64xyxy的任意正实数,x y,都有22210 xxyyaxay,则实数a的取值 X 围为.-2-/11 13.在平面直角坐标系xOy中,记椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,F F,若该椭圆上恰好有 6 个不同的点P,使得12FF P为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值 X 围是.14.对于任意的实数,m n,记min,m n为,m n中的最小值.设函数21()4f xxax,()lng xx,函数()min(),()h xf x g x,若()h x在(0,)恰有一个零点,则实数a的取值 X 围是.二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程.15.在平面直角坐标系xOy中,设向量(sin,1)mx,2(3cos,cos)nxx.当3x时,求m n的值；若0,4x,且3132m n.求cos2x的值.16.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD 平面ABCD,APAD,点M在棱PD上,AMPD,点N是棱PC的中点,求证：MN平面PAB;AM 平面PCD.17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽 1村庄,A B和供电站C恰位于一个边长为 2的等边三角形的三个顶点处,且,A C位于河流的两岸,村庄A侧的河岸所在直线恰经过BC的中点D.现欲在河岸上,A D之间取一点E,分别修建电缆CE和EA,EB.设DCE,记电缆总长度为()f.求()f的解析式；当DCE为多大时,电缆的总长度()f最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为32,且过点1(3,)2.设F为椭圆的右焦点,A B为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF并延长,分别交椭圆于,C D两点.-3-/11 求椭圆的标准方程；设直线,AB CD的斜率分别为12,k k,是否存在实数m,使得21kmk?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.19.设数列na的前n项的和为nS,且满足12a,对*nN,都有1(1)2nnapS,数列 nb满足2121log()nnba aan.求证:数列na是等比数列；若220172p,求2018b的值；若*kN,使得2212kp,记3|2nncb,求数列 nc的前2(1)k 项的和.20.在平面直角坐标系xOy中,已知函数()1n(R)f xcx c的图像与直线2yxe相切,其中e是自然对数的底数.#数c的值；设函数()()ah xaxg xx在区间1(,e)e内有两个极值点.#数a的取值 X 围；设函数()h x的极大值和极小值的差为M,#数M的取值 X 围.高二数学 21.已知矩阵2 11 3M,1 12 1N.求1()MN；在平面直角坐标系xOy中,求直线:210Lxy 在M对应的变换T作用下所得直线L的方程.22.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的参数方程为3cossinxy,直线l的极坐标方程为cos()2 24p.写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；.-4-/11 求曲线C上的点到直线l的最大距离.23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)pp.现有 3 次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完 3 次投篮机会的概率是2125.求p的值；设该运动员投篮命中次数为X,求X的概率分布与数学期望()E X.24.如图,已知正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为 2,侧棱长为 3,1AEAB,垂足为F,AE交1B B于点E.求证:1D B平面AEC;记直线AE与平面1ACD所成的角,求sin的值.试卷答案 一、填空题.1.2,4,6,8 2.5 3.120 4.4 5.3 6.3 7.31n 8.16 9.5,13 10.4 33 11.36 12.10(,3 13.1 11(,)(,1)3 22 14.5|4a a 或34a 二、解答题.15.解当3x时,3,12m,3 1,24n,所以311442m n.23sincoscosm nxxx 1sin262x,若3122m n.则131sin26222x,.-5-/11 即3sin263x.因为0,4x,所以2663x,所以cos26x261sin 263x,所以cos2cos266xx 63313 2332326.16.证明因为在PAD中,APAD AMPD,所以点M是棱PD的中点.又点N是棱PC的中点,所以MN是PDC的中位线,所以MNDC.因为底面ABCD是矩形,以ABDC,所以MNAB.又AB 平面PAB,MN 平面PAB,所以MN平面PAB.因为平面PAD 平面ABCD,CD 平面ABCD,平面PAD平面,ABCDAD CDAD,所以CD 平面PAD.又AM 平面PAD,所以CDAM.因为CDAD,CDAM,CDPDD,CD 平面PCD,PD 平面PCD,所以AM 平面PCD.17.解易得AD垂直平分BC,1CDBD 则1cosCEEB,tanED,3tanAE,于是11()coscosf2sin3tan3cos,因为E在CD之间,所以03,.-6-/11 故2sin()3cosf,03.22cos(2sin)(sin)()cosf,03,令()0f,得1sin,26,故当06,()0f,()f递减,当sin62,()0f,()f递增,所以,当6时,min()()6ff12232 332.答:当6DCE时,()f最小值为2 3.18.解设椭圆的方程为22221(0)xyabab,22cab,由题意知223,2311,4caab 解得2,1,ab所以椭圆的方程为2214xy.设00(,)A xy,则00(,)Bxy,010ykx,又(3,0)F,所以直线AF的方程为00(3)3yyxx.由0022(3),31,4yyxxxy消去y,得 2200(72 3)8 3x xy x20078 30 xx.因为0 xx是该方程的一个解,所以点C的横坐标008 3772 3Cxxx.-7-/11 又点(,)CCC xy在直线00(3)3yyxx上,所以00(3)3CCyyxx0072 3yx,从而点C的坐标为00008 37,72 372 3xyxx 同理,点D的坐标为00008 37,72 372 3xyxx,所以00002000072 372 38 378 3772 372 3yyxxkxxxx0101472ykx,即存在7m,使得217kk.19.证明:因为*nN,都有1(1)2nnapS,所以两式相减得211(1)nnnaapa,即21nnapa,当1n 时211(1)2apapa,所以*1,()nnapanN,又因为1p,所以11nnnnaapp,所以数列nnap是常数列,112,2nnnnaaapppp,所以na是以 2 为首项,p为公比的等比数列.由得12nnap.所以20182b.由得12nnap.2121log()nnba aan(1)221log(2)n nnpn(1)2121log(2 2)n nnkn1121nk.-8-/11 因为322322(21)nnkbk,所以当11nk时,32nncb,当2nk时,32nncb.因此数列 nc的前2(21)k 项的和22kT(1)221k kk 2(1)(22)(1)22121kkkkkk.20.设直线2yxe与函数()1nf xcx相切于点00(,1n)P x cx,函数()1nf xcx在点00(,1n)P x cx处的切线方程为:0001()cyc nxxxx,02cxe,把0,0 xy代入上式得0,2xe c.所以,实数c的值为2.由知()21nah xaxxx,设函数()h x在区间1(,e)e内有两个极值点1212,()x xxx,令22()aah xaxxx2220axxax,则220axxa,设2()2m xaxxa,因为121x x,故只需0,20,()0,am e,所以,2211eae.因为121x x,所以,由21120axxa,得12121xax,且111xe.12111211222121xxxMxxx222111211121n4(1n)12xxxx.-9-/11 设21xt,211te,令11()4(1n)+12tttt,221()4()(+1)2ttt222(1)0(1)tt t,()t在21(,1)e上单调递减,从而21(1)()()te,所以,实数M的取值 X 围是28(0,)1e.高二数学附加题 21.解由题知2 11 3MN1 10 32 17 2,所以0 3)2l7 det(2MN,根据逆矩阵公式,得121 217)1 03(MN.设由L上的任意一点(,)P x y在T作用下得到L上对应点(,)p x y.由2 11 3xxyy ,即2,3xyxxyy解得3+727x yxyxy,因为210 xy,所以3221077xyyx,即5470 xy.即直线L的方程为5470 xy.22.解由3cos,sin,xy得22:13xCy,由cos()2 24p,得cossin4pp,即:40l xy.在22:13xCy上任取一点(3cos,sin)P(02),则点P到直线l的距离为|3cossin4|2d|2sin()4|32,02,.-10-/11 当sin()13,即76时,max3 2d.23.解设事件A:恰用完 3 次投篮机会,则其对立事件A:前两次投篮均不中,依题意,()1()P AP A 2211(1)25p,解得35p.依题意,X的所有可能值为0,1,2,3,且24(0)(1)25P Xp,2(1)(1)P Xpp24(1)(1)125p pp,327(3)125P Xp,故(2)1(0)P XP X 54(1)(3)125P XP X.X的概率分布列为:数学期望24()2125E X 54272133125125125.24.解如图,以D为坐标原点,分别以直线1,DA DC DD所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,易得1(0,2,3)AB,设BEa,则(0,2,)AEa,因为1ABAE,所以1(0,2,3)AB AE(0,2,)430aa,解得43a,即4(0,2,)3AE,又1(2,2,3)DB,(2,2,0)AC ,所以1(2,23)DB AE4(0,2,)03,所以1D BAE,且1(2,2,3)(2,2,0)0DB AC,所以1DBAC,又AEACA,所以1DB 平面AEC.4(0,2,)3AE,1(2,0,3)D A,1(0,2,3)DC,设平面1ACD的一个法向量(,)nx y z,.-11-/11 则110,0,D A nDC n即230,230,xzyz 令0z,则3xy,即(3,3,2)n,22222423=2342+()3+3+23286=22.