高考数学冲刺专题复习之——均值不等式教师版.pdf

高考数学（文）冲刺专题复习之均值不等式高考数学（文）冲刺专题复习之均值不等式一、知识点梳理一、知识点梳理1、均值不等式（1）基本不等式：若 a,bR，则 a2+b22ab（当且仅当 a=b 时取“=”号）a ba2b2（2）均值不等式：若 a,bR，则（当且仅当 a=bab 1122ab+2时取“=”号）（一正）a 0,b 0；s2（二定：积定和最小，和定积最大积定和最小，和定积最大）若ab s，则ab有最大值；若4ab p，则a b有最小2 p值；（三相等）当且仅当 a=b 时取“=”号；（3）均值不等式的推广（三个数的均值不等式）：若a,b,cR，则abc33abc（等号仅当a b c时成立）2、均值不等式的变形a2b2 a b abc ab；abc；223233、二个重要不等式：若 a,b 同号，则ba 2（当且仅当 a=b 时取“=”号）ab若 xR+，则x1 2（当且仅当x 1时取“=”号）x4、由不等式求最值的方法：（1）、积定，求和最小值：基本不等式 a2+b22ababab2 ab（2）、和定，求积最大值：aba b（ab）222a2b2a2b2a b（3）、和定，求和与积的最大、最小：ab2225.5.不等式解法不等式解法整式不等式：ax ba 0；ax2bxc 0a 0图像法 高次不等式：m(x a)(x b)解)分式不 等式：(x c)0穿根法(系数正化、轴上标根、穿根取 f(x)g(x)0f(x)（分整）；0 g(x)g(x)0f(x)f(x)g(x)h(x)h(x)0；g(x)g(x)绝对值不等式：f(x)a（a 0）a f(x)a；f(x)a（a 0）f(x)a或f(x)a（若a换为g(x)可仿上处理）6.6.简单的线性规划简单的线性规划二元一次不等式（组）表示的平面区域及判定方法；可行域：满足约束条件（不等式组）所表示的平面区域；目标函数：关于x,y的函数解析式；线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。解线性规划问题的一般步骤：设未知数、列出约束条件、建立目标函数、求最优解。二、考点、题型及方法二、考点、题型及方法考点考点 1 1 均值不等式均值不等式1、设x,yR,且xy 0，则(x2112)(4y)的最小值为。22yx2、（）已知a 0,b 0,ab 2，则y（A）7214的最小值是ab9（B）4（C）（D）52（C）xa，则实数a的取值围是.x23x11【解】因为x 0，所以x2（当且仅当x 1时等号成立），x1x1x111则2的最大值为，故a.=，即25x 3x15x 3x1x31235x3、（10）若对任意x 0，4、（）设a b c 0，则2a21110ac25c2的最小值是aba(ab)（A）2（B）4（C）2 55【解】2a211ab)10ac25c2aba(a5c)2a2abab1ab1a(ab)(a5c)2ab1aba(ab)1a(ab)022 4当且仅当a5c 0,ab 1,aab1时等号成立如取a 2,b 22,c 25满足条件.（B）5、（）若a,bR，且ab 0，则下列不等式中，恒成立的是（A）a2b2 2ab（B）a b 2 ab（C）112abab（D）baab 2（D）6、（）已知x 0,y 0,x2y 2xy 8，则x2y的最小值是（A）3（B）4（C）92（D）112（D）【解】考察均值不等式 x 2y 2x 2y 8 x(2y)8，整理得x 2y 4x 2y32 02即x 2y 4x 2y 8 0，又x 2y 0，x 2y 46 x2147、（1）求y 2的最大值。（2）求函数y x22的最小值。x 4x 126 x216 x21【解】（1）y 22x 4(x 1)36x213x213x2162 33，即y的最大值为3，当且仅当x21 大值。时，即x2 2，x 2时取得最442 x 11 24 1 3.x21x214 y的最小值为 3，当且仅当2 x21，即(x21)2 4，x21 2，x 1时x 1（2）y x2取得最小值。8、已知x1y2 5，求x y的最小值【解】法1：（换 元 法）令u x1,v y2，即 在uv 5时，12u v，所 以2252752133。所以u2v21。当u v，即x,y 时，x y有最u2v22224427小值是2x y u21v22 u2v21取 最 小 值。因 为u2v2法 2：x y12所以，x y x1y2=25 x y1 x1y2=2x y2272训练x、yR,x y 1，求2x1+2y1的最大值。a2b2a b提示：229、若实数a，b满足ab 2，则3a3b的最小值为（）（A）18（B）6（C）2 3（D）2 3（B）110、当x,yR时，函数f(x,y)(x y)2(y)2的最小值是。x11、已知0 x 1，求12、已知a b 0，求a2提示：a2abab11的最小值。abaab53的最小值。1 xx112aba abtan AtanB3tan B13、已知tan A 4tan B，A为锐角，求tanAB的最大值1tan AtanB14tan2B3提示：利用公式，得到14tan BtanB考点考点 2 2 线性规划线性规划1、（）（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品，每千克A产品获利 40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品，每千克B产品获利 50 元.甲、乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱（B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱（C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱（D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱70(15,55)y80解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱x y 70则10 x6y 480 x,yN目标函数z280 x300y结合图象可得：当x15,y55 时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案：B训练训练（）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润3 万元。该企业在一个生产周期消耗A原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是A.12 万元B.20 万元C.25 万元D.27 万元【解析】【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：料甲产品x吨乙 产 品3xA 原料2x3y13B 原yyy吨x 0y 0则有：3x y 132x 3y 18（0，6）O（3，4）（目标函数z 5x 3y139，0）3x作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x3，y5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D三、高考三、高考1、（）若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是A（）D6245B285C5【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧.【解析】x+3y=5xy,131131 3x12y13 5,(3x4y)()()yx5yx5yx51132 36 5.55112、（XX）设a 0,b 0.若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）ab1A8B4C 1D4【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为3 3a a 3 3b b 3 3，所以a a b b 1 1，1 11 11 11 1b ba ab b a ab ba a1 1 (a a b b)()()2 2 2 2 2 2 4 4，当且仅当 即a a b b a ab ba ab ba ab ba ab ba ab b2 2时“=”成立，故选择 C3、（）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是A.12 万元B.20 万元C.25 万元D.27 万元【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文 10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产x x、y y吨，可使利润z z最大，故本题即 3 3x x y y 1313 2 2x x 3 3y y 1818 已知约束条件，求目标函数z z 5 5x x 3 3y y的最 x x 0 0 y y 0 0 x x 3 3大值，可求出最优解为，故z zmaxmax 1515 1212 2727，故y y 4 4 选择 D。x y 2,4、（2009）若实数x,y满足不等式组2x y 4,则2x3y的最小值是x y 0,答案：42【解 析】通 过画 出其 线 性 规 划，可 知直 线y xZ过 点2,0时，32x3ymin 45、()某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为_元.【解析】:设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,该公司所需租赁费为z元,则z 200 x300y，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示:产品A 类产品B 类产品租赁费(件)(50)(件)(140)5610200(元)设备甲设备乙设备203006xy 10 5x6y 505则满足的关系为10 x20y 140即:,x2y 14x 0,y 0 x 0,y 06xy 10作出不等式表示的平面区域,当z 200 x300y对应的直线过两直线5x2y 14的交点(4,5)时，目标函数z 200 x300y取得最低为 2300 元.答案:2300【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.6、设a,b R且2a b 1,S 2 ab 4a2b2的最大值是_7、若实数a,b满足a b 2，则3a3b的最小值是_8、设x,y是满足2x y 20的正数，则lgx lg y的最大值是_9、（）若正实数x,y满足2x y 6 xy，则xy的最小值是y210、（）.x,y,zR,x2y 3z 0,的最小值为xz3.2 1；4.6；5.2lg2；6.18；8.3；22x y 211、（）设变量x、y满足约束条件x y 1，则z 2x 3y的最大值为 18x y 1x3y3 0,1212、（）（）（7）若实数x，y满足不等式组2x y3 0,且x y的最大值为 9，则xmy 1 0,实数m（A）2（B）1（C）1（D）2解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题x y 3,（2010XX2010XX 文数）文数）(2)设变量 x，y 满足约束条件x y 1,则目标函数 z=4x+2y 的y 1,最大值为（A）12（B）10（C）8（D）2【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点（2，1）时 z 取得最大值 10.1313、（）（）(15)若a 0,b 0,ab 2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出所有正确命题的编号)ab 1；a b 2；a2b2 2；11a3b3 3；2ab15.，【解析】令a b 1，排除；由2 ab 2 ab ab 1，命题正确；a2b2(ab)22ab 42ab 2，命题正确；11ab2 2，命题ababab正确。