新教材-学新教材数学人教A版必修第一册_3.pdf

4.2.1 指数函数的概念【素养目标】1理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(数学抽象)2 能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出指数函数的性质(直观想象)3掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较幂的大小(逻辑推理)4通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究一些实际问题(数学运算)【学法解读】指数函数的学习，学生应掌握指数函数的运算法则和变化规律，运用信息技术学习、探索和解决问题例如，利用计算器、计算机画出指数函数的图象，探索、比较它的变化规律，并研究指数函数的性质 必备知识探新知 基础知识 知识点一指数函数 函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是_R_.思考 1：(1)为什么指数函数的底数0a，且1a?(2)指数函数的解析式有什么特征？提示：（1）如果0a，当0 x 时，xa恒于0，没有研究的必要；当0 x 时，xa意义.如果0a，例如(4)xy ，这时对于12x，14，该函数意义.如果1a，则1xy 是一个常量，没有研究的价值.为了避免上述各种情况，所以规定0a，且1a.（2）0a，且1a；xa的系数为1；自变量x的系数为1.知识点二指数型函数模型 形如xkay(kR，且0k；0a 且1a)的函数是指数型函数模型 思考 2：设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？提示：1()xyNp（xN）基础自测 1下列函数中一定是指数函数的是(C)A21yx B2yx C3xy D2 3xy 解析只有13()3xxy符合指数函数的概念，A，B，D 选项中函数都不符合xya（0a，且1a）的形式.2按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%，5年后支取，本利和为人民币(B)A52 10(.3)万元 B52 10.(03)万元 C42 10(.3)万元 D42 10.(03)万元 3若函数()f x是指数函数，且(2)2f，则()f x(2)x.解析设()xf xa（0a 且1a），由(2)2f得22a，2a 或2（舍去）.()(2)xf x.关键能力攻重难 题型探究 题型一指数函数的概念 例 1(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(B)A(4)xy Bxy C4xy D2xya(0a，1a)(2)若233()xyaaa是指数函数，则有(C)A1a 或2 B1a C2a D0a 且1a 分析 利用指数函数的定义进行判断 解析（1）函数(4)xy 的底数40，故 A 中函数不是指数函数；函数xy的系数为1，底数1，故 B 中函数是指数函数；函数4xy 的系数为1，故 C 中函数不是指数函数；函数22xxyaaa的系数为2a，故 D 中函数不是指数函数，故选 B.（2）由题意，得233101aaaa，解得2a，故选 C.归纳提升判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合xya（0a，1a）这一结构形式.对点练习下列函数中是指数函数的是（D ）A.2(2)xy B.xyx C.13xyD.(3)xy 解析由指数函数定义可知，函数(3)xy 是指数函数，故选 D.题型二指数函数解析式 例 2（1）指数函数()yf x的图象经过点(,2)，则()f22.（2）指数函数()yf x的图象经过点1(2,)4，那么(4)(2)ff64.解析（1）设()xf xa（0a 且1a），则2a，112()22faa.（2）设()xf xa（0a 且1a），则214a，2a，()2xf x，426(4)(2)22264ff.归纳提升 求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式为()xf xa（0a 且1a）(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式 对点练习（1）若点(,27)a在函数(3)xy 的图象上，则a的值为（A）A.6B.1 C.2 2D.0（2）若指数函数()yf x的图象经过点1(2,)16，则3()2f 18.题型三指数型函数的实际应用 角度 1 增长型指数函数模型 例 3 随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为()A3000 1.06 7元 B73000 1.06元 C3000 1.06 8元 D83000 1.06元 解析由题意知，2021年底该地区农民人均收入为773000(16%)3000 1.06，故选B.角度 2 衰减型指数函数模型 例 4 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2/mg ml，如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8/mg ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过_小时后才可以驾驶机动车(B)A1 B2 C3 D4 解析设n小时后才可以驾车，据题意得0.8(150%)0.2n，10.54n，2n，即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选 B.归纳提升关于指数型函数模型 设原有量为N，每次的增长（衰减）率为p，经过x次增长（衰减），该量增长到y，则(1)xyNp（xN）.【对点练习】已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2017年底的生产成本为6400元/件，那么2020年底的生产成本为_2700_元/件 解析 2020年底生产成本元364001257(%)2 00