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上海大学数学分析历年考研真题 1/11 上海大学 2000 年度研究生入学考试试题 数学分析 1、设122(1)nnxxnxyn n，若limnnxa，证明：（1）当a为有限数时，lim2nnay；（2）当a 时，limnny.2、设()f x在0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0ff，且0,1min()1f x 证明：0,1max()8fx 3、证明：黎曼函数1,x=(0,)()0,10,pqp qqqR x当为互质整数在上可积当x 为无理数.4、证明：12210()lim(0),ttf xdxftx其中()f x在1,1上连续.5、设 1ln 11nnpan，讨论级数2nna的收敛性.6、设0()f x dx收敛且()f x在0,上单调，证明：001lim()()hnhf nhf x dx.7、计算曲面2222xyza包含在曲面22221(0)xybaab内的那部分的面积.8、将函数()f xx在0,2上展成Fourier级数,并计算级数1sinkkk的值.上海大学 2001 年度研究生入学考试试题 数学分析 1、计算下列极限、导数和积分:(1)计算极限10lim();xxx(2)计算20()()xxf t dt的导数()x,其中()f x2,(1).1,(1)tttt(3)已知211arctan2 tan1 sin2xx,求积分2011 sinIdxx.(4)计算22222()0 xyztf txyzdxdydz t的导数()ft(只需写出()ft的积分表达上海大学数学分析历年考研真题 2/11 式).2、设()f x在,a b上连续，在,a b上可导，若()()0f a f b 且()02abf，试证明必存在,a b使得()0f.3、令,1yF x yyxe(1)、证明:111311,0,;,0,.212 12212 12F xxF xx (2)、证明:对任意的11,12 12x,方程,0F x y 在1 3,2 2y中存在唯一的解()y x.(3)、计算(0)y和(0)y.4、一致连续和一致收敛性 (1)、函 数2()f xx在0,1上 是 一 致 连 续 的,对210,试 确 定0,使 得 当1201xx,且12xx时有3321210 xx.(2)、设2231(),0,1,1,2,2nn xfxxnn x证明:()nfx在0,1上是内闭一致收敛的,但不是一致收敛的.5、曲线积分、格林公式和原函数.(1)计算第二型曲线积分 221,2LxdyydxIxy其中 L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于L 围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.(2)设,p x y,q x y除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若 ,0,0pqx yyx 0,Lpdyqdxc其中(L)的参数方程cos,(02)sinxttyt 证明：存在连续可微函数 ,0,0F x yx y，使得 2222,22FcyFcxp x yq x yxxyyxy.上海大学2002 年度研究生入学考试题 数学分析 上海大学数学分析历年考研真题 3/11 1、求和使得当x 时，无穷小量112xxx 等价于无穷小量x.2、求椭圆2221AxBxyCy所围成的面积S,其中20,0,AACBA B C均为常数.3、试给出三角级数01(cossin)2nnnaanxbnx中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在 0,1上一致收敛到2x,并说明理论依据。4、证明：sin()xexxf xxx当时，当时函数在，上一致连续 5、设()f x在 0,1上有连续的导函数()fx，(0)0f，证明：1122001()()2fx dxfx dx.6、证明:当xy1,1时,有不等式22222()2.xyyx 7、设()f x在,a b上连续,并且一对一,(即当12,x xa b且12xx时有12()()f xf x),证明:()f x在,a b上严格单调.上海大学 2003 年度研究生入学考试题 数学分析 1、证明与计算：（1）对于任意的0a，证明：limnna存在，并求之.（2）设111,0,1,2,.,nnakxknn,证明:limnnx存在并求之.2、判断下列结论是否正确,正确的请证明,错误的请举出反例.（3）存在级数1nnu,使得当n 时,nu不趋于0,但1nnu收敛.（4）20sin xdx是收敛的.(5)211limsin0 xxenxdx(此题只需指明理论依据)3、计算(6)32222,()Sxdydzydzdxzdxdyxyz其中 S 为曲面:221,0zxyz的上侧.(7)将把()f xx在,上展成Fourier级数,并由此计算211nkk.4、证明:上海大学数学分析历年考研真题 4/11(8)设函数(,),f x yxy证明:它在0,0上连续且有偏导数0,0,0,0,xyff但是(,)f x y在0,0不可微.(9)设函数()f x在 0,1上黎曼可积,证明:2()fx在 0,1上也是黎曼可积.(10)当0 x 时,证明:1ln 11xx.(11)设()fx在0,a上连续,其中0a,证明:001(0)()()aaff x dxfx dxa(12)设函数,F u v w有连续的偏导数,证明:曲面,0y z xFx y z上各点的切平面都交于一点,并求出交点坐标(13)设闭曲线 L:2221AxBxyCy,其中20,0,AACBA B C均为常数.记11,x y和22,xy分别表示曲线的最高点和最低点,证明:120y y.(14)如果函数列(),1,2,.,nfx n 在 0,1上一致收敛,证明:()nfx在 0,1上一致有界,即:存在0,M 使得(),nfxM对 0,1,xn 成立.(此题好象缺少条件)进一步问,如果函数列在 0,1上点点收敛,结论是否成立,请证明你的结论.(15)设函数()f x在0,)上连续,0()g x dx绝对收敛,证明:200lim()()(0)()nnxfg x dxfg x dxn 上海大学 2004 年度研究生入学考试题 数学分析 1、判断数列 nS是否收敛,其中111,231nnkSkk证明你的结论.2、在 0,1区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列 na,请运用区间套定理或有限覆盖定理证明该数列 na必有收敛子列.3、设函数在 0,1上连续,(0)(1)ff,证明方程1()()3f xf x在 0,1上一定有根.4、证明:达布定理:设()f x在,a b上可微,12,x xa b,如果12()()0,fxfx则在12,x x之间存在一点,使得()0f.5、给出有界函数()f x在闭区间,a b上黎曼可积的定义,并举出一个,a b有界但是不可积上海大学数学分析历年考研真题 5/11 的函数的例子,并证明你给的函数不是黎曼可积的.6、闭区间,a b上的连续函数()f x,如果积分()()0baf xx dx对于所有具有连续一 阶导数并且()()0ab的函数）（x都成立，证明：()f x0.7、判别广义积分dxxx0sin的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论.8、证明：2cos10220limdttxtxx 9、计算：01121nnn）（.10、试将函数xxf)(在,0上展开成余弦级数，并由此计算:222)12(151311k 11、函数列,2,1)(nxfn，在 1,0上连续，且对任意的),()(,1,0 xfxfxnn，问)(xf是否也在 1,0上连续，证明你的结论.12、设函数,3),(33xyyxyxf请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函数在该方向的方向导数.13、求解viviani问题，计算球体2222azyx被柱面axyx22所截出的那部分体积.14、曲线积分Lyxydyxdx22是否与路径无关，其中曲线L不过原点，证明你的结论.15、设函数)(xf可微，若0)(2)(xxfxf，证明：0)(limxfx.上海大学 2005 年度研究生入学考试题 数学分析 1、设函数)(xf在），（0内连续，,0)(limxfx求.)(limxxfx 2、设函数)(xf在 20，有二阶导数，在 20，上，1)(1)(xfxf求证：2)(xf.上海大学数学分析历年考研真题 6/11 3、若dxxf0)(收敛，0)(limxfx一定成立吗？举例并说明理由.4、求证：2005)(ln20051)2005(limodxxfnnkxenf.5、证明：dxxeax0在aa00上一致收敛，但 a0上不一致收敛.6、给出在 I 上一直连续的定义，并证明)1()(xxxg在），0上一致连续.7、,01lim2baxxxx求ba,的值.8、把，00 01)(xxf展成fourier级数，并证明：.12)1sin(233sin1sin4nn 9、求2222222)()()(:,Rczbyaxdxdyzdzdxydydzx外侧.10、02222CzByAx是 椭圆方 程，求 证：椭 圆的长 半轴kl1.其中k是 方 程022BkCCAk的最小根.11、,)(lim21aaaann证明:nnaaann212lim存在，并求之.12、,00 01sin)(xxxxxfa问a在什么范围内，)(xf在0 x可导：在什么范围内)(xf在 0 x连续.13、,)(ln)(1edxxfxxf求.)(1edxxf 14、已知)(xf，)(xg在ba,上连续，)(,0)(xgxf不变号，求.)()(limdxxgxfbann 15、)(xf在 I 上连续，)1()()(),()(111ndttFxFxfxFxnn求证：)(xFn在 I 上一致连续.上海大学 2006 年度研究生入学考试题 数学分析 计算 上海大学数学分析历年考研真题 7/11 1、求极限401sin2limxexxxx 2、求级数.)13()23(1.1071741411nn的和。3、设(x)是由方程exyeyx确定的隐函数，求(x)的图形在点（0，1）处的切线方程。4、求定积分dxxxx222sin1cos 5、将)()(xxxf展开为周期2的级数，并由此计算12)12(1kk 6、设是已知的三个正常数，求三元函数 f()在约束条件1222zyx下的最大值和最小值。一、计算和证明 7、设 收敛，并求它的极限。证明nnnnxxxxx)1(,1011 8、设 f(x)在上有定义，且在的每一点都有有限极限（在区间端点处指单侧极限）。证明 f(x)在上有界。9、若 f(x)和 g(x)在),(上都一致连续，能否推断出 f(x)(x)和 f(x)g(x)在),(上也一致连续？请给出根据。2224yxy210.求z=x 三个坐标平面所围的体积 2211.xdyydxxy，其中 22149xy 1012.lnbaxxdxx求，ba0 二、证明 13 设 f(x)在0,1上连续，在（0，1）上可导，且 f(1)=0，证明存在)1,0(，使0)()(ff 141011()(0,1,(),lim()nnkkf xf x dxfnn在单调 且广义积分收敛 证存在，并确定此极限值。15、设),()()()(),()(),(1baxvnxvxubaxvxunnnnnn在成立，若对连续，在点点收敛于一个连续函数，证明：)(1xunn也必点点收敛于一个连续函数.上海大学数学分析历年考研真题 8/11 上海大学 2007 年度研究生入学考试题 数学分析 1、已知有界函数 nnyx,且0)(limnnnyx，证明：nnnnyxlim,lim是否存在，若存在，说明理由，若不存在，举例说明.2、已知）（xf在 10，连续，且)1()0(ff问是否存在nx使)()1(nnxfnxf，若存在说明理由.3、试证明导数的零点定理：）（xf在,a b内可导，且）（xf在,a b内有两点的导数值反号，试证明：）（ba,使0）（f.4、已知)1(00 1sin02xxxxxx）（求：）（0且问）（x在零点的的某邻域内是否单调？证明你的结论.5、叙述一致连续的定义，并问xxxf2)(在，0上是否一致连续？证明你的结论.6、叙述在ba,上黎曼可积的定义，并问某)(xg在ba,上可积，dxdttgdxgxa)()(是否成立.7、已知双曲线122 yx，在双曲线上任取一点，向双曲线的两条渐近线做垂线，使求这两条垂线与渐近线所围成图形的面积.8、计算：101cos（可以用分数表示），结果精确到01.0.9、若1nnx收敛，1limnnnyx.问1nny是否收敛，若收敛证明你的结论，若发散，举出例子.10、试叙述一致收敛的定义，并证明：nnxxf)(在 10，上不一致收敛，但在1 0bb，一致收敛.11、（内道积分等于外道积分）内容不详 12、不详 13、已知.)(,0100mmxaxaaxQzmna若xAxQnx)(lim0存在；且等于I.求A及I的值.14、若曲面0 zxy及平面：.03zyx问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面垂直，若存在求出此法线及此点坐标，若不存在，说明理由.15、试问dxex02是否收敛，若收敛，求其值.上海大学数学分析历年考研真题 9/11 上海大学 2009 年度研究生入学考试题 数学分析 1.1222lim0,lim0nnnnaanaan求 2.叙述一致连续定义。问 22coscosg xxx是否是周期函数？证之 3.f x在1,可导，22111,ffxxfx且证 limxf x存在且极限小于14 4120sin,xIdxx误差0.0005 5.(0,)13,0,f xCfx y 当 111,xyyxf t dtxf t dtyf t dt f x求 6.f x在,a b可积.0,bafx dxa b 是否存在，,f x 使上为恒正或者恒负。证之 7.1lim01nnnnnnxxx 在的条件下，试问收敛吗？证之 8.f x在1,单减连续可微，lim0,xf x 1lim0 xxfx dxxfx证明：当收敛，则 9.证明：1,2nnfxxn，在0,1非一致收敛，但 S1,20,1nngxxxn，在上一致收敛，其中 S x 在0,1上连续且 S 1 10 01f xC，证明：10lim11nxnx fx dxf 11ab,:,0baSxxa bx dx在上可积且,f x在,a b上连续，若 0bafxx dx，任意 xS成立，让 f x恒为常数 12.xyza0,0,0,0 xyza任取一点做切平面，求该切平面截三坐标轴所得三线段长度之和 13.中心在原点的2222221AxByCzDxyEyzFxz的长半轴l是下行列式的最大上海大学数学分析历年考研真题 10/11 实根222111ADFlDBElFECl 14 是从1,0A 经过2210 xyy 到1,0B的线段，求：2222,0 xyxayIdxdy axayxay 15.求 21f xx在0,1上展开成余弦级数，并证明22221111623n 2010 年上海大学数学系硕士研究生招生复试之 泛函分析初步试题 一、证明：设，X是距离空间，令 yxyxyx,1,证明：，X也是距离空间.二、叙述距离空间X中集合A有界、全有界、准紧、紧的定义，并给出它们之间的关系.三、设 1,0Cf，有积分方程 1,1,0,)()()(0Cxdssxtftxt 运用不动点定理，证明解的存在唯一性.2010 年上海大学数学系硕士研究生招生复试之 近世代数试题 一、（1）叙述群的定义，列举一例 上海大学数学分析历年考研真题 11/11 （2）叙述环的定义，列举一例 （3）正规子群的定义，列举一例 二、考点：求理想，极大理想，素理想 三、证明正规子群 2010 年上海大学数学系硕士研究生招生复试之 概率统计试题 一、叙述概念 （1）、概率（2）、随机变量（3）、样本空间（4）、事件域 二、已知X服从 10，N 求（1）（nxE.（2）（1nxE.三、考点：最小方差无偏估计.