概率论与数理统计模拟题一及答案.pdf
.1/8 概率论与数理统计模拟题一 一、单项选择题每小题 3 分,共 30 分 1、设,A B C是随机事件,且ABC,则.CAB AC且BC CAB AC或BC 2、某工厂生产某种圆柱形产品,只有当产品的长度和直径都合格时才算正品,否则就为次品,设A表示事件长度合格,B表示事件直径合格,则事件产品不合格为.AB AB AB AB或AB 3、已知()0.6,()0.8,()0.6P AP BP B A,则()P A B.0.4 0.5 0.6 0.7 4、在下述函数中,可以作为某随机变量的分布函数的为.21()1F xx 11()arctan2F xx 1(1),0()20,0 xexF xx ()()xF xf x dx,其中()1f x dx 5、设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为()f x和()F x,则.0()1f x ()()P XxF x()()P XxF x ()()P Xxf x 6、设随机变量(0,1)XN,则方程2240tXt没有实根的概率为.1)1(2)2()4()2()4()4()2(7、设二维离散型随机变量(,)X Y的联合分布律为 YX 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知事件0X 与1XY相互独立,则.2/8 0.2,0.3ab 0.4,0.1ab 0.3,0.2ab 0.1,0.4ab 8、设随机变量X在区间(,)a b上服从均匀分布,即(,)XU a b,则DX.2()12ba 2()12ba 2()3ab 2()3ba 9、设,X Y是方差均大于零的随机变量,则下列命题中不正确的事.A,X Y不相关的充要条件是cov(,)0X Y B,X Y不相关的充要条件是()E XYEXEY C,X Y不相关的充要条件是()D XYDXDY D,X Y不相关的充要条件是()()D XYD XY 10、设(0,1),(0,1)XNYN,则.XY服从正态分布 22XY服从正态分布 22,XY都服从2分布 22XY服从F 分布 二、填空题每小题 3 分,共 30 分 1、设随机事件,A B互不相容,且(),()P Ap P Bq,则()P AB.2、设qBPpAP)(,)(,且BA,相互独立,则()P AB.3、从1,2,3,4,5,6这六个数字中等可能地有放回地连续抽取 4 个数字,则事件取得 4 个 数字完全不同的概率为.4、设随机变量X的分布函数为()arctanF xABx,则常数A,B.5、设在三次独立试验中,事件A发生的概率相等.若已知事件A至少出现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验中出现的概率为.6、设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则22(1)P XY.7、设(,)(1,1;4,4;0)X YN,则(1,1)P XY.8、设随机变量X服从参数为p的0 1分布,即(1,)XBp,则2(31)EX.3/8 9、设总体(72,100)XN,为使样本均值X大于 70 的概率不小于 90%,问样本容量n至少为已知(1.29)0.90？10、设总体X服从参数为(01)pp的0 1分布,12,nXXX为总体X的样本,则DX.三、解答题每小题 10 分,共 40 分 1、某工厂有 4 个车间生产同一种产品,其产量分别占总产量的 15%,20%,30%,35%,各车间的次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02,现从出厂产品中任取一件,求 1取出的产品是次品的概率；2若取出的产品是次品,它是一车间生产的概率.2、设随机变量X的分布函数为 证明：随机变量X的分布律为 X 1 2 3 P 14 12 14 3、设随机变量,X Y的分布律分别为 X 1 0 1 Y 0 1 P 14 12 14 P 12 12 且(0)1P XY,1求,X Y的联合分布律；2问,X Y是否独立,为什么？4、设总体,XU a b,其中,a b为未知参数,12,nXXX为来自总体X的一个样本,求参数,a b的最大似然估计量.模拟题一参考答案 一、单项选择题每小题 3 分,共 30 分 1、解应选A.由于ABC,因此CABAB,故选A.2、解应选C.由于AB表示事件产品合格,因此AB表示事件产品不合格,故选C.3、解应选D.由于.4/8 因此 从而 故选D.4、解应选 B.由于在选项A中,()01F ,在选项C中,1()12F ,在选项D中,取 则()1f x dx,但当12x时,()10F xx,因此选项 A、C、D 都不正确,故选B.5、解应选C.由于XxXx,因此,由概率的单调性与分布函数的定义,得 故选C.6、解应选A.故选A.7、解应选B.由0.40.11ab,得 由于事件0X 与1XY相互独立,且 因此 所以 从而 故选B.8、解应选.由于X在区间(,)a b上服从均匀分布,因此X的概率密度为 因为2abEX,而 所以X的方差为 故选.9、解应选.由于,X Y不相关的充要条件是cov(,)0X Y,因此选项正确；同理选项 C、D都正确,故选.10、解应选C.由于(0,1),(0,1)XNYN,因此2222(1),(1)XY,即22XY、都服从2分.5/8 布,故选 C.二、填空题每小题 3 分,共 30 分 1、解应填1pq.由于A、B互不相容,因此 故填1pq.2、解应填(1)pq.由于A、B相互独立,因此 故填(1)pq.3、解应填518.样 本 空 间 基 本 事 件 总 数11116666nC C C C.有 利 于 所 求 事 件 发 生 的 基 本 事 件 数111116543kC C C C,从而所求的概率为 故填518.4、解应填11,2AB.由 解之得11,2AB,故填11,2AB.5、解应填13.设事件A在一次试验中发生的概率为p,X表示三次独立试验中事件A发生的次数,则(3,)XBp,依题意,得 解之,得13p,从而事件A在一次试验中发生的概率为13,故填13.6、解应填4.由于X与Y的概率密度分别为 1,01()0,Xxfx其它,1,01()0,Yyfy其它 又X与Y相互独立,故(,)X Y的联合概率密度为.6/8 所以22221(1)(,)4xyP XYf x y dxdy221xy含在01,01xy内的平面图形的面积,故填4.7、解应填14.由于(,)(1,1;4,4;0)X YN,且0,因此(1,4)XN,(1,4)YN,且,X Y相互独立,从而 故填14.8、解应填1 3p.由于(1,)XBp,因此EXp,(1)DXpp,从而 故填1 3p.9、解应填 42.设所需的样本容量为n,由于2(,)XNn,即100(72,)XNn,因此 从而1.295n,41.6025n,故n至少应取 42,故填 42.10、解应填(1)ppn.由 于X服 从 参 数 为(01)pp的01分 布,因 此,(1)EXp DXpp,故(1)DXppDXnn,故填(1)ppn.三、解答题每小题 10 分,共 40 分 1、解设,1,2,3,4iB i 表示取出的产品是第i车间生产的,A表示取出的产品是次品,则 115()100P B,220()100P B,330()100P B,435()100P B 1()0.05P A B,2()0.04P A B,3()0.03P A B,4()0.02P A B 1由全概率公式,得 2由 Bayes 公式,得.7/8 2、证明：由于分布函数()F x的分界点为1,2,3,因此随机变量X可能取值为1,2,3.即X的分布律为 X 1 2 3 P 14 12 14 3、解由于(0)1P XY,因此 从而,X Y的联合分布律有如下结构：Y X 0 1 ip 1 11p 0 14 0 21p 22p 12 1 31p 0 14 jp 12 12 1 由联合分布律与边缘分布律的关系,得11312221111,0442pppp 故,X Y的联合分布律为 Y X 0 1 ip 1 14 0 14 0 0 12 12 1 14 0 14 jp 12 12 1 2由于111(1,0)(1)(0)442P XYP XP Y ,因此,X Y不独立.4、解由于,XU a b,因此其概率密度为 对于样本12,nXXX的一组样本值12,nx xx i似然函数：11(,)(),1,2,()niiniL a bf xaxb inba.8/8 ii取自然对数：ln(,)ln()L a bnba；iii 由于ln(,)0nL a baba,ln(,)0nL a bbba,因此(,)L a b关于a单调递增,关于b单调递减,又,1,2,iaxb in,故由最大似然估计的定义知,参数,a b的最大似然估计值分别为 12min(,)nax xx,12max(,)nbx xx 从而参数,a b的最大似然估计量分别为 12min(,)naXXX,12max(,)nbX XX
