北师大版八年级下册数学第1章《三角形的证明》单元测试试卷及答案(4).pdf

1/28 北师大版八年级下册第 1 章 三角形的证明单元检测卷 一、选择题（每小题4 分，共 48 分）1（4 分）（2013钦州）等腰三角形的一个角是 80，则它顶角的度数是（）A 80 B 80或 20 C 80或 50 D 20 2（4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A 如果 a0，b0，则 a+b0 B 直角都相等 C 两直线平行，同位角相等 D 若 a=6，则|a|=|b|3（4 分）ABC 中，A：B：C=1：2：3，最小边 BC=4cm，最长边 AB 的长是（）A 5cm B 6cm C 7cm D 8cm 4（4 分）（2013安顺）如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ADF CBE 的是（）A A=C B AD=CB C BE=DF D AD BC 5（4 分）（2012河池）如图，在 ABC 中，B=30，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，垂足为 D若 ED=5，则 CE 的长为（）A 10 B 8 C 5 D 2.5 6（4 分）（2013邯郸一模）如图，D 为 ABC 内一点，CD 平分 ACB，BECD，垂足为 D，交 AC 于点 E，A=ABE若 AC=5，BC=3，则 BD 的长为（）A 2.5 B 1.5 C 2 D 1 7（4 分）如图，AB=AC，BEAC 于点 E，CFAB 于点 F，BE、CF 相交于点 D，则 ABE ACF；BDF CDE；点 D 在 BAC 的平分线上以上结论正确的是（）2/28 A B C D 8（4 分）如图所示，ABBC，DCBC，E 是 BC 上一点，BAE=DEC=60，AB=3，CE=4，则 AD 等于（）A 10 B 12 C 24 D 48 9（4 分）如图所示，在 ABC 中，AB=AC，D、E 是 ABC 内两点，AD 平分 BAC EBC=E=60，若 BE=6，DE=2，则 BC 的长度是（）A 6 B 8 C 9 D 10 10（4 分）（2013遂宁）如图，在 ABC 中，C=90，B=30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列说法中正确的个数是（）AD 是 BAC的平分线；ADC=60；点D 在 AB 的中垂线上；S DAC：S ABC=1：3 A 1 B 2 C 3 D 4 3/28 12（4 分）（2013龙岩）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，2），B（0，6），动点 C在直线 y=x 上若以 A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是（）A 2 B 3 C 4 D 5 13（4 分）（2009重庆）如图，在等腰 Rt ABC 中，C=90，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D，E 分别在 AC，BC 边上运动，且保持 AD=CE连接 DE，DF，EF在此运动变化的过程中，下列结论：DFE 是等腰直角三角形；四边形 CDFE 不可能为正方形，DE 长度的最小值为 4；四边形 CDFE 的面积保持不变；CDE 面积的最大值为 8 其中正确的结论是（）A B C D 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）14（4 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60”时，首先应假设这个三角形中 _ 15（4 分）（2013雅安）若（a1）2+|b2|=0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 _ 16（4 分）如图，在 Rt ABC 中，ABC=90，DE 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，BAE=20，则 C=_ 4/28 17（4 分）如图，在 ABC 中，BI、CI 分别平分 ABC、ACF，DE 过点 I，且DE BCBD=8cm，CE=5cm，则 DE 等于 _ 18（4 分）（2013东营）如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 _ m（容器厚度忽略不计）19（4 分）（2013资阳）如图，在 Rt ABC 中，C=90，B=60，点 D 是 BC 边上的点，CD=1，将 ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 PEB 的周长的最小值是 _ 三、解答题（每小题 7 分，共 14 分）20（7 分）（2013常州）如图，C 是 AB 的中点，AD=BE，CD=CE 求证：A=B 21（7 分）（2013兰州）如图，两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点，在 AOB 的内部有工厂C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等，且到两工厂 C、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的位置（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）5/28 四、解答题（每小题 10 分，共 40 分）22（10 分）（2013攀枝花模拟）在四边形 ABCD 中，AB CD，D=90，DCA=30，CA 平分 DCB，AD=4cm，求 AB 的长度？23（10 分）（2013温州）如图，在 ABC 中，C=90，AD 平分 CAB，交 CB 于点 D，过点 D 作 DEAB 于点 E（1）求证：ACD AED；（2）若 B=30，CD=1，求 BD 的长 24（10 分）（2013大庆）如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置 F，G 分别是 BD，BE 上的点，BF=BG，延长 CF 与 DG 交于点 H（1）求证：CF=DG；（2）求出 FHG 的度数 6/28 25（10 分）已知：如图，ABC 中，ABC=45，DH 垂直平分 BC 交 AB 于点 D，BE 平分 ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F（1）求证：BF=AC；（2）求证：五、解答题（每小题 12 分.共 24 分）26（12 分）如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于点 F，交 AC的平行线 BG 于点 G，DEDF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论 27（12 分）ABC 中，AB=AC，点 D 为射线 BC 上一个动点（不与 B、C 重合），以 AD为一边向 AD 的左侧作 ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，过点 E 作 BC 的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE（1）如图 1，若 BAC=DAE=60，则 BEF 是 _ 三角形；（2）若 BAC=DAE60 如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，判断 BEF 的形状并证明；当点 D 在线段 BC 的延长线上移动，BEF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形 7/28 8/28 北师大版八年级下册 第 1 章 三角形的证明2014 年单元检测卷 A（一）参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）1（4 分）（2013钦州）等腰三角形的一个角是 80，则它顶角的度数是（）A 80 B 80或 20 C 80或 50 D 20 考点：等腰三角形的性质 专题：分类讨论 分析：分 80角是顶角与底角两种情况讨论求解 解答：解：80角是顶角时，三角形的顶角为 80，80角是底角时，顶角为 180802=20，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80或 20 故选 B 点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解 2（4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A 如果 a0，b0，则 a+b0 B 直角都相等 C 两直线平行，同位角相等 D 若 a=6，则|a|=|b|考点：命题与定理 分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可 解答：解；A如果 a0，b0，则 a+b0：如果 a+b0，则 a0，b0，是假命题；B直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D若 a=6，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则 a=6，是假命题 故选：C 点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 3（4 分）ABC 中，A：B：C=1：2：3，最小边 BC=4cm，最长边 AB 的长是（）A 5cm B 6cm C 7cm D 8cm 考点：含 30 度角的直角三角形 分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数 以及直角三角形中角 30所对的直角边是斜边的一半 解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是 30，9/28 根据 30所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的 2 倍，即 8，故选 D 点评：此题主要是运用了直角三角形中角 30所对的直角边是斜边的一半 4（4 分）（2013安顺）如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ADF CBE 的是（）A A=C B AD=CB C BE=DF D AD BC 考点：全等三角形的判定 分析：求出 AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可 解答：解：AE=CF，AE+EF=CF+EF，AF=CE，A、在 ADF 和 CBE 中 ADF CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据 AD=CB，AF=CE，AFD=CEB 不能推出 ADF CBE，错误，故本选项正确；C、在 ADF 和 CBE 中 ADF CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、AD BC，A=C，在 ADF 和 CBE 中 ADF CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选 B 点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS 5（4 分）（2012河池）如图，在 ABC 中，B=30，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，垂足为 D若 ED=5，则 CE 的长为（）10/28 A 10 B 8 C 5 D 2.5 考点：线段垂直平分线的性质；含 30 度角的直角三角形 分析：根据线段垂直平分线性质得出 BE=CE，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 BE 的长，即可求出 CE 长 解答：解：DE 是线段 BC 的垂直平分线，BE=CE，BDE=90（线段垂直平分线的性质），B=30，BE=2DE=25=10（直角三角形的性质），CE=BE=10 故选 A 点评：本题考查了含 30 度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE 和求出 BE 长，题目比较典型，难度适中 6（4 分）（2013邯郸一模）如图，D 为 ABC 内一点，CD 平分 ACB，BECD，垂足为 D，交 AC 于点 E，A=ABE若 AC=5，BC=3，则 BD 的长为（）A 2.5 B 1.5 C 2 D 1 考点：等腰三角形的判定与性质 分析：由已知条件判定 BEC 的等腰三角形，且 BC=CE；由等角对等边判定 AE=BE，则易求 BD=BE=AE=（ACBC）解答：解：如图，CD 平分 ACB，BECD，BC=CE 又 A=ABE，AE=BE BD=BE=AE=（ACBC）AC=5，BC=3，BD=（53）=1 故选 D 点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质注意等腰三角形“三合一”性质的运用 11/28 7（4 分）如图，AB=AC，BEAC 于点 E，CFAB 于点 F，BE、CF 相交于点 D，则 ABE ACF；BDF CDE；点 D 在 BAC 的平分线上以上结论正确的是（）A B C D 考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质 专题：常规题型 分析：从已知条件进行分析，首先可得 ABE ACF 得到角相等和边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案 解答：解：BEAC 于 E，CFAB 于 F AEB=AFC=90，AB=AC，A=A，ABE ACF（正确）AE=AF，BF=CE，BEAC 于 E，CFAB 于 F，BDF=CDE，BDF CDE（正确）DF=DE，连接 AD，AE=AF，DE=DF，AD=AD，AED AFD，FAD=EAD，即点 D 在 BAC 的平分线上（正确）故选 D 点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏 8（4 分）如图所示，ABBC，DCBC，E 是 BC 上一点，BAE=DEC=60，AB=3，CE=4，则 AD 等于（）12/28 A 10 B 12 C 24 D 48 考点：勾股定理；含 30 度角的直角三角形 分析：本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质 解答：解：ABBC，DCBC，BAE=DEC=60 AEB=CDE=30 30所对的直角边是斜边的一半 AE=6，DE=8 又 AED=90 根据勾股定理 AD=10 故选 A 点评：解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质 9（4 分）如图所示，在 ABC 中，AB=AC，D、E 是 ABC 内两点，AD 平分 BAC EBC=E=60，若 BE=6，DE=2，则 BC 的长度是（）A 6 B 8 C 9 D 10 考点：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出 BE=6，DE=2，进而得出 BEM 为等边三角形，EFD 为等边三角形，从而得出 BN 的长，进而求出答案 解答：解：延长 ED 交 BC 于 M，延长 AD 交 BC 于 N，作 DF BC，AB=AC，AD 平分 BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60，BEM 为等边三角形，EFD 为等边三角形，13/28 BE=6，DE=2，DM=4，BEM 为等边三角形，EMB=60，ANBC，DNM=90，NDM=30，NM=2，BN=4，BC=2BN=8，故选 B 点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出 MN 的长是解决问题的关键 10（4 分）（2013遂宁）如图，在 ABC 中，C=90，B=30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列说法中正确的个数是（）AD 是 BAC的平分线；ADC=60；点D 在 AB 的中垂线上；S DAC：S ABC=1：3 A 1 B 2 C 3 D 4 考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图基本作图 分析：根据作图的过程可以判定 AD 是 BAC 的角平分线；利用角平分线的定义可以推知 CAD=30，则由直角三角形的性质来求 ADC 的度数；利用等角对等边可以证得 ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点 D 在 AB 的中垂线上；利用 30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比 解答：解：根据作图的过程可知，AD 是 BAC 的平分线 14/28 故正确；如图，在 ABC 中，C=90，B=30，CAB=60 又 AD 是 BAC 的平分线，1=2=CAB=30，3=90 2=60，即 ADC=60 故正确；1=B=30，AD=BD，点 D 在 AB 的中垂线上 故正确；如图，在直角 ACD 中，2=30，CD=AD，BC=CD+BD=AD+AD=AD，S DAC=ACCD=ACAD S ABC=ACBC=AC AD=ACAD，S DAC：S ABC=ACAD：ACAD=1：3 故正确 综上所述，正确的结论是：，共有 4 个 故选 D 点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图基本作图解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质 12（4 分）（2013龙岩）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，2），B（0，6），动点 C在直线 y=x 上若以 A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是（）15/28 A 2 B 3 C 4 D 5 考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质 专题：压轴题 分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AB 的垂直平分线与直线y=x 的交点为点 C，再求出 AB 的长，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为点 C，求出点 B 到直线 y=x 的距离可知以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线没有交点 解答：解：如图，AB 的垂直平分线与直线 y=x 相交于点 C1，A（0，2），B（0，6），AB=62=4，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为 C2，C3，OB=6，点 B 到直线 y=x 的距离为 6=3，34，以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 没有交点，所以，点 C 的个数是 1+2=3 故选 B 点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观 13（4 分）（2009重庆）如图，在等腰 Rt ABC 中，C=90，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D，E 分别在 AC，BC 边上运动，且保持 AD=CE连接 DE，DF，EF在此运动变化的过程中，下列结论：16/28 DFE 是等腰直角三角形；四边形 CDFE 不可能为正方形，DE 长度的最小值为 4；四边形 CDFE 的面积保持不变；CDE 面积的最大值为 8 其中正确的结论是（）A B C D 考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题：压轴题；动点型 分析：解此题的关键在于判断 DEF 是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接 CF，由 SAS定理可证 CFE 和 ADF 全等，从而可证 DFE=90，DF=EF所以 DEF 是等腰直角三角形可证正确，错误，再由割补法可知是正确的；判断，比较麻烦，因为 DEF 是等腰直角三角形 DE=DF，当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时，DE 取最小值 4，故错误，CDE 最大的面积等于四边形 CDEF的面积减去 DEF 的最小面积，由可知是正确的故只有正确 解答：解：连接 CF；ABC 是等腰直角三角形，FCB=A=45，CF=AF=FB；AD=CE，ADF CEF（SAS）；EF=DF，CFE=AFD；AFD+CFD=90，CFE+CFD=EFD=90，EDF 是等腰直角三角形（故正确）当 D、E 分别为 AC、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形（故错误）ADF CEF，S CEF=S ADF S四边形CEFD=S AFC，（故正确）由于 DEF 是等腰直角三角形，因此当 DE 最小时，DF 也最小；即当 DFAC 时，DE 最小，此时 DF=BC=4 DE=DF=4（故错误）当 CDE 面积最大时，由知，此时 DEF 的面积最小 此时 S CDE=S四边形CEFDS DEF=S AFCS DEF=168=8（故正确）故选：B 17/28 点评：此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）14（4 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60”时，首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于 60 考点：反证法 分析：熟记反证法的步骤，直接填空即可 解答：解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于 60 故答案为：每一个内角都大于 60 点评：此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定 15（4 分）（2013雅安）若（a1）2+|b2|=0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 5 考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系 专题：分类讨论 分析：先根据非负数的性质列式求出 a、b 再分情况讨论求解即可 解答：解：根据题意得，a1=0，b2=0，解得 a=1，b=2，若 a=1 是腰长，则底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2，1+1=2，不能组成三角形，若 a=2 是腰长，则底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5 故答案为：5 点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解 16（4 分）如图，在 Rt ABC 中，ABC=90，DE 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，BAE=20，则 C=35 18/28 考点：线段垂直平分线的性质 分析：由 DE 是 AC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得 AE=CE，又由在Rt ABC 中，ABC=90，BAE=20，即可求得 C 的度数 解答：解：DE 是 AC 的垂直平分线，AE=CE，C=CAE，在 Rt ABE 中，ABC=90，BAE=20，AEB=70，C+CAE=70，C=35 故答案为：35 点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 17（4 分）如图，在 ABC 中，BI、CI 分别平分 ABC、ACF，DE 过点 I，且DE BCBD=8cm，CE=5cm，则 DE 等于 3cm 考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质 分析：由 BI、CI 分别平分 ABC、ACF，DE 过点 I，且 DE BC，易得 BDI 与 ECI是等腰三角形，继而求得答案 解答：解：BI、CI 分别平分 ABC、ACF，ABI=CBI，ECI=ICF，DE BC，DIB=CBI，EIC=ICF，ABI=DIB，ECI=EIC，DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，DE=DIEI=3（cm）故答案为：3cm 点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形 19/28 18（4 分）（2013东营）如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m（容器厚度忽略不计）考点：平面展开-最短路径问题 专题：压轴题 分析：将容器侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求 解答：解：如图：高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，AD=0.5m，BD=1.2m，将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A，连接 AB，则 AB 即为最短距离，AB=1.3（m）故答案为：1.3 点评：本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 19（4 分）（2013资阳）如图，在 Rt ABC 中，C=90，B=60，点 D 是 BC 边上的点，CD=1，将 ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 PEB 的周长的最小值是 1+20/28 考点：轴对称-最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）专题：几何动点问题 分析：连接 CE，交 AD 于 M，根据折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即可此时 BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出 BC 和 BE 长，代入求出即可 解答：解：连接 CE，交 AD 于 M，沿 AD 折叠 C 和 E 重合，ACD=AED=90，AC=AE，CAD=EAD，AD 垂直平分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称，CD=DE=1，当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时 BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，DEA=90，DEB=90，B=60，DE=1，BE=，BD=，即 BC=1+，PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1+=1+，故答案为：1+点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，含 30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中 三、解答题（每小题 7 分，共 14 分）20（7 分）（2013常州）如图，C 是 AB 的中点，AD=BE，CD=CE 求证：A=B 21/28 考点：全等三角形的判定与性质 专题：证明题；压轴题 分析：根据中点定义求出 AC=BC，然后利用“SSS”证明 ACD 和 BCE 全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可 解答：证明：C 是 AB 的中点，AC=BC，在 ACD 和 BCE 中，ACD BCE（SSS），A=B 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质 21（7 分）（2013兰州）如图，两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点，在 AOB 的内部有工厂C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等，且到两工厂 C、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的位置（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）考点：作图应用与设计作图 分析：根据点 P 到 AOB 两边距离相等，到点 C、D 的距离也相等，点 P 既在 AOB 的角平分线上，又在 CD 垂直平分线上，即 AOB 的角平分线和 CD 垂直平分线的交点处即为点 P 解答：解：如图所示：作 CD 的垂直平分线，AOB 的角平分线的交点 P 即为所求，此时货站 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等 22/28 点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹 四、解答题（每小题 10 分，共 40 分）22（10 分）（2013攀枝花模拟）在四边形 ABCD 中，AB CD，D=90，DCA=30，CA 平分 DCB，AD=4cm，求 AB 的长度？考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 专题：压轴题 分析：过 B 作 BEAC，由 AD=4m 和 D=90，DCA=30，可以求出 AC 的长，根据平行线的性质和角平分线以及等腰三角形的性质即可求出 AD 的长 解答：解：D=90，DCA=30，AD=4cm，AC=2AD=8cm，CA 平分 DCB，AB CD，CAB=ACB=30，AB=BC，过 B 作 BEAC，AE=AC=4cm，cos EAB=，cm 点评：本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键是作高线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出 AB 的长 23（10 分）（2013温州）如图，在 ABC 中，C=90，AD 平分 CAB，交 CB 于点 D，过点 D 作 DEAB 于点 E（1）求证：ACD AED；（2）若 B=30，CD=1，求 BD 的长 23/28 考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含 30 度角的直角三角形 分析：（1）根据角平分线性质求出 CD=DE，根据 HL 定理求出另三角形全等即可；（2）求出 DEB=90，DE=1，根据含 30 度角的直角三角形性质求出即可 解答：（1）证明：AD 平分 CAB，DEAB，C=90，CD=ED，DEA=C=90，在 Rt ACD 和 Rt AED 中 Rt ACD Rt AED（HL）；（2）解：DC=DE=1，DEAB，DEB=90，B=30，BD=2DE=2 点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含 30 度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等 24（10 分）（2013大庆）如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置 F，G 分别是 BD，BE 上的点，BF=BG，延长 CF 与 DG 交于点 H（1）求证：CF=DG；（2）求出 FHG 的度数 考点：全等三角形的判定与性质 分析：（1）在 CBF 和 DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得 DHF=CBF=60，从而求解 解答：（1）证明：在 CBF 和 DBG 中，24/28，CBF DBG（SAS），CF=DG；（2）解：CBF DBG，BCF=BDG，又 CFB=DFH，DHF=CBF=60，FHG=180 DHF=18060=120 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键 25（10 分）已知：如图，ABC 中，ABC=45，DH 垂直平分 BC 交 AB 于点 D，BE 平分 ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F（1）求证：BF=AC；（2）求证：考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质 专题：证明题 分析：（1）由 ASA 证 BDF CDA，进而可得出第（1）问的结论；（2）在 ABC 中由垂直平分线可得 AB=BC，即点 E 是 AC 的中点，再结合第一问的结论即可求解 解答：证明：（1）DH 垂直平分 BC，且 ABC=45，BD=DC，且 BDC=90，A+ABF=90，A+ACD=90，ABF=ACD，在 BDF 和 CDA 中，BDF CDA（ASA），BF=AC （2）由（1）得 BF=AC，BE 平分 ABC，且 BEAC，25/28 在 ABE 和 CBE 中，ABE CBE（ASA），CE=AE=AC=BF 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应熟练掌握 五、解答题（每小题 12 分.共 24 分）26（12 分）如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于点 F，交 AC的平行线 BG 于点 G，DEDF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 分析：（1）求出 C=GBD，BD=DC，根据 ASA 证出 CFD BGD 即可（2）根据全等得出 GD=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可（3）根据全等得出 BG=CF，根据三角形三边关系定理求出即可 解答：（1）证明：BG AC，C=GBD，D 是 BC 的中点，BD=DC，在 CFD 和 BGD 中 CFD BGD，BG=CF （2）证明：CFD BGD，DG=DF，DEGF，EG=EF 26/28 （3）BE+CFEF，证明：CFD BGD，CF=BG，在 BGE 中，BG+BEEG，EF=EG，BG+CFEF 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力 27（12 分）ABC 中，AB=AC，点 D 为射线 BC 上一个动点（不与 B、C 重合），以 AD为一边向 AD 的左侧作 ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，过点 E 作 BC 的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE（1）如图 1，若 BAC=DAE=60，则 BEF 是 等边 三角形；（2）若 BAC=DAE60 如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，判断 BEF 的形状并证明；当点 D 在线段 BC 的延长线上移动，BEF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形 考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定 分析：（1）根据题意推出 AED 和 ABC 为等边三角形，然后通过求证 EAB DAC，结合平行线的性质，即可推出 EFB 为等边三角形，（2）根据（1）的推理依据，即可推出 EFB 为等腰三角形，根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证 EAB DAC，推出等量关系，即可推出 EFB 为等腰三角形 解答：解：（1）AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=60，AED 和 ABC 为等边三角形，C=ABC=60，EAB=DAC，EAB DAC，EBA=C=60，EF BC，EFB=ABC=60，在 EFB 中，EFB=EBA=60，EFB 为等边三角形，（2）BEF 为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，27/28 AED 和 ABC 为等腰三角形，C=ABC，EAB=DAC，EAB DAC，EBA=C，EF BC，EFB=ABC，在 EFB 中，EFB=EBA，EFB 为等腰三角形，AB=AC，点 D 为射线 BC 上一个动点（不与 B、C 重合），以 AD 为一边向 AD 的左侧作 ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，过点 E 作 BC 的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE BEF 为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，AED 和 ABC 为等腰三角形，ACB=ABC，EAB=DAC，EAB DAC，EBA=ACD，EBF=ACB，EF BC，AFE=ABC，ABC=ACB，AFE=ACB，在 EFB 中，EBF=AFE，EFB 为等腰三角形 点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论 28/28 参与本试卷答题和审题的老师有：yangwy；zcx；gbl210；dbz1018；星期八；zjx111；sd2011；py168；kuaile；HLing；yeyue；lhz6918；caicl；lantin；MMCH；Linaliu；zhjh；ZHAOJJ（排名不分先后）菁优网 2014 年 7 月 30 日