南昌大学第七届高等数学竞赛(数学专业类)试题答案.pdf
1/5 南昌大学第七届高等数学竞赛（07、08 级数学专业类）试卷答案 序号：姓名：_ 学院:专业：学号：考试日期：2010 年 10 月 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 累 分人 签题分 30 9 9 9 9 9 9 8 8 100 得分 考生注意事项：1、本试卷共 5 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每空 3 分，共 30 分)1、223300)sin(limyxyxyx=0；2、函数|2|)2()(2xxxxf不可导点的个数是 1；3、1022dxxx=4；4、nnnnxn)2(321的收敛区域为35，37）；5、设xxf1)(ln，则)(xfcexx；6、函数2312 xx在0 x处的泰勒级数为nnnnnx0112)12()1(；7、设tytxcos12，则22dxyd=34cossintttt ；8、若dttexFxxxt2sin)(（0 x），则)(xF=)23(123sinsinxxeex；9、交换二次积分1202),(xdyyxfdx的次序为100412)()(yydyyxfdydxyxfdy，；10、)(limxfx存在的充要条件是0，0X,当Xx 1，Xx 2时，有)()(21xfxf。2/5 二、证明：函数2sin x在)(，上不一致连续.证明：对210，0，221nx，nx22 21xx，但是有 022211sinsinxx 所以，函数2sin x在)(，上不一致连续.三、设函数)(xf在,ba上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证：)(xf在,ba上有界.证明：,a b，设)(xf在处的极限为A，则0，(,),xa b，有|()|1f xA，从而|()|1f xA。由(,)|,a b为,ba的开覆盖及有限覆盖定理得，存在有限个小开区间11(,)(,)nn也是,ba的开覆盖。记 M 为1|1A，|1nA中的最大数，则有,xa b，有1,2,.,kn，使得x(,)kk，于是|()|f xM 四、设)(xf在),0 上可导，且22)(0 xxexf，试证：存在(0,),使得)1()(222ef.令)()(22xfxexFx )1()()(222xexfxFx 0lim)(lim022xxxxexf 0)0(F 0)(lim)(lim22xfxexFxxx 所以)(xF在(0,)达到最大值，故存在(0,),使得 0)1()()(222efF 即)1()(222ef 五、已知曲线积分AyxydxxdyL2)(，其中A是常数，)(x有连续一阶导数，1)1(，L是绕(0，0)点一周的任一分段光滑简单闭曲线.试求)(x及A.3/5 如图所示，设 C 是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线，在 C上任意取定两点 A，B,作围绕原点的闭曲线 AKBNA,同时得到另一绕原点的闭曲线 AKBMA，由题设条件知 0)()(22AKBMAAKBNAyxydxxdyyxydxxdy 即 BMABNAyxydxxdyyxydxxdy22)()(0)(2Cyxydxxdy 从而有 22)()(yxyyyxxx，)00()(，yx 则xx2)(Cxx2)(,由1)1(知，0C，2)(xx 为了计算A,取L为单位圆周122 yx，则 2)11()(1222LyxLdydxxdyyxydxxdyA 六、设)(xf在,ba上可微，且0)(af，M 是)(xf 的上界，则 Mbadxxfab)()(22.由拉格朗日定理及0)(af，知存在 c(,)ca b()baf x dx=()()baf c xa dx()baM xa dx=2()2baM 于是，Mbadxxfab)()(22 七、设)(yxf，在2R上有连续偏导数，且1)(2xxf，（1）若xxxfx)(2，求)(2xxfy，（2）若yxyxfy2)(2，求)(yxf，.（1）1)(2xxf，两端关于x求导，得0)(2)(22xxxfxxfyx，当0 x时，)(2xxfy，=21，又)(yxf，在2R上有连续偏导数，所以 4/5)(2xxfy，=21 （2）由yxyxfy2)(2，知)()(22xyyxyxf，又由1)(2xxf，得421)(xx 所以42221)(xyyxyxf，八、设),0(Cf，0)(dxxg绝对收敛，则00)()0()()(limdxxgfdxxgnxfnn 应用积分中值公式，有)10(n dxxgfnxfdxxgfdxxgnxfnnn)()0()()()0()()(000 =dtnt ngfntf()0()(10=dtnt ngfnfn10)()0()(=dxxgfnfnn0)()0()(dxxgfnfn0)()0()(由)(xf在0 x处连续可知，任意0，存在N,使得 0)()0()(dxxgfnfn （Nn）从而nndxxgfdxxgnxf00)()0()()(（Nn）结论对证。九、求级数1)!2()!1(!2kkkkk的和.11)2(!1)!2()!1(!2kkkkkkkk 作幂级数12)2(!kkkkx 0lim1kkkaa，该级数在），(收敛 令12)2(!)S(kkkkxx )1(!)(S11xkkexkxx 5/5 121)()0()()(210 xexedxexeSxSxSxxxx 1121)1()2(!1)!2()!1(!2kkSkkkkkk
