圆锥曲线定点定直线定值问题.pdf
定点、定直线、定值专题 1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1 （）求椭圆C的标准方程；（）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab 3,1acac，22,1,3acb221.43xy (II)设1122(,),(,)A x yB xy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0m kkm，22340km.212122284(3),.3434mkmxxxxkk 22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmk x xmk xxmk 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx，(最好是用向量点乘来)1212122()40y yx xxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得1222,7kmk m ，且满足22340km.当2mk 时，:(2)l yk x，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km 时，2:()7l yk x，直线过定点2(,0).7 综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7 2、已知椭圆 C 的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2,0，2A2,0。（）求椭圆 C 的方程；（）设直线xmy1与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线1A P与2A Q交于点 S。试问：当 m 变化时，点 S是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆C的方程为2222xy1 ab0ab。1 分 a2，c3ea2，c3，222bac1。4 分 椭圆C的方程为222xy14。5 分（）取m0,得33P 1,Q 1,22，直线1A P的方程是33yx,63 直线2A Q的方程是3yx3,2交点为1S 4,3.7 分,若33P 1,Q 1,22，由对称性可知交点为2S4,3.若点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。8 分 以下证明对于任意的m,直线1A P与直线2A Q的交点S均在直线:x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4 y2my30，记1122P x,y,Q x,y，则1212222m3yy,y ym4m4。9 分 设1A P与 交于点00S(4,y),由011yy,42x2得1016yy.x2 设2A Q与 交于点00S(4,y),由022yy,42x2得2022yy.x2 10 1200126y2yyyx2x21221126ymy12ymy3x2x21212124my y6 yyx2x2 221212m12mm4m40 x2x2，12 分 00yy，即0S与0S重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。13 分 解法二：（）取m0,得33P 1,Q 1,22，直线1A P的方程是33yx,63直线2A Q的方程是3yx3,2交点为1S 4,3.7 分 取m1,得8 3P,Q 0,15 5，直线1A P的方程是11yx,63直线2A Q的方程是1yx1,2交点为2S4,1.若交点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。8 分 以下证明对于任意的m,直线1A P与直线2A Q的交点S均在直线:x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4 y2my30，记1122P x,y,Q x,y，则1212222m3yy,y ym4m4。9 分 1A P的方程是11yyx2,x22A Q的方程是22yyx2,x2消去y,得1212yyx2x2x2x2 以下用分析法证明x4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明12126y2y,x2x2即证12213y my1ymy3,即证12122my y3 yy.1212226m6m2my y3 yy0,m4m4式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。解法三：（）由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4 y2my30。记1122P x,y,Q x,y，则1212222m3yy,y ym4m4。6 分 1A P的方程是11yyx2,x22A Q的方程是22yyx2,x2 7 分 由1122yyx2,x2yyx2,x2得1212yyx2x2,x2x2 9 分 即21122112yx2yx2x2yx2yx221122112ymy3ymy12ymy3ymy11221212my y3yy23yy 112211232m2m3yym4m424.2m3yym4 12 分 这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。13 分 3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值 为21，离心率为2e2 （）求椭圆E的方程；（）过点1,0作直线 交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MP MQ为定值若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由 解：（I）设椭圆 E 的方程为2222xy1ab,由已知得：ac21c2a2。2 分 a2c1222bac1椭圆 E 的方程为22xy12。3 分（）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设1122P(x,y),Q(x,y)，则：11221212MP(xm,y),MQ(xm,y),MP MQ(xm)(xm)y y 2121212x xm(xx)my y。5 分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，则 由22xy12yk(x1)得222x2k(x1)20 2222(2k1)x4k x(2k2)0221212224k2k2xx,xx2k12k1 7 分 222121212122ky yk(x1)(x1)k x x(xx)12k1 所以22222222k24kkMP MQmm2k12k12k12222(2m4m1)k(m2)2k1 9 分 对于任意的k值，MP MQ为定值，所以222m4m12(m2)，得5m4，所以57M(,0),MP MQ416；11 分 当直线l的斜率不存在时，直线1212121l:x1,xx2,x x1,y y2 由5m4得7MP MQ16 综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为5(,0)4 13 分 法二：假设存在点M(m,0)，又设1122P(x,y),Q(x,y),则：1122MP(xm,y),MQ(xm,y)1212MP MQ(xm)(xm)y y=2121212x xm(xx)my y.5 分 当直线l的斜率不为 0 时，设直线l的方程为xty1，由22xy12xty1得22(t2)y2ty10 1212222t1yy,yyt2t2 7 分 222212122121222t2tt22t2x x(ty1)(ty1)t y yt(yy)1t2t2 221212222t2t44xxt(yy)2t2t2 222222t24m1MP MQmt2t2t22222(m2)t2m4m1t2 9 分 设MP MQ 则2222(m2)t2m4m1t2 2222222(m2)t2m4m1(t2)(m2)t2m4m120 22m202m4m120 5m4716 5M(,0)4 11 分 当直线l的斜率为 0 时，直线l:y0，由5M(,0)4得：55257MP MQ(2)(2)2441616 综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为5(,0)4。13 分 4、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率25e，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。（I）求椭圆的标准方程；（）设点(,0)M m是线段OF上的一个动点，且()MAMBAB，求m的取值范围；（）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N 三点共线若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：（I）设椭圆方程为22221(0)xyabab，由题意知1b 2222255abaa故椭圆方程为2215xy （）由（I）得(2,0)F，所以02m，设l的方程为(2)yk x（0k）代入2215xy，得2222(51)202050kxk xk 设1122(,),(,),A x yB xy 则2212122220205,5151kkxxx xkk,12121212(4),()yyk xxyyk xx 112212122121(,)(,)(2,),(,)MAMBxm yxm yxxm yyABxx yy 12212112(),()0,(2)()()()0MAMBABMAMBABxxm xxyyyy 2222220420,(85)05151kkmm kmkk由280,0855mkmm，当805m时，有()MAMBAB成立。（）在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C、B、N三点共线。依题意知11(,)C xy，直线 BC 的方程为211121()yyyyxxxx，令0y，则121122112121()y xxy xy xxxyyyy l的方程为(2),yk xA、B在直线l上，1221121211221212(1)(1)22()(2),(2)()4()4k xxk xxkx xk xxyk xyk xxk xxkk xxk 222222205202255151202451kkkkkkkkkk在x轴上存在定点5(,0)2N，使得CBN三点共线。解法二：（）由（I）得(2,0)F，所以02m。设l的方程为(2)(0),yk xk 代入2215xy，得2222(51)202050kxkk设1122(,),(,),A x yB xy则2212122220205,5151kkxxx xkk 1212121224(4),()51kyyk xxyyk xxk 2211221212121222212(),|,()(),(2)()()()0,(1)()240,(85)0MAMBABMAMBxmyxmyxxm xxyyyykxxmkm km 2222888)0,05155(51kmkkkk805m 当805m时，有()MAMBAB成立。（）在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C、B、N三点共线。设存在(,0),N t使得C、B、N三点共线，则/CBCN，122111(,),(,)CBxxyyCNtx y，211112()()()0 xx ytxyy 即211112()(2)()(4)0 xx k xtx k xx12122(2)()40 x xtxxt 2222205202(2)405151kkttkk，52t 存在5(,0)2N，使得CBN三点共线。6、（福建卷）已知椭圆1222 yx的左焦点为 F，O 为坐标原点。（）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程；（）设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。解：（I）222,11,(1,0),:2.abcFl x 圆过点 O、F，M 在直线12x 上。设1(,),2Mt则圆半径13()(2).22r 由,OMr得2213(),22t 解得2.t 所求圆的方程为2219()(2).24xy （II）设直线 AB 的方程为(1)(0),yk xk 代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxk xk 直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根。记1122(,),(,),A x yB xyAB中点00(,),N xy 则21224,21kxxk AB的垂直平分线 NG 的方程为001().yyxxk 令0,y 得 xylGABFO 222002222211.212121242Gkkkxxkykkkk 10,0,2Gkx点 G 横坐标的取值范围为1(,0).2
