一元二次方程分类练习题解析.pdf

1 一元二次方程题型分类总结 知识梳理 一、知识结构：一元二次方程韦达定理根的判 别解与解法 考点类型一 概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(02acbxax 难点：如何理解“未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）A 12132xx B 02112xx C 02cbxax D 1222xxx 变式：当 k 时，关于 x 的方程3222xxkx是一元二次方程。例 2、方程0132mxxmm是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 。针对练习：1、方程782x的一次项系数是 ，常数项是 。2、若方程021mxm是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。3、若方程112xmxm是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 。4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2 B.m=3,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 1 考点类型二 方程的解 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知322 yy的值为 2，则1242yy的值为 。例 2、关于 x 的一元二次方程04222axxa的一个根为 0，则 a 的值为 。例 3、已知关于 x 的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程 必有一根为 。例 4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，则 m 的值为 。针对练习：1、已知方程0102 kxx的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 。2、已知关于 x 的方程022 kxx的一个解与方程311xx的解相同。求 k 的值；方程的另一个解。3、已知 m 是方程012 xx的一个根，则代数式 mm2 。4、已知a是0132 xx的根，则 aa622 。5、方程02acxcbxba的一个根为（）A 1 B 1 C cb D a 6、若yx则yx324,0352 。1 考点类型三 解法 方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点：降次 类型一、直接开方法：mxmmx,02 对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法 典型例题：例 1、解方程：;08212x 216252x=0;09132 x 例 2、若2221619xx，则 x 的值为 。针对练习：下列方程无解的是（）A.12322xx B.022x C.xx132 D.092x 类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx 典型例题：例 1、3532xxx的根为（）A 25x B 3x C 3,2521xx D 52x 例 2、若044342yxyx，则 4x+y 的值为 。变式 1：2222222,06b则ababa 。变式 2：若032yxyx，则 x+y 的值为 。变式 3：若142yxyx，282xxyy，则 x+y 的值为 。例 3、方程062 xx的解为（）1 A.2321，xx B.2321，xx C.3321，xx D.2221，xx 例 4、解方程：04321322xx 例 5、已知023222yxyx,则yxyx的值为 。变式：已知023222yxyx,且0,0yx,则yxyx的值为 。针对练习：1、下列说法中：方程02qpxx的二根为1x，2x，则)(212xxxxqpxx )4)(2(862xxxx.)3)(2(6522aababa )()(22yxyxyxyx 方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx 正确的有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2、以71与71为根的一元二次方程是（）A0622 xx B 0622 xx C0622yy D 0622yy 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：4、若实数 x、y 满足023yxyx，则 x+y 的值为（）A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 2 5、方程：2122xx的解是 。类型三、配方法002acbxax222442aacbabx 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题：1 例1、试用配方法说明322 xx的值恒大于 0。例2、已知 x、y 为实数，求代数式74222yxyx的最小值。例3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。例4、分解因式：31242xx 针对练习：1、试用配方法说明47102xx的值恒小于 0。2、已知041122xxxx，则xx1 .3、若912322xxt，则 t 的最大值为 ，最小值为 。4、如果4122411bacba,那么cba32 的值为 。类型四、公式法 条件：04,02acba且 公式：aacbbx242,04,02acba且 典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程：.6132 x .863xx 0142 xx 01432 xx 5211313xxxx 1 例 2、在实数范围内分解因式：（1）3222xx；（2）1842xx.22542yxyx 说明：对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成 cbxax2=)(21xxxxa.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.考点类型四 根的判别式 b2-4ac 根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。例 2、关于 x 的方程0212mmxxm有实数根，则 m 的取值范围是()A.10且mm B.0m C.1m D.1m 例 3、已知关于 x 的方程0222kxkx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。例 4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.例 5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？1 针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式92 kxx是完全平方式。2、当k取何值时，多项式kxx2432是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程022 mxmx有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .4、k为何值时，方程组.0124,22yxykxy（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.5、当k取何值时，方程04234422kmmxmxx的根与m均为有理数？考点类型五 方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程03212mxxm 有两个实数根，则 m 为 ,只有一个根，则 m 为 。例1、不解方程，判断关于 x 的方程3222kkxx根的情况。例 3、如果关于 x 的方程022 kxx及方程022kxx均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。1 适用能因式分解考点类型六 根与系数的关系 前提：对于02cbxax而言，当满足0a、0时，才能用韦达定理。主要内容：acxxabxx2121,应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822 xx的两根，则这个直角三 角形的斜边是（）A.3 B.3 C.6 D.6 例 2、已知关于 x 的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不 存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错 常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知ba，0122 aa，0122 bb，求ba 变式：若0122 aa，0122 bb，则abba的值为 。一元二次方程的解法专题训练 1、因式分解法 移项：使方程右边为 0 因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组 1 适用无一次项的aacbbx242 由 AB=0，则 A=0 或 B=0，解两个一元一次方程 2、开平方法 )0(2aax 3、配方法 移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号）同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）配方：方程两边加上一次项系数一半的平方 开平方：注意别忘根号和正负 解方程：解两个一元一次方程 4、公式法 将方程化为一般式 写出 a、b、c 求出acb42，若 b2-4ac0，则原方程无实数解 若 b2-4ac0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式24x=2bbaca 求解 若 b2-4ac0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式2bxa 求解。例 1、利用因式分解法解下列方程(x2)2(2x-3)2 042 xx 3(1)33x xx x2-23x+3=0 0165852xx 例 2、利用开平方法解下列方程 51)12(212y 4（x-3）2=25 24)23(2x 例 3、利用配方法解下列方程 25 220 xx 012632 xx 7x=4x2+2 01072xx axax21)0(2aabx解两个一元一次方程abx039922xx 1 例 4、利用公式法解下列方程 3x 222x240 2x（x3）=x3 3x2+5(2x+1)=0 练习：选用适当的方法解下列方程(x1)23(x 1)20 22(21)9(3)xx 2230 xx x（x1）5x0.)4(5)4(2xx xx4)1(2 31022xx x+5）2=16 2（2x1）x（12x）=0 5x2-8（3-x）2 72=0 3x(x+2)=5(x+2)x2+2x+3=0 x2+6x5=0 3x 222x240 x22x1=0 2x2+3x+1=0 3x2+2x1=0 5x23x+2=0 7x24x3=0 -x2-x+12=0 24330 xx x 22(32)(23)xx x2-2x-4=0 (x+1)(x+8)=-12 3x 28 x30 (3x2)(x3)x14 （13y）2+2（3y1）=0