人教版高中数学必修二教学案-直线、平面垂直的性质.pdf

第 1 页 共 17 页 人教版高中数学必修二教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 直线、平面垂直的性质复习 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 直线、平面垂直的性质复习【要点梳理】知识点一、直线与平面垂直的性质 1.基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,lmlm 图形语言：2.性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,/lmlm 图形语言：3直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。（2）若l于A，APl，则AP。（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面。要点诠释：第 2 页 共 17 页 线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。知识点二、平面与平面垂直的性质 1性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,m llml 图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法。2平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。要点三、垂直关系的综合转化 线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁 垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清 平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件 面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝 先作交线的垂线，面面转为线和面，第 3 页 共 17 页 再证一步线和线，面面垂直即可见 借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线 两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面 要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间 【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质 例 1设 a，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）。（1）若 a，b 都平行于平面，求证：AB；（2）若 a，b 分别垂直于平面，且c，求证：ABc。【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明 AB，可先证明线与线的平行。（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明 ABc。证明：（1）如图（1），在内任取一点 P，设直线 a 与点 P 确定的平面与平面的交线为 a，设直线 b与点 P 确定的平面与平面的交线为 b。a，b，aa，bb。又AB，ABb，ABa，ABb，AB。（2）如图，过 B 作 BB，则 ABBB。又ABb，AB 垂直于由 b 和 BB确定的平面。b，bc，BB，BBc。c 也垂直于由 BB和 b 确定的平面。故 cAB。【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直。如题中，通过作出辅助线 BB，构造出平面，即由相交直线 b 与 BB确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明。举一反三：【变式 1】设l，m 是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m，则l B若l，lm，则 m 第 4 页 共 17 页 C若l，m，则lm D若l，m，则lm【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。例 2如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E 是 PC 的中点（1）证明：AECD；（2）证明：PD平面 ABE 【思路点拨】（1）由 PA底面 ABCD，可得 CDPA，又 CDAC，故 CD面 PAC，从而证得 CDAE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得 AEPC，由（）知 CDAE，从而 AE面 PCD，AEPD，再由 ABPD 可得 PD面 ABE。【解析】（1）证明：在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，CDPA 又 CDAC，PAAC=A，CD面 PAC，AE面 PAC，故 CDAE（2）证明：由 PA=AB=BC，ABC=60，可得 PA=AC，E 是 PC 的中点，AEPC，由（1）知 CDAE，从而 AE面 PCD，故 AEPD 由（1）知，AECD，且 PCCD=C，所以 AE平面 PCD 而 PD平面 PCD，AEPD PA底面 ABCD，PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD，ABAD，ABPD 又ABAE=A，PD面 ABE【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们 举一反三：【变式 1】如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点 (1)求证：MN平面 PAD；(2)求证：MNCD；(3)若PDA=45，求证：MN平面 PCD【解析】要证明 MN平面 PAD，须证 MN 平行于平面 PAD 内某一条直线 注意到 M、N 分别为 AB，PC 的中点，可取 PD 的中点 E，从而只须证明 MNAE 即可证明如下 证明：(1)取 PD 的中点 E，连接 AE、EN，第 5 页 共 17 页 则EN12CD12ABAM，故 AMNE 为平行四边形，MNAE AE平面 PAD，MN平面 PAD，MN平面 PAD(2)要证 MNCD，可证 MNAB 由(1)知，需证 AEAB PA平面 ABCD，PAAB又 ADAB，AB平面 PAD ABAE即 ABMN 又 CDAB，MNCD(3)由(2)知，MNCD，即 AECD，再证 AEPD 即可 PA平面 ABCD，PAAD 又PDA=45，E 为 PD 的中点 AEPD，即 MNPD 又 MNCD，MN平面 PCD【总结升华】本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题(1)的关键是选取 PD 的中点 E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化线线垂直线面垂直线线垂直。类型二：平面与平面垂直的性质 例 3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。【解析】已知：，l，求证：l。证法 1：如图（左），在内取一点 P，作 PA 垂直于与的交线于 A，PB 垂直于与的交线于 B，则PA，PB，l，lPA，lPB。PA，PB，PAPB=P，l。第 6 页 共 17 页 证法 2：如图（右），在内作直线 m 垂直于与的交线，在内作直线 n 垂直于与的交线，m，n，mn。又n，m，ml，l。证法 3：如图，在l上取一点 A，过 A 作直线 m，使m。，且Al，m。同理m，ml，即l与 m 重合。l。【总结升华】证法 1、证法 2 都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法 1、证法 2 的关键。证法3 利用两个平面垂直的推论，则较为简捷。由此可见，我们必须熟练掌握这一推论。举一反三：【变式 1】已知ABC，AB=AC=3a，BC=2a，D 为 BC 的中点，在空间平移ABC 到A1B1C1，连接对应顶点，且满足 AA1平面 ABC，AA1=3a。如图所示，E 是 CC1上一点，且 CE=2a，求二面角 DAEC 的正弦值。【解析】AA1平面 ABC，CC1AA1，CC1平面 ABC。又 CC1平面 ACE，平面 ACE平面 ABC。作 DHAC 于 H，DH平面 AEC，作 HFAE 于 F，连接 DF，则 DFAE，DFH 是二面角 DAEC 的平面角。在 RtADC 中，2 23AD DCDHaAC。在 RtADE（易证得）中，2 1013AD DEDFaAE。在 RtDHF 中，65sin15DHDFHDF。二面角 DAEC 的正弦值为6515。第 7 页 共 17 页【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等。类型三：综合应用 例 4如图所示，在斜三棱柱 A1B1C1ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面 BB1C1C底面 ABC。（1）若 D 是 BC 的中点，求证：ADCC1；（2）过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1的平面交侧棱于 M，若 AM=MA1，求证：截面 MBC1侧面 BB1C1C；（3）若截面 MBC1平面 BB1C1C，则 AM=MA1吗？请叙述你的判断理由。【解析】（1）AB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC。底面 ABC平面 BB1C1C，AD平面 BB1C1C。ADCC1。（2）延长 B1A1与 BM 的延长线交于 N，连接 C1N。AM=MA1，NA1=A1B1。A1C1=A1N=A1B1，C1NB1C1，C1N侧面 BB1C1C，截面 MBC1侧面 BB1C1C。（3）AM=MA1，证明如下：过 M 作 MEBC1于 E，截面 MBC1侧面 BB1C1C，ME侧面 BB1C1C。又AD侧面 BB1C1C，MEAD，M，E，D，A 共面。AM侧面 BB1C1C，AMDE。四边形 ADEM 为平行四边形。CC1AM，DECC1。D 是 BC 的中点，E 是 BC1的中点。111122AMDECCAA，AM=MA1。【总结升华】垂直关系在立体几何中无处不在，是重中之重，我们必须做好它们之间的相互转化工作，即直线与直线垂直垐 垐 垐 垐 垐 垐 垎噲 垐 垐 垐 垐 垐 垐直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的定义直线与平面垂直垐 垐 垐 垐 垐 垐 垎噲 垐 垐 垐 垐 垐 垐平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直。例 5 如图 1，在Rt ABC中，90C，,D E分别为,AC AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1AFCD，如图 2()求证：/DE平面1ACB；()求证：1AFBE；()线段1AB上是否存在点Q，使1AC 平面DEQ？说明理由 第 8 页 共 17 页【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化。【解析】()因为 D，E 分别为 AC，AB 的中点，所以 DEBC，又因为 DE平面 A1CB，所以 DE平面 A1CB()由已知得 ACBC 且 DEBC，所以 DEAC 所以 DEA1DDECD 所以 DE平面 A1DC 而 A1F平面 A1DC，所以 DEA1F 又因为 A1FCD，所以 A1F平面 BCDE 所以 A1FBE()线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ理由如下：如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P,Q，则 PQBC 又因为 DEBC，所以 DEPQ 所以平面 DEQ 即为平面 DEP 由()知，DE平面 A1DC，所以 DEA1C 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，所以 A1CDP 所以 A1C平面 DEP 从而 A1C平面 DEQ 故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C平面 DEQ 举一反三：【变式 1】如下图，已知三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，平面 PAC平面 ABC，AE平面 PBC，E 为垂足。（1）求证：PA平面 ABC；（2）当 E 为PBC 的垂心时，求证：ABC 是直角三角形。证明：（1）如下图（左），在平面 ABC 内取一点 D，作 DFAC 于 F。第 9 页 共 17 页 因为平面 PAC平面 ABC，且交线为 AC，所以 DF平面 PAC。又 PA平面 PAC，所以 DFPA。作 DGAB 于 G，同理可证 DGPA。又因为 DG、DF 都在平面 ABC 内，且 DGDF=D，所以 PA平面 ABC。（2）连接 BE 并延长交 PC 于 H，如上图（右）。因为 E 是PBC 的垂心，所以 PCBE。又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，所以 PCAE。所以 PC平面 ABE，所以 PCAB。又因为 PA平面 ABC，所以 PAAB，所以 AB平面 PAC，所以 ABAC，即ABC 是直角三角形。【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直面面垂直来实现的。因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的。【变式 2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，045ADC，1ADAC，O为AC中点，PO 平面ABCD，2PO，M为PD中点()证明：PB/平面ACM；()证明：AD 平面PAC；()求直线AM与平面ABCD所成角的正切值【答案】（1）略（2）略（3）554【解析】()连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点 又M为PD的中点，所以MOPB/第 10 页 共 17 页 因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以/PB平面ACM()因为45ADC，且1 ACAD，所以90DAC，即ACAD，又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以ADPO，而OPOAC，所以AD平面PAC ()取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以POMN/，且121POMN，由PO平面ABCD，得MN平面ABCD 所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角 在DAORt中，1AD，21AO，所以25DO从而4521DOAN 在ANMRt中，554451tanANMNMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为554 【变 式 3】如 图，四 棱 锥SABCD中，/ABCD,BCCD，侧 面SAB为 等 边 三 角 形，2,1ABBCCDSD()证明：SDSAB；()求AB与平面SBC所成角的正弦值【答案】（1）略（2）217【解析】（I）取 AB 中点 E，连结 DE、SE，四边形 BCDE 为矩形，DE=CB=2，侧面SAB为等边三角形 ,3SEAB SE 又SD=1，222EDSESD，DSE为直角 第 11 页 共 17 页 又,ABDE ABSE DESEE，AB平面 SDE，ABSD 又 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直 SD平面 SAB （II）作SFDE垂足为 F，FGBC，垂足为 G，连结 SG AB平面 SDE，平面 ABCD平面 SED SF平面 ABCD，BC 平面ABCD SFBC，又 FGBC，SFFGF BC平面 SFG，BCSBC 平面 平面 SBC平面 SFG 作FHSG，H 为垂足，则 FH平面 SBC 又在Rt SDE中，32SDSESFDE，在Rt SFG中，2237142SGSFFG 32177SFFGFHSG，即 F 到平面 SBC 的距离为217 ED/BC，ED/平面 SBC，E 到平面 SBC 的距离 d 也是217 设 AB 与平面 SBC 所成的角为，则21sin7dEB 第 12 页 共 17 页 课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】1下列说法中正确的是（）过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直 A B C D 2设 a、b 是异面直线，下列命题中正确的是（）A过不在 a、b 上的一点 P 一定可作一条直线和 a、b 都相交 B过不在 a、b 上的一点 P 一定可作一个平面和 a、b 都垂直 C过 a 一定可作一个平面与 b 垂直 D过 a 一定可作一个平面与 b 平行 3已知平面、，则下列命题中正确的是（）A，则/B/，则 Ca，b，则 ab D，a，ab，则 b 4给出下列四个命题：经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内 其中正确的是（）A B C D 第 13 页 共 17 页 5已知平面与平面相交，直线 m，则（）A内必存在直线与 m 平行，且存在直线与 m 垂直 B内不一定存在直线与 m 平行，也不一定存在直线与 m 垂直 C内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直 D内必存在直线与 m 平行，但不一定存在直线与 m 垂直 6以等腰直角ABC 斜边 BC 上的高为棱，把它折成直二面角，则此时两条直角边的夹角为（）A30 B45 C60 D90 7 已知直二面角l，点 A，ACl，C 为垂足，点 B，BDl，D 为垂足 若 AB=2，AC=BD=1，则 CD=（）A2 B3 C2 D1 8给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面与不垂直 其中，为真命题的是（）A和 B和 C和 D和 9平面平面，,ab且/,bab，则a和的位置关系是 10 在空间四边形ABCD中，ABD、CBD都是边长为 1 的正三角形，且平面ABD 平面CBD,E F G H为空间各边上的中点，则四边形EFGH的面积是 11如图所示，平面,M N互相垂直，棱l上有两点,A B，AC 平面M，BD 平面N，且,8,6,24ACL BDL ABcm ACcm BDcm，则CD=12如图，在长方形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC（端点除外）上一动点现将AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD平面 ABC在平面 ABD 内过点 D 作 DKAB，K 为垂足设 AK=t，则 t 的取值范围是_ 第 14 页 共 17 页 13如图，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足什么条件时，有 A1CB1D1？（注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形）14如图，过点S引三条长度相等但不共面的线段,SA SB SC，且60ASBASC，90BSC 求证：平面BSC 平面ABC 15在三棱锥 PABC 中，PAB 是等边三角形，PAC=PBC=90（1）证明：ABPC；（2）若 PC=4，且平面 PAC平面 PBC，求三棱锥 PABC 的体积 【答案与解析】1【答案】A 【解析】过直线 a 外一点 P 可作一平面与直线 a 垂直，平面内所有过 P 的直线均与垂直，从而不正确 2【答案】D 【解析】A 不正确，若点 P 和直线 a 确定平面，当 b时，满足条件的直线不存在；C 不正确，只有 a、b垂直时才能作出满足条件的平面 3【答案】B 【解析】如图，A 中，平面 AA1B1B平面 A1B1C1D1，平面 AA1D1D平面 A1B1C1D1，而平面 AA1B1B 与平面 A1D1D 相交 C 中，平面 AA1B1B平面 AB1D1=D1B1，平面 AA1D1D平面 AB1D1=AD1，平面 AA1B1B平面 AA1D1D，而 AB1与 AD1不垂直；D 中，b 不定在平面内 4【答案】D 【解析】过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，不对；若，a，则a或/a，不对；当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一 第 15 页 共 17 页 个，不对 5【答案】C 【解析】若内存在直线 n 与 m 平行，则m知n，从而，但与相交却不一定垂直，又设a，由n知 ma，从而内必有直线与 m 垂直 6【答案】C 【解析】如图，由题可知 CD=BD=AD，BDC=90，则ABBCAC 22ADBD，所以ABC=60 7【答案】C 【解析】依题意得，AC，ACBC，223BCABAC，222CDBCBD，选 C 8【答案】D 【解析】没有强调一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所以错；符合两个平面相互垂直的判定定理，所以正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以错；根据两个平面垂直的性质定理易知正确故选 D 9【答案】a 【解析】设c，,/bb，/bc，,abac，又，a 10【答案】68 【解析】画出空间四边形，由题意知，四边形EFGH是矩形，其中一边长是12，一边长是64，所以矩形EFGH的面积是68 11【答案】26cm 【解析】如图，在平面N内过点A作/AEBD，且AEBD，连接,CE CD DE 四边形AEDB是平行四边形，又BDAB，AEDB是矩形 由,ACAB平面M 平面N，知AC 平面N,CAAE CADECAE是直角三角形 由已知，24,6BDAEAC，第 16 页 共 17 页 2612,26.CECD 12【答案】1,12 【解析】如图，过 D 作 DGAF，垂足为 G，连接 GK，平面 ABD平面 ABC，又 DKAB，DK平面 ABC，DKAF AF平面 DKG，AFGK 容易得到，当 F 接近 E 点时，K 接近 AB 的中点，当 F 接近 C 点时，K 接近 AB 的四等分点 所以 t 的取值范围是1,12 13【解析】连接 BD因为 BDB1D1，所以要使 A1CB1D1，即使 A1CBD又因为 A1AA1C=A1，所以BD平面 A1AC因为 AC平面 A1AC，所以 ACBD 由以上分析知，要使 A1CB1D1，需使 ACBD，或任何能推导出 ACBD 的条件，如：四边形 ABCD 是正方形、菱形等 14证明：如图，SASBSC，且60ASBASC，90BSC，SAB和SAC都是等边三角形，且全等，ABACSBSC，,90BSCBACBACBSC 设D为BC的中点，连接,AD SD，则,ADBC SDBC且12ADSDBCBD，在ADS和ADB中，,SDBD SAAB ADAD，即ADSADB，90ADSADB .ADSD又ADBC，AD平面SBC 又AD 平面ABC，平面ABC 平面SBC 15【解析】（1）因为PAB 是等边三角形，PAC=PBC=90，易证 RtPBCRtPAC，可得 AC=BC 第 17 页 共 17 页 如答图 74，取 AB 的中点 D，连接 PD、CD，则 PDAB，CDAB，所以 AB平面 PDC，所以 ABPC（2）作 BEPC，垂足为 E，连接 AE 因为 RtPBCRtPAC，所以 AEPC，AE=BE 由已知，平面 PAC平面 PBC，故AEB=90 因为 RtAEBRtPEB，所以AEB，PEB，CEB 都是等腰三角形 由已知 PC=4，得 AE=BE=2，AEB 的面积 S=2【答案】因为 PC平面 AEB，所以三棱锥 PABC 的体积为1833VSPC