二次函数线段和差最值的存在性问题解题策略.pdf
中考数学压轴题解题策略（8）线段和差最值的存在性问题解题策略专题攻略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1）三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图 2）两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图 1图 2图 3例题解析例如图 1-1，抛物线yx22x3 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果PAC的周长最小，求点P的坐标图 1-1【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在PBC中，PBPC总是大于BC的如图1-3，当点P落在BC上时，PBPC最小，因此PAPC最小，PAC的周长也最小由yx22x3，可知OBOC3，OD1所以DBDP2，因此P(1,2)图 1-2图 1-3例如图，抛物线y 12x 4x4与y轴交于点A，B是OA的中点一个动点G从2点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程图 2-1【解析】如图 2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A，作点B关于x轴对称的点B，连结AB与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N在 RtAAB中，AA8，AB6，所以AB10，即点G走过的最短路程为 10根848据相似比可以计算得到OM，MH，NH1所以M(,0)，N(4,1)333图 2-248例如图 3-1，抛物线y x2x2与y轴交于点A，顶点为B点P是x轴上93的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标图 3-1【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PAPB|的最小值与最大值由抛物线的解析式可以得到A(0,2)，B(3,6)设P(x,0)绝对值|PAPB|的最小值当然是 0 了，此时PAPB，点P在AB的垂直平分线上（如图 3-2）解方程x222(x3)262，得x 4141此时P(,0)66在PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PAPB|总是小于AB了如图 3-3，当3点P在BA的延长线上时，|PAPB|取得最大值，最大值AB5此时P(,0)2图 3-2图 3-3例如图 4-1，菱形ABCD中，AB2，A120，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PKQK的最小值图 4-1【解析】如图 4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q，在KPQ中，PKQK总是大于PQ的如图 4-3，当点K落在PQ上时，PKQK的最小值为PQ如图 4-4，PQ的最小值为QH，QH就是菱形ABCD的高，QH3这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短图 4-2图 4-3图 4-4例如图 5-1，菱形ABCD中，A60，AB3，A、B的半径分别为 2 和 1，P、E、F分别是边CD、B和A上的动点，求PEPF的最小值图 5-1【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？BE1，AF2 是确定的，那么我们可以求PBPA3 的最小值，先求PBPA的最小值（如图 5-2）如图 5-3，PBPA的最小值为AB，AB6所以PEPF的最小值等于 3图 5-2图 5-3例 如图 6-1，已知A(0,2)、B(6,4)、E(a,0)、F(a1,0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由图 6-1【解析】在四边形ABEF中，AB、EF为定值，求AEBF的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点如图 6-2，将线段BF向左平移两个单位，得到线段ME如图 6-3，作点A关于x轴的对称点A，MA与x轴的交点E，满足AEME最小由AOEBHF，得OEHFa6(a2)4解方程，得a OAHB243图 6-2图 6-3例如图 7-1，ABC中，ACB90，AC2，BC1点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离图 7-1【解析】如果把OB放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大于第三边，可知第三边OB的最大值就是另两边的和显然OBC是不符合条件的，因为OC边的大小不确定如图 7-2，如果选AC的中点D，那么BD、OD都是定值，OD1，BD2在OBD中，总是有OBODBD如图 7-3，当点D落在OB上时，OB最大，最大值为2 1图 7-2图 7-3例如图 8-1，已知A(2,0)、B(4,0)、D(5,3 3)设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒 1 个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒 2 个单位的速度运动到D后停止当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？图 8-1【解析】点B(4,0)、D(5,3 3)的坐标隐含了DBA30，不由得让我们联想到 30角所对的直角边等于斜边的一半如果把动点M在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了如图 8-2，在 RtDEF中，FD2FE如果点M沿线段FD以每秒 2 个单位的速度运动到点D时，那么点M沿线段FE以每秒 1 个单位的速度正好运动到点E因此当AFFE最小时，点M用时最少如图 8-3，当AEDE时，AFFE最小，此时F(2,2 3)图 8-2图 8-3例如图 9-1，在RtABC中，C90，AC6，BC8点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值图 9-1【解析】如图9-2，设AF的中点为D，那么DADEDF所以AF的最小值取决于DE的最小值5351515由ABDADB，得mm 10解得m 此时AF2m 342如图 9-3，当DEBC时，DE最小设DADEm，此时DBm图 9-2图 9-3例如图 10-1，已知点P是抛物线y 12点D、E的坐标分别为(0,1)、x上的一个点，4(1,2)，连结PD、PE，求PDPE的最小值图 10-1【解析】点P不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型12111x)，那么PD2x2(x21)2(x21)2所以PDx2144441如图 10-2，x21的几何意义可以理解为抛物线上的动点P到直线y1 的距离4设P(x,PH所以PDPH因此PDPE就转化为PHPE如图 10-3，当P、E、H三点共线，即PHx轴时，PHPE的最小值为 3高中数学会学到，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合，在中考数学压轴题里,如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求证PDPH.图 10-2图 10-3
