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高中数学选修(理科)常用公式 第 2 页 高中（理科）数学选修部分常用公式（全国卷版）一、常用逻辑用语 1四种命题：（1）原命题：若p则q （2）逆命题：若q则p（3）否命题：若p则q （4）逆否命题：若q则p（互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假）2如果pq，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件 注意：（1）小范围大范围，大范围小范围，（2）“p的充分不必要条件是q”“q是p的充分不必要条件”3复合命题pq、pq、p的真假性（p即命题的否定）：（1）当p和q为一真一假时，pq为假，pq为真；（2）p和p的真假性相反 4全称命题与特称命题.若p：,()xM q x 成立，则p：00,()xMq x成立 二、圆锥曲线 1椭圆 定义 动点M到两定点12,F F的距离之和为2a（122FFa），即：122MFMFa，（ca）第 3 页 图形 标准方程 22221xyab(0)ab 22221yxab(0)ab 范围 axa，byb bxb，aya 长轴长 2a 短轴长 2b 焦点、焦距(,0)c、2c(0,)c、2c 顶点(,0)a，(0,)b(,0)b，(0,)a 离心率 cea（01e）准线 2axc 2ayc 焦半径 10MFaex，20MFaex 10MFaey，20MFaey 12MF F 面积公式 1 22tan2MF FSb（其中12FMF）通径的长 22ba 2双曲线 第 4 页 定义 动点M到两定点12,F F的距离之差的绝对值为2a（122FFa）即：122FFMMa（ca）图形 标准方程 22221xyab 22221yxab 范围 xa 或xa，yR xR，ya 或ya 实轴长 2a 虚轴长 2b 焦点、焦距(,0)c、2c(0,)c、2c 顶点(,0)a (0,)a 渐近线 byxa ayxb 离心率 cea（1e）准线 2axc 2ayc 焦半径 10FeMxa，20FeMxa 10FeMya，20FeMya 第 5 页 12MF F 面积公式 1 22tan2MF FbS（其中12FMF）通径的长 22ba 小秘密 焦点到渐近线的距离为b；双曲线上的点到两渐近线的距离之积为2abc 注意：直线与圆锥曲线相交的弦长公式：（和韦达定理结合使用）22212121211()4ABkxxkxxx x 快速公式：21ABkA 2121212221111()4AByyyyy ykk 快速公式：211ABkA（其中A是指消去y或x后得到一元二次方程中的二次项系数）3抛物线 定义 动点P到定点F的距离等于到定直线l的距离 即：PFPP，（F到l的距离为p）标准 22ypx(0)p 22ypx(0)p 22xpy(0)p 22xpy(0)p 第 6 页 方程 图形 范围 0 x 0 x 0y 0y 对称轴 x轴 y轴 焦点 准线(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p 准线 方程 2px 2px 2py 2py 离心率 1e 焦02pPFx 02pPFx 02pPFy 02pPFy 第 7 页 半径 焦点弦公式 12()ABpxx 12()ABpxx 12()ABpyy 12()ABpyy 焦点弦的秘密 三个圆：以AB为直径的圆与准线相切；以AF、BF为直径的圆都与坐标轴相切.角平分线：设M为准线与坐标轴的交点，则x轴（或y轴）是AMB的角平分线 1 cospAF，1 cospBF，22sinpAB，22sinAOBpS，112AFBFp（其中为直线AB的倾斜角）三、导数及其应用 1.概 念：)(xf在0 x处 的 导 数（或 变 化 率 或 微 商）000000()()()limlimx xxxf xxf xyfxyxx .瞬时速度()vs t.瞬时加速度()av t.（注意这个物理意义）2.函数)(xfy 在点0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是000()()()yf xfxxx.3.几种常见函数的导数（1）0C（C为常数）.（2）1()nnxnx.（3）xxcos)(sin.第 8 页（4）xxsin)(cos.（5）xx1)(ln；1(log)lnaxxa.（6）xxee)(；aaaxxln)(.最 好 记 住 这 三 条 常 用 的 公 式：211()xx 1()2xx (ln)1lnxxx 4.导数的运算法则：（1）()()Cf xCfx （2）()()()()f xg xfxg x（3）()()()()()()f xg xfx g xf x g x （4）2()()()()()()()f xfx g xf x g xg xg x 5.复合函数的求导法则：若)(g),(xuufy，则()()xyf u g x 6.函数的单调性：设函数)(xfy 在某个区间(,)a b可导，若()0fx，则)(xfy 在(,)a b上单调递增；若()0fx，则)(xfy 在(,)a b上单调递减 逆命题：若()f x在(,)a b上是增函数，则()0fx；在(,)a b上是减函数，则()0fx.7.求函数)(xfy 极值的方法与步骤：（1）求导数()fx；（2）求方程()0fx的根；（3）画出x、()fx、()f x的分布表格，并判断极大值、极小值 四、推理与证明 1.推理（1）合情推理：包含归纳推理（由特殊到一般的推理）和类比推理（由特殊到特殊的推理）.（2）演绎推理：三段论（大前提、小前提和结论），由一般到特殊的推理.第 9 页（3）合情推理得到的结论不一定正确，需要证明.演绎推理得到的结论一定正确（大前提和小前提正确的情况下）.2.证明（1）直接证明：综合法（条件结论）与分析法（结论条件（恒成立）（2）间接证明：反证法（反设矛盾推翻反设）（3）数学归纳法：证明当n取第一个值0n（0n*N）时结论成立.假设当nk（k*N，且0kn）时结论成立，证明当1nk时结论也成立.由可知，对任意0nn，且n*N时，结论都成立.五、计数原理 1.排列数：!(1)(2)(1)()!mnnAn nnnmnm 2.组合数：(1)(2)(1)!()!mnn nnnmnCmm nm 3.组合数的性质：（1）mn mnnCC；（2）11mmmnnnCCC（3）0122nnnnnnCCCC；13502412nnnnnnnCCCCCC（4）11mmnnnCCm；1231232nnnnnnCCCnCn（5）1121rrrrrrrrnnCCCCC；4.二项式定理：011()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b（1）展开式中的通项（第1r 项）：1rn rrrnTC ab 第 10 页（2）二项式系数：rnC（1,2,rn），若n为偶数，则展开式的中间一项12nT的二项式系数最大；若n为奇数，则展开式的中间两项12nT与112nT的二项式系数最大；（3）二项式系数和与各项系数和 二项式系数和：2n 各项系数和的计算方法：令()nab中的变量等于 1 例如：41(2)x的二项式系数和为4216，各项系数和为441(2)3811（令1x）六、概率 1.古典概型与几何概型（1）古典概型的概率()mP An，基本事件有限，每个基本事件出现的可能性相同.m表示事件A包含的基本事件数，n表示所有基本事件数.（2）几何概型的概率()AP A，基本事件无限，每个基本事件出现的可能性相同.A表示事件A发生区域的几何度量，表示总区域的几何度量（如长度、面积、体积）2.互斥事件与对立事件（1）概念理解：互斥事件AB；对立事 第 11 页 件AB 且()()1P AP B.（2）关系：对立的两个事件一定互斥，互斥的两个事件不一定对立.（3）概率加法公式：若事件A与B互斥，则()()()P ABP AP B.3.相互独立事件,A B及其同时发生的概率：()()()P ABP A P B.4.条件概率：设A与B为两个事件，且()0P A，则()(|)()P ABP B AP A，其中(|)P B A表示事件A发生的条件下事件B发生的概率.5.离散型随机变量及其分布列（1）分布列性质：0ip，1211ninipppp.（2）随机变量X的数学期望（均值）：11221niinniEXx px px px p.（3）随机变量X的方差：21()niiiDXxEXp2221122()()()nnxEXpxEXpxEXp.（4）随机变量X的均值与方差的性质：()E aXbaEXb；2()D aXba DX.（5）二项分布（独立重复实验）：(,)XB n p，EXnp，(1)DXnpp 在n次试验中恰好成功k次的概率()(1)kkn knP XkC pp，0,1,kn 注意：X表示试验成功的次数（6）超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则 第 12 页 ()kn kMN MnNC CP XkC，其中,nN MN 6.正态分布：2(,)XN，其中表示总体平均值，表示标准差（1）正态总体函数 22()212xf xe，,x 在正态分布中，当0，1时，叫做标准正态分布，记作(0,1)XN.函数 f x的图象关于x对称，()0f x，max12f x 函数 f x的图象与x轴围成的总面积为 1，()()0.5P XP X 越大，函数 f x的图象越“矮肥”；越小，函数 f x的图象越“高瘦”（2）几个重要的概率：七、数系的扩充与复数的引入 1.数系：*NNZQRC 2.复数的概念：形如abi(,)a bR的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，21i ，a与b分别叫做复数abi的实部和虚部.3.复数abicdi的充要条件是ac且bd.特例0abi0ab.4.对于复数abi，当0b 时，它是实数；当0a 且0b 时，它是纯虚数.5.复数的模：向量OZ的模，叫做复数zabi的模，即zabi22ab.6.复数所在象限的确定：zabi对应点(,)a b，判断 第 13 页 点(,)a b所在的象限.7.共轭复数：zabi的共轭复数为zabi.8.复数加、减法法则：(abi)(cdi)=()()acbd i.9.复数乘、除法法则：(abi)(cdi)=()()acbdbcad i.八、统计案例 1.回归直线方程为ybxa用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybaybxxxxnx=，（ybxa必过样本中心点,x y）2.残差公式：iiieyy；衡量模型拟合效果的一个指标：相关指数22121)1)niiiniiyyRyy(残差平方和21)niiiyy(越小，2R（201R）越接近于 1，回归效果越好.2R与r的区别：2R为相关指数，r为相关系数，0r 时为负相关，0r 时为正相关，11r，r越接近于 1，变量间的相关性就越强.3.独立性检验的解题步骤：（1）写出列联表；（2）据公式代数求解2K的值；（3）根据观测值2K查表，如果20Kk，就推断两变量有关系，犯错误概率不超过P（即有1 P的 第 14 页 把握推断两变量有关系）；否则就认为在犯错误的概率不超过P的前提下不能推断两变量有关系 22(),()()()()n adbcKnabcdab cdac bd，（上表中的概率P是指犯错误的概率）九、坐标系与参数方程选讲 1.极坐标系的公式：222cos,sin,tan(0)yxyxyxx.（表示极点O和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角）2.参数方程：（1）圆222()()xaybr的参数方程：cossinxarybr（为参数）；（表示圆心和曲线上的点的连线与x轴的正方向所成的角）（2）椭圆22221(0)xyabab的参数方程：cossinxayb（为参数）；*（3）抛物线22ypx的参数方程：222xptypt（t为参数）；*（4）双曲线22221xyab的参数方程：sectanxayb（为P(K2k0)k0 第 15 页 参数）.（1seccos）；（5）直线00tan()yyxx的参数方程：00cossinxxtyyt（t为参数）.（t表示点00,P xy到直线l上的任意一点(,)M x y的有向距离）圆心和曲线上的点的连线与x轴的正方向所成的角）3.空间直角坐标系：已知向量a=111(,)x y z，b=222(,)xyz（1）空间向量的平行与垂直：ab111222xyzxyz（222,0 xyz）（2）空 间 向 量 的 模、距 离 公 式：a=222111,xyz222212121()()()ABxxyyzz（3）点(,)x y z关于x轴对称的点为(,)xyz，关于y轴对称的点为(,)x yz 关于z轴对称的点为(,)xy z，关于原点(0,0)对称的点为(,)xyz 关于平面xOy对称的点为(,)x yz，关于平面yOz对称的点为(,)x y z，关于平面xOz对称的点为(,)xy z，十、空间的角与空间的距离（向量法）：设直线a与b的方向向量分别为,a b，平面与的法向量分别为12,n n 第 16 页（1）异面直线a与b所成的角：则cosa bab，(0,2（2）直 线a与 平 面所 成 的 角：111sincos,a na nan，0,2（3）二面角l 的平面角：1212cosn nnn，0,注意：二面角的平面角需要根据实际图形，判断“锐角”还是“钝角”（4）点P到平面的距离：11PAdnn，其中A 十一、补充公式与定理 1.斜率k、比率、离心率e，2111ek（焦点在x轴上的所有圆锥曲线都成立，若焦点在y轴，则改为21111ek）2.斜率12k k为定值的两个定理：椭圆222210 xyabab上的关于原点对称的两定点为,A B，点M是椭圆上的动点，直线PQ交椭圆于,P Q两点，点N是PQ的中点，则22MAMBbkka，22PQONbkka；双曲线222210,0 xyabab关于原点对称的两定点为,A B，点M是双曲线上的动点，直线PQ交双曲线于,P Q两点，点N是PQ的中点，则22MAMBbkka，22PQONbkka.（以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y轴上，则,a b的位置互换）3.神奇的置换缔造完美的切线（适用于圆和圆锥曲线）（1）曲线上任意一点11,P x y的切线方程为：第 17 页 将原曲线方程按照以下方式“21xx x，21yy y，21xaxaxa，21ybybyb，12xxx，12yyy”置换得到.（2）过曲线外任意一点00,P xy引曲线的两条切线，切点A,B所在的直线方程为：将原曲线方程按照以下方式“20 xx x，20yy y，20 xaxaxa，20ybybyb，02xxx，02yyy”置换得到.4.求点A关于直线0 xym（0 xym）的对称点A可以用“x,y交叉置换法”快速求解.例如求3,2A关于30 xy的对称点00,A xy，把30 xy进行交叉置换0033xyyx，3,2A代入即可求得00,A xy为1,6A.（注意：当对称轴的斜率1k 时才可以用此绝技，否则只能用传统的解方程组的方法）.5.复杂的导数问题常考“整体法”，关键是要想到整体函数 g x，常见的 g x有