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高等数学公式 求导公式表：()0C （C为常数）；1()xx（为实数）；()ln(0,1)xxaaaaa；()xxee；1(log)(0,1)lnxaaaxa；1(ln)xx；(sin)cosxx；(cos)sinxx；12(tan)sec2cosxxx；(sec)sectanxxx；12(cot)csc2sinxxx；(csc)csccotxxx；1(arcsin)21xx；1(arccos)21xx；1(arctan)21xx；1(arccot)21xx.基本积分表：dkxkxC （k 为常数）.特别地，当0k 时，0dxC.11d1xxxC (1)1dln|xxCx dlnxxaaxCa(0,1)aa.dxxexeC.sin dcosx xxC.cos dsinx xxC.22dsecdtancosxx xxCx.22dcscdcotsinxx xxCx.sec tan dsecxx xxC.csc cot dcscxx xxC.21darcsin1xxCx arccos xC.21darctan1xxCx cotarcxC.tan dln cosx xxC.cot dln sinx xxC.sec dln sectanx xxxC.csc dln csccotx xxxC.2211darctanxxCaxaa.2211dln2xaxCxaaxa.221darcsin(0)xxC aaax.22221dlnxxxaCxa.222221darcsin22axax xx axCa.31sec dsec tanlnsectan2x xxxxxC 三角函数的有理式积分：2222212sincostan1121uuxduxxudxuuu，一些初等函数：()(0,1)log(0,1)sin,cos,tan,cot,sec,cscarcsin,arccos,arctan,arccotxayxyaaayx aayx yx yx yx yx yxyx yx yx yx幂函数:为实数指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：:2:2:xxxxxxxxeeshxeechxshxeethxchxee双曲正弦双曲余弦双曲正切 22ln(1ln(1)11ln21arshxxxarchxxxxarthxx）两个重要极限：sinlim10 xxx 11lim1lim 10 xxxexxx 等价无穷小量替换 当0 x时,sin tan arcsin arctanxxxxx ln(1)x1xe,121 cos 2xx,2 sin 2 tan 2xxx，1112xx 三角函数公式：诱导公式：函数 角 A sin cos Tan cot-sin cos-tan-cot 90-cos sin Cot tan 90+cos-sin-cot-tan 180-sin-cos-tan-cot 180+-sin-cos Tan cot 270-cos-sin Cot tan 270+-cos sin-cot-tan 360-sin cos-tan-cot 360+sin cos Tan cot 和差角公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinsin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantancotcot1cot()cotcot倍角公式：半角公式：1 cos1 cossincos22221 cos1 cossin1 cos1 cossintancot21 cossin1 cos21 cossin1 cos 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin 余弦定理：Cabbaccos2222 反三角函数性质：arcsinarccosarctancot22xxxarcx 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv 中值定理与导数应用：()0()()()()()()()()()()F()ff bf afbaf bf afF bF aFxx罗尔中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：3332sin33sin4sincos34cos3cos3tantantan31 3tan222222sin22sincoscos22cos1 1 2sincossincot1cot22cot2tantan21 tan .1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss 的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算：bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：22212212121121222222()()()Prcos,Pr()PrPrcos,cosuuxxyyzzxxyyzzxyzxydM Mxxyyzzj ABABABuj aajajaa baba ba ba ba ba ba baaabb 空间两点的距离：向量在轴上的投影：是与 轴的夹角。是一个数量两向量之间的夹角：2,sin.()cos,zxyzxyzxyzxyzxyzbijkcabaaacabvw rbbbaaaabcabcbbbabcccc 例：线速度：向量的混合积：为锐角时，代表平行六面体的体积。（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：00000000000020022(,)(,)0(,),(,),(,)0,(,)00,(,)00,xyxxxyyyfxyfxyfxyAfxyBfxyCAxyBACAxyBACBAC设，令：为极大值时，为极小值则：时，无极值时 不确定 重积分及其应用：DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL 曲面积分：dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112 级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn 幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于 函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：常用的幂级数展开式：2011(1,1)1nnnxxxxxx 2011!2!nxnnxxexxnn (,)x 2135210sin(1)(1)(21)!3!5!(21)!nnnnnxxxxxxnn (,)x 22420cos(1)1(1)(2)!2!4!(2)!nnnnnxxxxxnn (,)x 123410ln(1)(1)(1)12341nnnnnxxxxxxxnn (1,1x 欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或 三角级数：。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn 傅立叶级数：是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2,1,0cos)(20sin)(3,2,1nsin)(201241312116413121124614121851311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210 周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期 微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr 的形式，21rr(*)式的通解 两个不相等实根)04(2 qp xrxrececy2121 两个相等实根)04(2 qp xrexccy1)(21 一对共轭复根)04(2 qp 242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx 二阶常系数非齐次线性微分方程(),ypyqyf xp q，为常数 求解步骤：1、先求出非齐次线性微分方程()ypyqyf x对应的齐次线性微分方程0ypyqy的通解cy；2、根据()f x设出非齐次线性微分方程()ypyqyf x的特解py，再把py代入方程()ypyqyf x解出特解py；3、写出方程()ypyqyf x的通解cpyyy.如果()()xmf xe Px型，为常数，则方程()ypyqyf x的特解形式为()xkpmye x Qx，其中()mQx是与()mP x同次的多项式，而k的选取应满足 012k不是特征根是特征单根是特征重根.如果()()cos()sinxlnf xeP xxP xx型，则方程()ypyqyf x的特解形式为 ()cos()sinkxpmmyx eRxxIxx 其中(),()mmRx Ix是两个m次多项式，max,ml n，01iki不是特征根是特征根.
