(完整版)北师大八年级上册第一章勾股定理的逆定理(基础).pdf

勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1.理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2.能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3.理解勾股数的含义；4.通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长abc，满足222abc，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与22ab是否具有相等关系.若222cab，则ABC 是C90的直角三角形；若222cab，则ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222abc时，此三角形为钝角三角形；当222abc时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.要点三、勾股数 满足不定方程222xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以xyz、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41 如果abc、是勾股数，当t为正整数时，以atbtct、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）221 21nnn，（1,nn是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221nnnnn（n1，n是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,2mnmnmn（,mn mn、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理 1、判断由线段abc，组成的三角形是不是直角三角形（1）a7，b24，c25；（2）a43，b1，c34；（3）22amn，22bmn，2cmn(0mn)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形【答案与解析】解：（1）2222724625ab，2225625c，222abc 由线段abc，组成的三角形是直角三角形 （2）abc，222239251141616bc，2241639a，222bca 由线段abc，组成的三角形不是直角三角形 （3）0mn，222mnmn，2222mnmn 2222224224224224()(2)242acmnmnmm nnm nmm nn，22224224()2bmnmm nn，222acb 由线段abc，组成的三角形是直角三角形【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c与22ab是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形 举一反三：【变式】（2015 春安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组【答案】C.解：82+152=172，能组成直角三角形；52+122=132，能组成直角三角形；122+152202，不能组成直角三角形；72+242=252，能组成直角三角形 故选 C 2、（2016 春丰城市期末）如图，已知四边形 ABCD 中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13，求四边形 ABCD 的面积 【思路点拨】由 AB3，BC4，B90，应想到连接 AC，则在 RtABC 中即可求出ABC的面积，也可求出线段 AC 的长所以在ACD 中，已知 AC，AD，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积【答案与解析】解：连接 AC，在ABC 中，因为B90，AB3，BC4，所以22222349 1625ACABBC，所以 AC5，在ACD 中，AD13，DC12，AC5，所以22222251225 14416913DCACAD，即222DCACAD 所以ACD 是直角三角形，且ACD90 所以1122ABCACDABCDSSSABBCACDC四边形 113 45 1222 63036 【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察 类型二、勾股定理逆定理的应用 3、已知：,a b c为ABC的三边且满足222338102426abcabc，试判断ABC的形状.【答案与解析】解：222338102426abcabc 0338262410222ccbbaa 0)13()12()5(222cba 5,12,13abc，222cba ABC 是直角三角形.【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.举一反三：【变式】请阅读下列解题过程：已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC 的形状 解：a2c2b2c2=a4b4，第一步 c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2），第二步 c2=a2+b2，第三步 ABC 为直角三角形 第四步 问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_；（2）错误的原因是：_；（3）本题正确的结论是：_ 【答案】解：（1）第三步；（2）方程两边同时除以（a2b2）时，没有考虑（a2b2）的值有可能是 0；（3）c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）c2=a2+b2或 a2b2=0 a2b2=0 a+b=0 或 ab=0 a+b0 c2=a2+b2或 ab=0 c2=a2+b2或 a=b 该三角形是直角三角形或等腰三角形 4、（2015秦皇岛校级模拟）如图，铁路 MN 和铁路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处是第九十四中学，AP=160 米，点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，假使火车行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响（1）火车在铁路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由（2）如果受到影响，已知火车的速度是 180 千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【思路点拨】（1）过点 A 作 AEMN 于点 E，由点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米可知 AE=80m，再由火车行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN 于 BC 两点，连接 AB、AC，则 AB=AC=100m，在 RtABE 中利用勾股定理求出 BE 的长，进而可得出 BC 的长，根据火车的速度是 180 千米/时求出火车经过 BC 是所用的时间即可【答案与解析】解：（1）会受到影响 过点 A 作 AEMN 于点 E，点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，AE=80m，周围 100 米以内会受到噪音影响，80100，学校会受到影响；（2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN 于 BC 两点，连接 AB、AC，则 AB=AC=100m，在 RtABE 中，AB=100m，AE=80m，BE=60m，BC=2BE=120m，火车的速度是 180 千米/时=50m/s，t=2.4s 答：学校受到影响的时间是 2.4 秒 【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解【巩固练习】一.选择题 1.（2016 春庆云县期末）下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（）Aa=1.5，b=2，c=3 Ba=7，b=24，c=25 Ca=6，b=8，c=10 Da=3，b=4，c=5 2.如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD 3.下列说法：（1）在ABC 中，若a2+b2c2，则ABC 不是直角三角形；（2）若ABC 是直角三角形，C=90，则a2+b2=c2；（3）在ABC 中，若a2+b2=c2，则C=90；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 12，则斜边上的高为 其中说法正确的有（）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 4.（2015 春临沂期末）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 的形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 5已知三角形的三边长为1nnm、(其中221mn)，则此三角形()A.一定是等边三角形 B.一定是等腰三角形 C.一定是直角三角形 D.形状无法确定 6三角形的三边长分别为 22ab、2ab、22ab（ab、都是正整数），则这个三角形是（）A直角三角形 B 钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定 二.填空题 7（2016 春岳池县期末）若三角形的边长分别为 6、8、10，则它的最长边上的高为 8.（2015本溪模拟）如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点 A 和 B，在余下的 7 个点中任取一点 C，使ABC 为直角三角形的点 C 有 个 9.已知0435Zyx,则由此xyz，为边的三角形是 三角形.10在ABC 中，若其三条边的长度分别为 9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 11若一个三角形的三边之比为 5：12：13，且周长为 60cm，则它的面积为 12如图，AB5，AC3，BC 边上的中线 AD2，则ABC 的面积为_ 三.解答题 13已知：如图，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 CB 的四等分点且 CECB41，求证：AFFE 14观察下列各式：322345，2228610，22215817，222241026，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子 15.（2015 春石林县校级月考）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知 AD=4米，CD=3 米，ADC=90，AB=13 米，BC=12 米，求这块空地的面积？【答案与解析】一.选择题 1.【答案】A【解析】1.52+2232，故构不成直角三角形.2.【答案】B【解析】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以 AB2+EF2=GH2 3.【答案】B【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，则ABC 也为直角三角形，故错误；（2）符合勾股定理，故正确；（3）符合勾股定理的逆定理，故正确；（4）首先根据勾股定理计算其斜边是 13，再根据面积计算其斜边上的高，该高等于两条直角边的乘积除以斜边，故正确 4.【答案】A.【解析】解：正方形小方格边长为 1，BC=2，AC=，AB=，在ABC 中，BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，BC2+AC2=AB2，ABC 是直角三角形 故选：A 5.【答案】C【解析】222221,211nmnnnn，满足勾股定理的逆定理.6.【答案】A【解析】2222222()2()ababab，满足勾股定理的逆定理.二.填空题 7.【答案】4.8；【解析】三角形三边的长分别为 6、8 和 10，62+82=100=102，此三角形是直角三角形，边长为 10 的边是最大边，设它的最大边上的高是 h，68=10h，解得，h=4.8 8.【答案】4；【解析】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点 A 和 B 组成直角三角形 故答案为：4 9.【答案】直角；10【答案】108 【解析】ABC 是直角三角形.11.【答案】120【解析】这个三角形是直角三角形，设三边长为5;12;13xxx，则512133060 xxxx，解得2x，它的面积为 1151260 412022xx.12【答案】6【解析】延长 AD 到 E，使 DEAD，连结 BE，可得ABE 为 Rt 三.解答题 13【解析】解：连结 AE，设正方形的边长为4a，则 DFCF2a，CEa，BE3a，在 RtADF 中，22222216420AFADDFaaa，在 RtCEF 中，22222245EFCECFaaa，在 RtABE 中，22222216925AEABBEaaa，因为222AEAFEF，所以三角形 AEF 为直角三角形，AFFE 14.【解析】解：222351237，22222112111nnn(n1 且n为整数)15【解析】解：如图，连接 AC 在ACD 中，AD=4 米，CD=3 米，ADC=90，AC=5 米，又AC2+BC2=52+122=132=AB2，ABC 是直角三角形，这块地的面积=ABC 的面积ACD 的面积=512 34=24（平方米）