四川省遂宁二中2012届高三数学辅导资料(8)对数与对数函数.pdf
1/9(8)对数与对数函数 知识梳理。对数（1）对数的定义：如果b(0，a1）,那么 b叫做以 a 为底 N的对数，记作 lgaNb（2）指数式与对数式的关系：ab=NgN=(，a1,N0)两个式子表示的、N三个数之间的关系是一样的,并且可以互化.（3）对数运算性质：ga（MN）loga+lga.logaNM=gaM-logaN.log=nloaM。(0，N，0，1）(4)对数换底公式:lobN=bNaaloglog（a0,a，0,b1,N）abbalog1log bbbbaaaa1loglog1loglog11 bmnbanamloglog ccbabalogloglog（5）对数恒等式:NaNalog（a0,1,N)2.对数函数(1）对数函数的定义 函数 y=loax(a,a)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（，+）.（2）对数函数的图象 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称.（3）对数函数的性质：定义域：(0，+)。值域：R 过点（1,）,即当 x=1时,y=0。当 a时,在（0,)上是增函数；当 0 Ox y aay=logx a11110()2/9 数；函数)(xf的最小值是2lg；当1x时，)(xf没有反函数。其中正确命题的序号是_(注：把你认为正确的序号都填上)5.已知 1，令=(lonm）,=lognm，c=logn（lognm），则(）A.ab B.0，1）,那么 b 叫做以 a为底 N的对数，记作gN=b.（2）指数式与对数式的关系：b=NlN=b（a0，N0)两个式子表示的 a、b、N三个数之间的关系是一样的,并且可以互化.（3）对数运算性质：loa（MN)=oglogaN.loaNM=ogMoga。lan=oaM。（M0,N0，a,a1）4/9()对数换底公式：ogbN=bNaaloglog(a，a,b0，1，）.abbalog1log bbbbaaaa1loglog1loglog11 bmnbanamloglog ccbabalogloglog（5）对数恒等式：NaNalog（0，a1，0）2。对数函数(1)对数函数的定义 函数 y=lgax(0，a）叫做对数函数,其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+）.（)对数函数的图象 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称（)对数函数的性质:定义域：（0,+)值域：。过点（1，0)，即当 x=1时，y=0。当 a1 时，在（0，+）上是增函数；当 0 Ox y aay=logx a11110()5/9 函数;函数)(xf的最小值是2lg;当1x时，)(xf没有反函数。来源:学科网 其中正确命题的序号是_。（注：把你认为正确的序号都填上）答案：5。已知 1mn,令 a(lonm）2,=lognm2，con（ognm），则 A.Bcb C。c D。cb 解析：1mn,0lognm。ogn（lgn)0.答案：典例剖析【例 1】已知函数(）=,4),1(,4,)21(xxfxx则 f（+log23）的值为(）来源：学#科网。31 B.61 C121 D241 剖析：3+log234，3+lo234，f（2+log2)=f(3+og2）=（21）3+log2=241 答案：D 练习:（1）40lg50lg8lg5lg2lg_ （）4log35.02_（3）已知ma2log,na3log，则nma2_（4）)2log2)(log3log3(log9384_(5）已知Aba 53，且211ba，则 A 的值为_ 答案：（）1 (2）2 (3)12 （）45 （）15【例】求函数 yl2|x|的定义域，并画出它的图象,指出它的单调区间.解：0，函数的定义域是x且0。显然 ylg2是偶函数，它的图象关于 y 轴对称又知当0 时,ylg2|x|y=lo2。故可画出l2x的图象如下图。由图象易见，其递减区间是（，0),递增区间是（0,).评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.深化拓展 已知 y=l212x+2(a）x-b2x+(a、R+）,如何求使 y 为负值的 x的取值范围？提示：要使 y21 或（ba)xb0时,xlogba（21);ab时,R；ab 时，xlogba（21）.【例 3】已知 f(x）=o31(x）2，求 f(x）的值域及单调区间 解：真数 3-（x1)23，log31(-1）2313=1,即(x）的值域是,+)。又 3-()20,得 1-31+3，x（1-3，1时，3（x1)2单调递增，从而 f(x）单调递减；x1,13)时，f(x)单调递增 特别提示 讨论复合函数的单调性要注意定义域。【例 】设 不 等 式09)(log9)(log221221xx的 解 集 为 M，求 当Mx时 函 数)8)(log2(log)(22xxxf的最大值和最小值。解析：822)3)(log3log2(2121xxx3log232x，1)2(log)(22xxf 当2log2x,即4x时,1)(minxf；当3log2x，即8x时,0)(maxxf 闯关训练 夯实基础 1（24 年天津，）若函数 f（x）=ogax(0a1)在区间，a上的最大值是最小值的 3倍,则 a等于(）A.42 B。22 C41 D.21 解析:0a1，f()=lg是减函数.ogaa3loa2a.loga2a=31。1oa2=31.loga2=32。42。答案:A 2.函数log2ax1（a)的对称轴方程是 x2，那么等于(）A.21 B。-21 。2 D.解析：y=log2ax=log2|（xa1）,对称轴为 x=a1,由a1=得 a=-21 7/9 答案：评述:此题还可用特殊值法解决，如利用 f（0）=f（），可得=log2|4a-|。a+=1.4a+1=或 4a11 a0，a=21.3.（204 年湖南，理 3）设 f-（x）是()=lg（+1)的反函数,若1+f 1（a)+f 1（b）=8，则 f（a+b）的值为（）A。1 。C.3 .log23 解析：f（x）=1，1+f 1（a)1+f（）=22=2ab.由已知2b=8，a+=3 答案：B 自然数m满足：32.6lgm,则m是（）4 位数 5位数 C6位数 D7 位数 答案：5。设31sinlog23a，bb31log3，cc3log)31(,则(）A。cba Bacb .abc D。cab 答案：来源：学科网 6已知函数2loglog)(32xbxaxf，且4)20081(f，则)2008(f的值为（）A。4 B2 C。0 D2 答案：C 7.（2004 年春季上海）方程 lgx+（x+3)=的解 x_ 解析：由 lg+lg(x3）=1,得（x+3）=10,2+-10=0.x=或 x=2.0，x.答案:已知实数0c，命题p：关于的表达式1|2|cxx对Rx恒成立;命题q:函数)12lg()(2xcxxf的定义域为 R，若“p且q”为假命题,“p或q”为真命题，则实数c的取值范围是_。答案：121 c。已知函数)(xf满足0)()1(xfxf，且当)1,0(x时,12)(xxf,则)6(log2f的值是_。答案：21 10.已知 y=log（3x）在0，2上是 x 的减函数，求 a 的取值范围 解:a且1，=3a为减函数。依题意 a,又 t=3ax 在0，2上应有，32a。a23故 123.8/9.若 f（x）=x2x+b，且 f（g2a）b，log2（a)=2（a1)。（1）求 f(lo)的最小值及对应的值；()取何值时，f（log2x)f（1）且 log2f（）f（1）？解:（1）f(x)=x-x+b，（lo2a）log22alg2a+.由已知有 log22a-2a+bb,（log2a1）g2a。a1，log2a=1.a=.又 lg2f(）=,(a）=。a2+b=4，4a2+a=.故 f（x）=x2x+2,从而 f（lo2x)=og22xlg2+2=（og2x21）247.当 lx=21即 x=2时,f(lg2x）有最小值47(）由题意2)2(log22loglog22222xxxx 21102xxx或03）.(）将=f（x)的图象按向量 a=（3,0）平移，得到函数 yg（x)=log3x(x0)，要使 2 f 1(x+m-3）-g（x）1恒成立,即使log（x+m）og31 恒成立，所以有x+xm+m3在0时恒成立，只要(x+xm+2m）mn3.又 x+xm2m（当且仅当 x=xm,即 x=m时等号成立），(x+xmm)mn=m,即 4m3169。3.求函数=2lg(x2）-lg（-3）的最小值 解：定义域为 x3，原函数为 yg3)2(2xx。9/9 又3)2(2xx=3442xxx=31)3(2)3(2xxx（x3）+31x4,当 x时，min=lg 思悟小结 1对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的。2。比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负;正数通常都再与比较分出大于 1 还是小于 1,然后在各类中间两两相比较 在给定条件下,求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。教师下载中心 教学点睛 1。本小节的重点是对数函数图象和性质的运用。由于对数函数与指数函数互为反函数,所以它们有许多类似的性质,掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆。2。由于在对数式中真数必须大于 0，底数必须大于零且不等于 1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时，要强化这方面的意识 拓展题例【例 1】求函数 y=lg(x2)l（x）的最小值。解：定义域为3，原函数为 y=lg3)2(2xx.又3)2(2xx3442xxx=31)3(2)3(2xxx=（x）+31x+24，当4 时，n=l【例 2】（003 年北京宣武第二次模拟考试）在1(x）=x21,f2（x）=2，f3（)2x，（x）=log21x 四个函数中，x1x21 时,能使21f（x1)+f(x2)（221xx)成立的函数是 Af1（x)=x21 f2(x）x2 C。3(x）2 D。f4（x)=log21 解析：由图形可直观得到：只有1(x）=x21为“上凸”的函数.答案:A
