圆锥曲线的范围最值问题.pdf

圆锥曲线的最值、范围问题 与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意 一、利用圆锥曲线定义求最值 借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理 例 1 已知(4 0),(2)AB，2是椭圆221259xy内的两个点,M是椭圆上的动点,求MAMB的最大值和最小值 分析很容易想到联系三角形边的关系,无论AMB、三点是否共线,总有MAMBAB,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用 点评涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化 小试牛刀 2017 届四川双流中学高三上学期必得分训练已知P为抛物线xy42上一个动点,Q为圆1)4(22 yx上一个动点,当点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小时,点P的横坐标为 A8179 B89 C817 D17 分析根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点P到点Q的距离与点P到准线距离之和的最小值就是点P到点Q的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值.解析设P到抛物线准线的距离为d,抛物线的焦点为F,圆心为C,则minmin171PQdPQPFCFr,故选 A.二、单变量最值问题转化为函数最值 建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量 例 2 已知椭圆 C：222210 xyabab的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线01 yx与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.1 求椭圆的方程.2 设P为椭圆上一点,若过点)0,2(M的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足OPtOTOSO 为坐标原点,求实数t的取值范围.分析 1 由题意可得圆的方程为222)(aycx,圆心到直线01 yx的距离dac21；根据椭圆)0(1:2222babyaxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,cba22 代入式得1bc,即可得到所求椭圆方程；由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为)2(xky,设00,yxp,将直线方程代入椭圆方程得：0288212222kxkxk,根据081628214642224kkkk得到212k；设11,yxS,22,yxT应用韦达定理222122212128,218kkxxkkxx.讨论当 k=0,0t的情况,确定t的不等式.解析 1 由题意：以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(aycx,圆心到直线01 yx的距离dac21 椭圆)0(1:2222babyaxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,cba22 代入式得1bc 22 ba 故所求椭圆方程为.1222 yx 由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为)2(xky,设00,yxp 将直线方程代入椭圆方程得：0288212222kxkxk 081628214642224kkkk 212k 设11,yxS,22,yxT则222122212128,218kkxxkkxx8 分 当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=0,此时 t=0,OPtOTOS成立,故,t=0 符合题意.当0t时 得22210221210218214)4(kkxxtxkkxxkyyty,2181220kktx202141kkty 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224ktkktk 整理得：2222116kkt 由212k知402 t 所以2 2t（，）点评确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于abc、的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点P在椭圆上和向量式得()tf k,进而求函数值域 小试牛刀2017河南西平县高级中学12月考已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为32的椭圆过点2(2,)2 1 求椭圆的方程；2 设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围 答案 12214xy；2(0,1)解析 1 由题意可设椭圆方程22221(0)xyabab,则223,2211,2caab解得2,1,ab所以方程为2214xy 2 由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为ykxm0m,11(,)P x y,22(,)Q xy,由22,1,4ykxmxy得222(14)84(1)0kxkmxm,则222226416(14)(1)k bk bb 2216(41)km0,且122814kmxxk,21224(1)14mx xk,故1212()()y ykxm kxm221212()k x xkm xxm 因直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,所以221212121212()yyk x xkm xxmxxx x2k,即22228014k mmk,又0m,所以214k,即12k 由于直线OP,OQ的斜率存在,且0,得202m且21m 设d为点O到直线l的距离,则22121|(2)22OPQSdPQxxmmm,所以OPQS的取值范围为(0,1)三、二元变量最值问题转化为二次函数最值 利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理 例 2 若点O、F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则OP PF的最大值为 分析设点P xy（，）,利用平面向量数量积坐标表示,将OP PF用变量xy，表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理 点评注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程 小试牛刀抛物线xy82的焦点为F,点),(yx为该抛物线上的动点,又已知点)0,2(A,则|PFPA的取值范围是 .答案2,1 解析由抛物线的定义可得2|xPF,又xxyxPA8)2()2(|222,448128)2(|22xxxxxxPFPA,当0 x时,1|PFPA；当0 x时,44814481|2xxxxxPFPA,4424xxxx,当且仅当xx4即2x时取等号,于是844xx,1448xx,2,1(4481xx,综上所述|PFPA的取值范围是2,1.四、双参数最值问题 该类问题往往有三种类型：建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数主元思想,从而确定参数的取值范围 例 3 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221(1)xyabab 的离心率32e,且椭圆C 上一点N到点Q03（，）的距离最大值为4,过点3,0M（）的直线交椭圆C于点.AB、求椭圆 C 的方程；设 P 为椭圆上一点,且满足OAOBtOPO 为坐标原点,当3AB 时,求实数t的取值范围.分析第一问,先利用离心率列出表达式找到a与b的关系,又因为椭圆上的N点到点Q的距离最大值为 4,利用两点间距离公式列出表达式,因为N在椭圆上,所以22244xby,代入表达式,利用配方 法求最大值,从而求出21b,所以24a,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设,A P B点坐标,由题意设出直线AB方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示OAOBtOP得出,x y,由于点P在椭圆上,得到一个表达式,再由|3AB,得到一个表达式,2 个表达式联立,得到t的取值范围.解析2222223,4cabeaa 224,ab 则椭圆方程为22221,4xybb即22244.xyb 设(,),N x y则 当1y 时,NQ有最大值为24124,b 解得21,b 24a,椭圆方程是2214xy 设1122(,),(,),(,),A x yB xyP x yAB方程为(3),yk x 由 整得2222(14)243640kxk xk.由24222416(91)(14)0k kkk,得215k.1212(,)(,),OAOBxxyyt x y 则2122124()(14)kxxxttk,由点 P 在椭圆上,得222222222(24)1444,(14)(14)kktktk化简得22236(14)ktk 又由21213,ABkxx即221212(1)()43,kxxx x将12xx,12x x代入得 2422222244(364)(1)3,(14)1 4kkkkk 化简,得22(81)(1613)0,kk 则22181 0,8kk,21185k 由,得22223699,1414ktkk 联立,解得234,t 23t 或32.t 点评第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点 P在椭圆上,和已知向量等式得变量,k t的等量关系,和变量,k t的不等关系联立求参数t的取值范围 小试牛刀已知圆)0(2:222rryxM,若椭圆)0(1:2222babyaxC的右顶点为圆M的圆心,离心率为22.1 求椭圆C的方程；2若存在直线kxyl:,使得直线l与椭圆C分别交于BA,两点,与圆M分别交于HG,两点,点G在线 段AB上,且BHAG,求圆M的半径r的取值范围.解析 1 设椭圆的焦距为 2c,因为1,1,22,2bcaca 所以椭圆的方程为12:22 yxC.显然,若点H也在线段AB上,则由对称性可知,直线kxy 就是y轴,与已知矛盾,所以要使BHAG,只要GHAB,所以 当0k时,2r.当0k时,)211(2)23111(2242kkr3,又显然2)23111(2242kkr,所以32 r.综上,圆M的半径r的取值范围是)3,2.圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 迁移运用 12017 届湖南师大附中高三上学期月考三已知两定点1,0A 和1,0B,动点,P x y在直线:3l yx上移动,椭圆C以,A B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为 A55 B105 C.2 55 D2 105 答案 A 解析1,0A 关于直线:3l yx的对称点为3,2A,连接A B交直线l于点P,则椭圆C的长轴长的最小值为2 5A B,所以椭圆C的离心率的最大值为1555ca,故选 A.2 2016-2017学年河北定州市高二上学期期中过双曲线22115yx 的右支上一点P,分别向圆1C：22(+4)+4xy 和圆2C：22(4)1xy作切线,切点分别为M,N,则22|PMPN的最小值为 A10 B13 C16 D19 答案 B 解析由题可知,)1|(|)4|(|222122PCPCPNPM,因此3|222122PCPCPNPM121212(|)2(|)32|3PCPCPCPCC C13.故选 B 3 2017 届湖南长沙一中高三月考五已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为1F,2F.这两条曲线在第一象限的交点为P,12PFF是以1PF为底边的等腰三角形.若1|10PF,记椭圆与双曲线的离心率分别为1e、2e,则12e e的取值范围是 A.1(,)9 B.1(,)5 C.1(,)3 D.(0,)答案 C 42016 届河南省郑州市一中高三上学期联考已知抛物线28yx,点 Q 是圆22:28130C xyxy上任意一点,记抛物线上任意一点到直线2x 的距离为d,则PQd的最小值为 A5 B4 C3 D2 答案 C 解析 如图所示,由题意知,抛物线28yx的焦点为(2,0)F,连接PF,则dPF将圆C化为22(1)(4)4xy,圆心为(1,4)C,半径为2r,则PQdPQPF,于是由PQPFFQ当且仅当F,P,Q三点共线时取得等号而FQ为圆C上的动点Q到定点F的距离,显然当F,Q,C三点共线时取得最小值,且为22(1 2)(40)23CFr,故应选C 52016 届重庆市巴蜀中学高三 10 月月考已知12F F,为椭圆 C：22198xy的左、右焦点,点 E 是椭圆 C 上的动点,12EF EF的最大值、最小值分别为 A9,7 B8,7 C9,8 D17,8 答案 B 62016 届重庆市南开中学高三 12 月月考设点1122,A x yB xy是椭圆2214xy上两点,若过点,A B且斜率分别为1212,44xxyy的两直线交于点P,且直线OA与直线OB的斜率之积为14,6,0E,则PE的最小值为 答案2 26 解析由椭圆2214xy,设22A cossinBcossin（，），（，）,对2214xy两边对x取导数,可得202xyy 即有切线的斜率为4xy,由题意可得 AP,BP 均为椭圆的切线,A,B 为切点,则直线 AP 的方程为111142xxxcosyyysin，同理可得直线 BP 的方程为12xcosysin,求得交点 P 的坐标为2 sinsincoscosxysinsin，2222222()()42cossinsincoscossixynsin,22222,1482xxyy,设2 22Pcossin（，）,1cos时,2 26minPE 7 2017 届四川双流中学高三上学期必得分训练已知BDAC，为圆O：822 yx的两条相互垂直的弦,垂足为)2,1(M,则四边形ABCD的面积的最大值为 .答案13 解析设圆心O到,AC BD的距离分别为12,d d,则222123ddOM,则212 8ACd,222 8BDd,所以四边形的面积22221212128816132SAC BDdddd,故填 8 2017 学年河北冀州中学上学期月考四已知双曲线C：2213yx 的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,(0,2)M,则PFM周长最小值为 答案242 解析PFMFMMF,22,2,0,0,2周长最小,即PFPM 最小,设左焦点为1F,由双曲线的定义可得12PFPMPFPM,而1PFPM 的最小值为221MF,12PFPM的最小值为242,故填242.92017 届江西吉安一中高三周考已知双曲线22:x13yC的右焦点为,F P是双曲线C的左支上一点,0,2M,则PFM周长最小值为_ 答案24 2 解析1,3,2abc,右焦点为2,0F,设左焦点为12,0F,三角形的周长为12PFPMMPaPFPMMP当1,P F M三点共线时,周长取得最小值为24 2 102017 届河北武邑中学高三上学期调研四已知椭圆2222:1xyCab,0ab的离心率63,且过点61,3.求椭圆C的方程；设与圆223:4O xy相切的直线l交椭圆C与A,B两点,求OAB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程.答案 12213xy；2 最大值为32,此时直线方程313yx.解析 1 由题意可得：22121363abca 2当k不存在时,33,22xy ,当k不存在时,设直线为ykxm,11,A x y,22,B xy,2213xyykxm,222136330kxkmm 当且仅当2219kk,即33k 时等号成立 113322222OABSABr,OAB面积的最大值为32,此时直线方程313yx.112017 届湖南长沙一中高三月考五如图,椭圆22221(ab0)xyab的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,|AF|的最大值是M,|BF|的最小值是m,且满足234M ma.1 求椭圆的离心率；2 设线段AB的中点为G,线段AB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点,记GFD的面积为1S,OED的面积为2S,求1222122S SSS的取值范围.答案 112；29(0,)41 解析 1 令(c,0)(c0)F,则Mac,mac.由234M ma,得23(a c)(a c)4a,即22234aca,即224ac,214e,即12e,所以椭圆的离心率为12.2 由线段AB的垂直平分线分别与轴x、y轴交与点D、E,知AB的斜率存在且不为 0.令AB的方程为xtyc.联立2222143xtycxycc,得222(3t4)y690ctyc.123634ctyyt,121228(yy)2c34cxxtt,2243(,)34 34cctGtt.由DGAB,得2231341434Dcttctxt,解之得234Dcxt.由RtDGF RtDOE,得22222221222243()()343434990()34ccctSGDttttcSODt.令12SpS,则9p,于是122212221S SSSpp.而1pp上(9+)，递增,1182999pp.于是12221222982419S SSS.又12221220S SSS,12221229(0,)41S SSS,1222122S SSS的取值范围是9(0,)41.12 2017 届贵州遵义南白中学高三上学期联考四如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点为(0,2)A,且离心率等于32,过点(0,2)M的直线l与椭圆相交于不同两点P,Q,点N在线段PQ上 1 求椭圆的标准方程；2 设|PMMQPNNQ,若直线l与y轴不重合,试求的取值范围 答案 122182xy；22 解析 1 设椭圆的标准方程是22221(0)xyabab,由于椭圆的一个顶点是(0,2)A,故22b,根据离心率是32得22232cabaa,解得28a,所以椭圆的标准方程为22182xy 132017 届福建连城县二中高三上学期期中设直线l：(1)yk x与椭圆2223(0)xyaa相交于A,B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点 1 证明：22231 3kak；2 若2ACCB,OAB的面积取得最大值时椭圆方程 答案 1 证明见解析；22235xy.解析 1 依题意,直线l显然不平行于坐标轴,故(1)yk x可化为11xyk,将11xyk代入2223xya,整理得22212(3)10yyakk,由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得22221()4(3)(1)0akk ,化简整理即得22231 3kak 将33k,233y 及33k ,233y 这两组值分别代入,均可解出25a,经验证,25a,33k 满足式 所以,OAB的面积取得最大值时椭圆方程为2235xy 142016 届黑龙江省哈尔滨师大附中高三 12 月考已知椭圆M：2221(0)3xyaa的一个焦点为(1,0)F,左右顶点分别为A,B 经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点 求椭圆方程；记ABD与ABC的面积分别为1S和2S,求12|SS的最大值 答案 122143xy；23 解析 I 因为(1,0)F 为椭圆的焦点,所以1,c 又23,b 所以24,a 所以椭圆方程为22143xy 当直线l无斜率时,直线方程为1x,此时33(1,),(1,)22DC,ABDABC面积相等,12|0SS 当直线l斜率存在显然0k 时,设直线方程为(1)(0)yk xk,设1122(,),(,)C x yD xy 和椭圆方程联立得到22143(1)xyyk x,消掉y得2222(34)84120kxk xk 显然0,方程有根,且221212228412,3434kkxxx xkk 此时122121|2|2|SSyyyy212|(1)(1)|k xk x 因为0k,上式1212123332 124|24|kkkk,32k 时等号成立 所以12|SS的最大值为3 另解：设直线l的方程为：1 myxRm,则 由 得,0964322myym 设11y,xC,22y,xD,则436221mmyy,0439221myy 所以,2121yABS,1221yABS,当0m时,21SS343212431222mmmmRm 由432m,得 332m 当0m时,3021 SS 从而,当332m时,21SS 取得最大值3 15.已知椭圆)0(1:2222babyaxC经过点)221(，M,其离心率为22,设直线mkxyl：与椭圆C相交于BA、两点 求椭圆C的方程；已知直线l与圆3222 yx相切,求证：OBOAO为坐标原点；以线段OAOB，为邻边作平行四边形OAPB,若点Q在椭圆C上,且满足OPOQO为坐标原点,求实数的取值范围 解析22222ceabca离心率，,222ab 222212xybb椭圆方程为,将点2(1)2M，代入,得21b,22a 所求椭圆方程为2212xy 因为直线l与圆2223xy相切,所以2|631mk,即222(1)3mk 由22,22ykxmxy,得222(12)4220kxkmxm 设点A、B的坐标分别为11(,)A x y、22(,)B xy,则122412kmxxk,21222212mx xk,所以1212()()y ykxm kxm=221212()k x xkm xxm=222212mkk,所以1212OA OBx xy y=222212mk222212mkk=22232212mkk=0,故OAOB,点Q在椭圆上,有22224222(12)(12)kmmkk,化简,得222224(12)(12)mkk 21 20k,有2224(12)mk 又222222164(12)(22)8(12)k mkmkm,由0,得221 2km 将、两式,得2224mm 0m,24,则22 且0 综合、两种情况,得实数的取值范围是22 且0