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高中数学双曲线抛物线知识点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13,2020双曲线双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数 2a(2a迹。方程简图x2y221(a 0,b 0)2ab_ yy2x221(a 0,b 0)2ab_ y)的点的轨范围顶点焦点渐近线离心率对称轴准线方程a、b、c的关系考点考点题型一 求双曲线的标准方程_ x_ xx a或x a,yR(a,0)(c,0)by xace(e 1)a关于 x 轴、y轴及原点对称a2x cy a或y a,xR(0,a)(0,c)ay xbce(e 1)a关于 x 轴、y轴及原点对称a2y cc2 a2b2x2y2n1、给出渐近线方程y x的双曲线方程可设为22(0)，与双曲mnmx2y2x2y2线221共渐近线的方程可设为22(0)。abab2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例 1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为 12，离心率为5；4（2）焦距为 26，且经过点 M（0，12）；x2y21有公共渐进线，且经过点A 3,2 3。（3）与双曲线916x2y2y2x2解：（1）设双曲线的标准方程为221或221(a 0,b 0)。abab由题意知，2b=12，e b=6，c=10，a=8。c5=。a4x2y2x21。标准方程为36 1或646436（2）双曲线经过点 M（0，12），M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在 y轴上，且 a=12。又 2c=26，c=13。b2 c2a2144。y2x21。标准方程为14425x2y2（3）设双曲线的方程为22abA 3,2 3在双曲线上2 33916221得144x2y21所以双曲线方程为94题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是 e、a、b、c四者的关系，构造出e c和c2 a2b2的关系式。ax2y2【例 2】双曲线221(a 0,b 0)的焦距为 2c，直线 l 过点（a，0）和ab（0，b），且点（1，0）到直线 l 的距离与点（-1，0）到直线 l 的距离之和 s4c。求双曲线的离心率 e 的取值范围。5xy解：直线 l 的方程为1，级 bx+ay-ab=0。ab由点到直线的距离公式，且 a1，得到点（1，0）到直线 l 的距离d1b(a1)a b22，b(a1)a b22同理得到点（-1，0）到直线 l 的距离d22aba2b22ab。c，s d1d242ab4由 sc，得c，即5a c2a2 2c2。5c5于是得5 e21 2e2，即4e425e225 0。解不等式，得55 e 5。e2 5。由于 e10，所以 e 的取值范围是24x2y2【例 3】设 F1、F2分别是双曲线221的左、右焦点，若双曲线上存在点abA，使F1AF2 90，且AF1=3AF2，求双曲线的离心率。解：F1AF2 90AF1 AF2 4c2又AF1=3AF2，AF1 AF2 2 AF2 2a即AF2 a，AF1 AF29 AF2 AF210 AF210a2 4c2，c101010即e。a4222222222题型三 直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方Ax ByC 0程组成方程组，即22，对解的个数进行讨论，但必须注意直线2222b x a y a b与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。2、直线与双曲线相交所截得的弦长：l 1k2 x2 x111 y2 y12k【例 4】如图，已知两定点F1(2,0),F2(2,0)，满足条件PF2 PF1 2的点 P的轨迹是曲线 E，直线 y=kx-1与曲线 E交于 A、B两点，如果AB 6 3，且y曲线 E上存在点 C，使OAOB mOC，求AC（1）曲线 E的方程；（2）直线 AB的方程；（3）m 的值和ABC 的面积 S。解：由双曲线的定义可知，曲线 E是以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的双曲线的左支，且c 2，a=1，易知b c2a21。故直线 E的方程为x2 y21(x 0)，(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),BOxy=kx-1由题意建立方程组22消去 y，得(1k2)x22kx2 0。x-y=1又已知直线与双曲线左支交于两点 A、B，有1k2 0,22(2k)8(1k)0,解得 2 k 1。x1 x22k2 0,1k2 0.x1x221k又AB 1k2 x1 x21k2(x1 x2)24x1x22k2(1k2)(2k2)1k()4 222221k1k(1k)2(1k2)(2k2)依题意得2 6 3，整理后得28k455k225 0，22(1k)k255或k2。74但 2 k 1，k 5。25x y 1 0。2故直线 AB的方程为（3）设C(xc,yc)，由已知OAOB mOC，得(x1,y1)(x2,y2)(mxc,myc)，(xc,yc)(x1 x2y1 y2,)(m 0)。mm2k222k2 28，又x1 x22 4 5，y1 y2 k(x1 x2)2 2k 1k 1k 1点C(4 5 8,)。mm将点 C 的坐标代入曲线 E的方程，的806421，2mm得m 4，但当m 4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。m 4，C 点的坐标为(5,2)，C 到 AB的距离为5(5)212(522)1211ABC的面积S 6 33。23一、抛物线1，3高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。（一）知识归纳方程图形y2 2px(p 0)y2 2px(p 0)x2 2py(p 0)yyx2 2py(p 0)ylOFyxOFxFOxFllOlx顶点对称轴焦点离心率准线（0，0）x 轴 y轴ppF(,0)F(,0)22 e=1pF(0,)2pF(0,)2l:x p2l:x p2l:y p2l:y p2（二）典例讲解题型一 抛物线的定义及其标准方程方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2 mx或x2 my(m 0)。【例 5】根据下列条件求抛物线的标准方程。（1）抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；（2）经过点A（2，3）；（3）焦点在直线 x-2y-4=0 上；（4）抛物线焦点在 x 轴上，直线 y=-3 与抛物线交于点 A，AF=5.x2y21，左顶点是（-3，0）解：（1）双曲线方程可化为916由题意设抛物线方程为y2 2px(p 0)且p=6.方程为y2 12xp 3，2（2）解法一：经过点A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px或x22py点A（2，3）坐标代入，即 94p，得 2p9243点A（2，3）坐标代入x22py，即 46p，得 2p所求抛物线的标准方程是y294x或x2y23解法二：由于 A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2 mx94或x2 ny，代入 A 点坐标求得 m=，n=-，2394所求抛物线的标准方程是y2x或x2y23（3）令 x=0 得 y=2，令 y=0得 x=4，直线 x-2y-4=0 与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。焦点为（0，-2），（4，0）。抛物线方程为x2 8y或y216x。（4）设所求焦点在 x轴上的抛物线方程为y2 2px(p 0)，A（m，-3），由抛物线定义得5 AF m又(3)2 2pm，p，2p 1或p 9，故所求抛物线方程为y2 2x或y2 18x。题型二 抛物线的几何性质方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l 的距离处理，例如若 P（x0，y0）为抛物线y2 2px(p 0)上一点，则PF x0p。22、若过焦点的弦 AB，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则弦长AB x1 x2 p，x1 x2可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。【例 6】设 P 是抛物线y2 4x上的一个动点。（1）求点 P 到点 A（-1，1）的距离与点 P 到直线x 1的距离之和的最小值；（2）若 B（3，2），求PB PF的最小值。解：（1）抛物线焦点为 F（1，0），准线方程为x 1。P 点到准线x 1的距离等于 P 点到 F（1，0）的距离，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到 A（-1，1）的距离与 P 到 Fy（1，0）的距离之和最小。显然 P 是 AF的连线与抛物线的交点，最小值为AF 5（2）同理PF与 P 点到准线的距离相等，如图：过 B做 BQ准线于 Q 点，交抛物线与 P1点。PQ，PF11PB PF PB PQ BQ 4。11O OA AP PF FxPB PF的最小值是 4。题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。【例 7】已知抛物线 yx2，动弦 AB的长为 2，求 AB的中点纵坐标的最小值。分析一：要求 AB中点纵坐标最小值，可求出 y1y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到 y1、y2是梯形 ABCD的两底，这样使得中点纵坐标 y成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。解法一：设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)11由抛物线方程 yx2知焦点F(0,),准线方程y ，设点 A、B、M 到准44线的距离分别为|AD1|、|BC1|、|MN|，则|AD1|BC1|2|MN|，且11MN=2(y+)，根据抛物线的定义，有|AD1|AF|、|BC1|BF|,2(y+)44|AF|BF|AB|2，12(y+)2433y,即点 M 纵坐标的最小值为。44分析二：要求 AB 中点 M 的纵坐标 y 的最小值，可列出 y 关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。解法二：设抛物线 yx2上点 A(a,a2),B(b,b2)，AB 的中点为 M(x，y)，则a ba2b2x,y 22|AB|2，(ab)2(a2b2)4，则(ab)24ab(a2b2)24a2b24则 2xab,2ya2b2,得 ab2x2y,4x24(2x2y)4y24(2x2y)4整理得y x214x21 y 14(4x21)1111134x214 244144即点 M 纵坐标的最小值为 3/4。练习：1、以y=23x为渐近线的双曲线的方程是（）、3y22x2=6、9y28x2=1 C、3y22x2=1 D、9y24x2=36【答案 D】解析：A 的渐近线为y=23x，B的渐近线为y=2 23x C 的渐近线为y=23x，只有 D的渐近线符合题意。2、若双曲线x2 y21的左支上一点 P（a，b）到直线 y=x的距离为2，则a+b的值为（）A、112 B、2 C、2 D、2【答案 A】解析：P 在双曲线上，a2b21即（a+b）（a-b）=1又 P（a，b）到直线 y=x的距离为2ab22且a b即ab 21a+b=23、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为 x 轴，焦点在直线3x4y12 0上，那么抛物线的方程是（）A、y2 16x B、y212xC、y216x D、y2 12x【答案 C】解析：令 x=0得 y=3，令 y=0得 x=4，直线3x4y12 0与坐标轴的交点为（0，-3），（4，0）。焦点为（0，-3），（4，0）。抛物线方程为x2 12y或y216x。4、若抛物线 y=12x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，则 P 点的坐标是4B.（4，4）C.（797979，）D.（，8816A.（4，4）79）16【答案 B】解析：抛物线的焦点是（0，1），准线是y 1，P 到焦点的距离可以转化为到准线的距离。设 P（x，y），则 y=4，x 4y 16 45、若点 A的坐标为（3，2），F为抛物线y2 2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则PA PF取得最小值时点P的坐标是（C）A（0，0）B（1，1）C（2，2）D(,1)12【答案 C】解析：抛物线焦点为 F（1，0），准线方程为x 1。P 点到准线x 1的距离等于 P 点到 F（1，0）的距离，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到 A（3，2）的距离与 P 到 F（1，0）的距离之和最小。显然 P 是 A到准线的垂线与抛物线的交点，P 的坐标为（2，2）6、已知 A、B是抛物线y2 2px(p 0)上两点，O为坐标原点，若OA=OB，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线 AB 的方程是（）A、x=p B、x=3p C、x=35p D、x=p22y2y2【答案 D】解析：设 A（，y），B（，-y），2p2pF（p，0）是AOB 的垂心，yy2p2p2y 1y22p整理得y2 5p2y25px 2p2x2y21只有一个公共点的直线有条。7、过点 P（4，1），且与双曲线916【答案】两条解析：因为 P（4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。44这两条直线是：y1(x4)和y1(x4)33x28、双曲线 C 与双曲线 y21有共同的渐近线，且过点A(2,-2)，则 C 的两条2准线之间的距离为。【答案】2 63x2解析：设双曲线 C 的方程为 y2 k(k 0)，2将点 A代入，得 k=-2。y2x2故双曲线 C 的方程为：124a 2，b=2,c 62a22 6所以两条准线之间的距离是。c39、已知抛物线y2 2px(p 0)，一条长为 4P 的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦中点到 y轴的最小距离是【答案】3p2解析：设动弦两个端点为 A、B，中点为 C，作 AA，BB，CC垂直于准线的垂线，垂足分别为 A、B、C，连接 AF、BF，由抛物线定义可知，AF=AA，BF=BBCC是梯形 ABBA的中位线111CC=(AA)BB)=(AF)BF)AB=2p222当 AB经过点 F时取等号，所以 C 点到 y轴的距离最小值为2p-p3p。2210、抛物线y2 12x的一条弦的中点为 M(2,3)，则此弦所在的直线方程是。【答案】2x-y+1=0解析：设此弦所在的直线l方程为y 3 k(x2)，l与抛物线的交点坐标分别是 A(x1,y1),B(x2,y2),则x1 x2 4将l的方程代入抛物线方程整理得k2x2(4k26k 12)x(2k 3)2 0(4k26k 12)4由韦达定理得x1 x2 k2解得k 2此直线方程为y 3 2(x2)即 2x-y+1=011、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为 16，离心率为曲线的方程。解：由题意知，2c 16 c 8又e 4，求双3c4a 6a3b2 c2a2 28y2x213628x2y2212、已知双曲线221(a 0,b 0)的离心率e 3，过点A(0,b)和 Bab3（a，0）的直线与原点的距离为（1）求双曲线的方程；3。2（2）直线y kxm(k 0,m 0)与该双曲线交于不同的两点 C、D，且 C、D两点都在以 A为圆心的同一圆上，求 m 的取值范围。e21b24解：（1）由题设，得a23ab3 a2b22解得a2 3，b21双曲线的方程为x2 y231。（2）把直线方程y kxm代入双曲线方程，并整理得(13k2)x26kmx 3m23 0因为直线与双曲线交于不同的两点，12m21236k2 0设C(x1,y1)，D(x2,y2)则x6km1 x213k2，y1 y2 k(x1 x2)2m 2m13k2设 CD 的中点为P(x0,y0)，其中xx1 x2y 02，y 1y202，则x3kmm013k2，y013k2m依题意，APCD，kAP133kmk21 1k13k2整理得3k2 4m1将式代入式得m24m 0m4或 m0又3k2 4m1 0，即m 14m 的取值范围为 m4或14 m 0。13、已知点 A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2 2px上，的重心与此抛物线的焦点 F 重合（如图）ABC（1）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标；（2）求线段 BC 中点 M 的坐标；（3）求 BC 所在直线的方程.（12 分）解：（1）由点 A（2，8）在抛物线y2 2px上，有82 2p2，解得 p=16.所以抛物线方程为y2 32x，焦点 F 的坐标为（8，0）.（2）如图，由于 F（8，0）是ABC 的重心，M 是 BC 的中点，所以 F 是线段 AM 的定比分点，且AF 2，设点 M 的坐标为(x0,y0)，则FM22x082y08,0，解得x011,y0 4，1212所以点 M 的坐标为（11，4）（3）由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上，所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴.设 BC 所在直线的方程为：y4 k(x11)(k 0).y4 k(x11)由2，消 x 得ky232y 32(11k 4)0，y 32x所以y1 y2y y232，由（2）的结论得1 4，解得k 4.k2BC 所在直线的方程是y4 4(x11)即4x y 40 0。14、如图,直线 y=11x与抛物线 y=x24 交于 A、B两点,线段 AB 的垂直平分28线与直线 y=5 交于 Q 点.（1）求点 Q的坐标；（2）当 P 为抛物线上位于线段 AB下方（含 A、B）的动点时,求 OPQ 面积的最大值.（14 分）解：(1)解方程组y 1x2y 1x284得x1 4x28y或 41 2y2即 A(4,2),B(8,4),从而 AB 的中点为 M(2,1).由k1AB=2，直线 AB 的垂直平分线方程y1=-2(x2).令 y=5,得 x=5,Q(5,5)(2)直线 OQ 的方程为 x+y=0,设 P(x,18x24)点 P 到直线 OQ 的距离x1d=8x242=18 2x28x32,OQ 5 2SOPQ=12OQ d=516x28x32.P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点,且 P 不在直线 OQ 上,4x434 或 434x8.函数 y=x2+8x32 在区间4,8 上单调递增,当 x=8 时,OPQ积取到最大值为 30的面