4.4万有引力与航天(精讲)(原卷版).pdf

专题 4.4 万有引力与航天【考情分析】1.掌握万有引力定律的内容，并能够用万有引力定律求解相关问题。2.理解第一宇宙速的意义。3.了解第二宇宙速度和第三宇宙速度。4.掌握宇宙速度及卫星运行参数。5.理解双星模型和多星模型。6.理解同步卫星问题和变轨问题。【重点知识梳理】知识点一 开普勒行星运动定律的应用 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 a3T2k，k是一个与行星无关的常量 知识点二 万有引力定律的理解及应用 1内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。(2)引力的方向在它们的连线上。(3)引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成正比、与它们之间距离 r的二次方成反比。2表达式 FGm1m2r2，其中 G为引力常量，G6.671011 Nm2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。3适用条件(1)两个质点之间的相互作用。(2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心间的距离。知识点三、宇宙速度 1三个宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度)v17.9 km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度(脱离速度)v211.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度(逃逸速度)v316.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 2第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度。3第一宇宙速度的计算方法(1)由 GMmR2mv2R得 vGMR.(2)由 mgmv2R得 v gR.知识点四、经典时空观和相对论时空观 1经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。2相对论时空观(1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。知识点五、宇宙速度及卫星运行参数 1三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值(km/s)意义 第一宇宙速度 7.9 地球卫星最小发射速度(环绕速度)第二宇宙速度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)第三宇宙速度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)2.第一宇宙速度的计算方法(1)由 GMmR2mv2R得 vGMR。(2)由 mgmv2R得 v gR。3物理量随轨道半径变化的规律 规律 GMmr2rR地hmv2rvGMrv1rm2rGMr31r3m42T2rT42r3GMT r3maaGMr2a1r2越高越慢mgGMmR2地近地时GMgR2地 4同步卫星的六个“一定”知识点六、双星模型和多星模型 1双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。(2)特点：各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm1m2L2m121r1m142T21r1，Gm1m2L2m222r2m242T22r2。两颗星的周期及角速度都相同，即 T1T2，12。两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L。(3)两颗星到圆心的距离 r1、r2与星体质量成反比，即m1m2r2r1。2多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。(2)三星模型 如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm2r2Gm22r2ma向。两行星转动的周期、角速度、线速度的大小相等。如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。Gm2L22cos 30ma向，其中 L2rcos 30。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。知识点七、开普勒行星运动定律的应用 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 a3T2k，k是一个与行星无关的常量 知识点八、万有引力定律的理解及应用 1内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。(2)引力的方向在它们的连线上。(3)引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成正比、与它们之间距离 r的二次方成反比。2表达式 FGm1m2r2，其中 G为引力常量，G6.671011 Nm2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。3适用条件(1)两个质点之间的相互作用。(2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心间的距离。知识点九、经典时空观和相对论时空观 1经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。2相对论时空观(1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。【典型题分析】高频考点一 开普勒运动定律的应用【例 1】(2017高考全国卷)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、Q 到 N 的运动过程中()A从 P 到 M 所用的时间等于 T04 B从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 D从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功【举一反三】（2020河北衡水中学调研）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心 B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【变式探究】（2020吉林长春市实验中学模拟）17世纪，英国天文学家哈雷跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的 18 倍，并预言这颗彗星将每隔一定的时间飞临地球，后来哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星围绕太阳公转的轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示。从公元前 240 年起，哈雷彗星每次回归，中国均有记录。它最近一次回归的时间是 1986 年。从公元前 240 年至今，我国关于哈雷彗星回归记录的次数，最合理的是()A24 次 B30 次 C124 次 D319次 高频考点二 万有引力定律的理解及应用【例 2】（2020新课标）“嫦娥四号”探测器于 2019 年 1 月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的 K 倍。已知地球半径 R 是月球半径的 P倍，地球质量是月球质量的 Q 倍，地球表面重力加速度大小为 g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（）A.RKgQP B.RPKgQ C.RQgKP D.RPgQK【举一反三】（2019新课标全国卷）2019 年 1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用 h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述 F 随h 变化关系的图像是（）【方法技巧】1万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力 F表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向心力 F向，如图所示。(1)在赤道上：GMmR2mg1m2R.(2)在两极上：GMmR2mg2.(3)在一般位置：万有引力 GMmR2等于重力 mg与向心力 F向的矢量和越靠近南北两极 g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2mg.2星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)：mgGmMR2，得 gGMR2(2)在地球上空距离地心 rRh处的重力加速度为 g mgGMmRh2，得 gGMRh2 所以ggRh2R2【变式探究】(2018北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径 60倍的情况下，需要验证()A地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 1/602 B月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 1/602 C自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 1/6 D苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 1/60 高频考点三 估算天体质量和密度【例 3】（2019浙江选考）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间 t内速度的改变为v，和飞船受到的推力 F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度 v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为 T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为 R，引力常量用 G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（）AF vt，2v RG BF vt，32v TG CF tv，2v RG DF tv，32v TG【举一反三】(2018全国卷)2018年 2 月，我国 500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”，其自转周期T5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.671011 Nm2/kg2。以周期 T稳定自转的星体的密度最小值约为()A5109 kg/m3 B51012 kg/m3 C51015 kg/m3 D51018 kg/m3【方法技巧】天体密度的测量方法 1重力加速度法 利用天体表面的重力加速度 g和天体半径 R。(1)由 GMmR2mg得天体质量 MgR2G。(2)天体密度：MVM43R33g4GR。2卫星环绕法 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r和周期 T。(1)由 GMmr2m42rT2得天体的质量 M42r3GT2。(2)若已知天体的半径 R，则天体的密度 MVM43R33r3GT2R3。(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 3GT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。【变式探究】（2018浙江卷）土星最大的卫星叫“泰坦”（如图），每 16 天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2 106，已知引力常量，则土星的质量约为（）A.5 1017 B.5 1026 C.7 1033 D.4 1036 高频考点四 卫星运行参数的分析与计算【例 4】（2020天津卷）北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的 7 倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星（）A.周期大 B.线速度大 C.角速度大 D.加速度大【变式探究】（2019新课标全国卷）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为 a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为 v金、v地、v火。已知它们的轨道半径 R金R地a地a火 Ba火a地a金 Cv地v火v金 Dv火v地v金 【举一反三】(2018江苏卷)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高 今年 5 月 9日发射的“高分五号”轨道高度约为 705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为 36 000 km，它们都绕地球做圆周运动与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是()A周期 B角速度 C线速度 D向心加速度【方法技巧】利用万有引力定律解决卫星运动的技巧(1)一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型(2)两组公式 GMmr2mv2rm2rm42T2rma mgGMmR2(g 为天体表面处的重力加速度)(3)a、v、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较【变式探究】（2019天津卷）2018年 12月 8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的（）A周期为234 rGM B动能为2GMmR C角速度为3Gmr D向心加速度为2GMR【举一反三】(2018全国卷)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4倍P 与 Q的周期之比约为()A21 B41 C81 D161 高频考点五 同步卫星问题【例 5】（2019北京卷）2019年 5 月 17日，我国成功发射第 45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星（同步卫星）。该卫星 A入轨后可以位于北京正上方 B入轨后的速度大于第一宇宙速度 C发射速度大于第二宇宙速度 D若发射到近地圆轨道所需能量较少【方法技巧】地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T24 h86 400 s。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：据 GMmr2m42T2r得 r3GMT2424.23104 km，卫星离地面高度 hrR6R(为恒量)。(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。【变式探究】(2020山东泰安一中二模)中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统预计 2020年左右，北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知 a、b、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则()A卫星 a的角速度小于 c的角速度 B卫星 a 的加速度大于 b的加速度 C卫星 a 的运行速度大于第一宇宙速度 D卫星 b的周期等于 24 h 高频考点六 卫星的发射与变轨【例 6】（2020 江西南昌中学模拟）如图所示，地球卫星 a、b 分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点 A 处与圆形轨道相切，则()A卫星 a的运行周期比卫星 b的运行周期短 B两颗卫星分别经过 A点处时，a 的速度大于 b 的速度 C两颗卫星分别经过 A点处时，a 的加速度小于 b的加速度 D卫星 a在 A 点处通过加速可以到圆轨道上运行【方法技巧】1从引力和向心力的关系分析变轨问题(1)卫星突然加速(通过发动机瞬间喷气实现，喷气时间不计)，则万有引力不足以提供向心力，GMmr2mv2r，卫星将做离心运动，变轨到更高的轨道。(2)当卫星突然减速时，卫星所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星变轨到较低的轨道。2变轨问题考查的热点(1)运动参量的比较：两个轨道切点处，加速度由GMmr2ma分析，式中“r”表示卫星到地心的距离，a大小相等；由于变轨时发动机要点火工作，故线速度大小不等。(2)能量的比较：在离心运动过程中(发动机已关闭)，卫星克服引力做功，其动能向引力势能转化，机械能保持不变。两个不同的轨道上(圆轨道或椭圆轨道)，轨道越高卫星的机械能越大。【变式探究】（2020广东中山纪念中学模拟）如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图，在地月转移段，若不计其他星体的影响，关闭发动机后，下列说法正确的是()A“嫦娥三号”飞行速度一定越来越小 B“嫦娥三号”的动能可能增大 C“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变 D“嫦娥三号”的动能和引力势能之和可能增大 高频考点七 双星、多星问题【例 7】(2018全国卷20)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约 100 s时，它们相距约 400 km，绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈 将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A质量之积 B质量之和 C速率之和 D各自的自转角速度【变式探究】（2020成都实验外国语学校模拟）宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中 A、B两颗天体绕 O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比 rArB12，则两颗天体的()A质量之比 mAmB21 B角速度之比 AB12 C线速度大小之比 vAvB21 D向心力大小之比 FAFB21【方法技巧】解决双星、多星问题的关键点 1.双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。2.星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。3.星体的角速度相等。4.星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。【变式探究】（2020陕西长安一中模拟）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心 O做匀速圆周运动，引力常量为 G，则()A每颗星做圆周运动的线速度为GmR B每颗星做圆周运动的角速度为3GmR3 C每颗星做圆周运动的周期为 2R33Gm D每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关