(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练五十一10.5曲线与方程理(含解析)新人教A版.pdf

核心素养提升练五十一 曲线与方程（30 分钟 60 分）一、选择题(每小题 5 分,共 25 分）1。如图，已知线段 AB 上有一动点 D(D 异于 A，B）,线段 CDAB,且满足|CD|2=AD|BD（是大于 0 且不等于 1 的常数），则点 C 的运动轨迹为（)A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C。双曲线的一部分 D。抛物线的一部分【解析】选 B.以线段 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系,设 C（x,y)是运动轨迹上任一点，设AB|=2a，则 A(-a,0),B(a，0)，所以CD|2=y2,AD|BD|=(x+a）(a-x)=x2+a2,所以 y2=-x2+a2,即 x2+y2=a2，即+=1,且 xa,所以点 C 的运动轨迹为椭圆的一部分.2。（2018张家口模拟）设线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,且AB|=5，=+(O 为坐标原点),则点 M 的轨迹方程为（）A。+=1 B.+=1 C。+=1 D.+=1【解析】选 A。设 M（x,y)，A（x0,0)，B（0，y0)，由=+，得(x，y）=(x0,0)+（0,y0),则解得 由AB=5，得+=25,化简得+=1。【变式备选】(2018福州模拟）已知 F1，F2分别为椭圆 C：+=1 的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点,则PF1F2的重心 G 的轨迹方程为()A。+=1(y0)B.+y2=1（y0）C。+3y2=1(y0)D.x2+=1（y0）【解析】选 C.依题意知 F1(1,0），F2（1，0),设 P（x0,y0)，G(x,y)，由三角形重心坐标关系可得即代入+=1，得重心 G 的轨迹方程为+3y2=1（y0).3.设点 A 为圆（x-1）2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线，且|PA|=1，则 P 点的轨迹方程为()A.y2=2x B。(x-1)2+y2=4 C。y2=2x D.(x1）2+y2=2【解析】选 D。如图，设 P（x,y），圆心为 M(1,0）,连接 MA,则 MAPA，且MA=1。又因为PA=1,所以PM|=，即|PM|2=2,所以 P 点的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.【变式备选】（2018梅州模拟）动圆 M 经过双曲线 x2-=1 的左焦点且与直线 x=2 相切,则圆心 M 的轨迹方程是（）A.y2=8x B.y2=8x C.y2=4x D.y2=-4x【解析】选 B.双曲线 x2=1 的左焦点 F（-2,0),动圆 M 经过点 F 且与直线 x=2 相切,则圆心 M 到点 F 的距离和到直线 x=2 的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2=8x。4.已知两定点 A（0,2），B(0,2），点 P 在椭圆+=1 上，且满足|=2，则=（)A。-12 B.12 C.9 D。9【解析】选 D。设 P(x，y）.由|=2 可得点 P 在以两定点 A,B 为焦点的双曲线的上支,其中 2a=2，c=2，所以 b=.所以点 P（x，y）满足方程 y2-=1(y1）.由解得 所以=（x，y+2)(x，y2)=x2+y24=9+4-4=9.5.在ABC 中,B（-，0），C(，0)，AB,AC 边上的中线长之和为 9.则ABC 重心 G 的轨迹方程是(）A.+=1（y0）B。+=1(y0）C.-y2=1(y0)D。x2-=1(y0）【解析】选 B。设 AB，AC 边上的中线分别为 CD，BE，因为 BG=BE，CG=CD，所以 BG+CG=（BE+CD)=6（定值）,所以，G 的轨迹为以 B,C 为焦点的椭圆，2a=6，c=，所以 a=3，b=2，椭圆的方程为+=1。因为当G 点在x 轴上时,A，B,C 三点共线,不能构成ABC,所以 G 的纵坐标不能是 0,可得ABC 的重心 G 的轨迹方程为+=1(y0).二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.ABC 的顶点 A（5，0），B(5，0）,ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是_.【解析】如图，AD|=AE|=8,BF|=|BE=2,|CD=CF,所以CA|-|CB|=82=6。根据双曲线定义,所求轨迹是以 A,B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支,所以方程为-=1(x3).答案：=1(x3）7。已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A（-1，0)，B(1，0）且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是_。【解析】设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1,OO1，则AA1+BB1 =2OO1=4,由抛物线定义得AA1|+|BB1=|FA+|FB|，所以FA+FB=4,故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点）。所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y0).答案:+=1(y0）8.已知点 P 是曲线 C：+y2=1 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q，点 M 满足=,则点 M 的轨迹方程为_。【解析】设 P（m，n）,M(x，y)，则 Q(m，0）,=（0,n)，=（x-m,yn），因为=-,所以（0，n)=-（x-m，y-n）,即即 因为点 P 在曲线 C 上,所以+n2=1，将代入得,+=1，即点 M 的轨迹方程 x2+y2=4.答案：x2+y2=4 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分）9.(2018泉州模拟）ABC 中,O 是 BC 的中点，|BC=3，其周长为 6+3,若点 T 在线段 AO 上，且|AT=2|TO|.（1)建立合适的平面直角坐标系,求点 T 的轨迹 E 的方程.（2）若 M,N 是射线 OC 上不同的两点,OM|ON|=1，过点 M 的直线与 E 交于 P，Q 两点，直线 QN 与 E 交于另一点 R,证明:MPR 是等腰三角形.【解析】(1)以 BC 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则AB+|AC=6BC,所以点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆，所以 2a=6，2c=3，所以 a=3，c=,所以 b2=a2c2=,所以点 A 的轨迹方程为+=1(y0）。设 T（x,y）,点 T 在线段 AO 上,且|AT|=2TO|，所以 A（3x,3y）,代入轨迹方程,整理可得点 T 的轨迹 E 的方程是 x2+2y2=1（y0）。（2)设 Q(x1，y1)，P（x2,y2),R(x3,y3）,M（m，0)（m0）,由|OM|ON|=1 得 N，由已知，直线 QM 不与坐标轴平行，kQM=，直线 QM 的方程为 y=（xm）,与椭圆方程联立,消去 y，得(m2+1-2mx1）x2-2m（1-)x+(2mx1-m2）=0,所以 x1x2=，同理 x1x3=x1x2,所以 x2=x3,或 x1=0.当 x2=x3时，PRx 轴;当 x1=0 时,x2=，x3=x2。所以 PRx 轴，所以MP|=MR|,所以MPR 是等腰三角形.10.(2018上海模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知三点 O(0，0)，A（-1,1)，B(1，1），曲线 C 上任意一点 M（x，y）满足：+=4-（+)。(1）求曲线 C 的方程。(2）设点 P 是曲线 C 上的任意一点，过原点的直线l与曲线相交于 M，N 两点,若直线 PM，PN的斜率都存在，并记为 kPM，kPN,试探究 kPMkPN的值是否与点 P 及直线l有关,并证明你的结论.【解析】（1)由已知,A(1,1）,B(1,1），M(x，y),所以+=（1-x，1y)+（1-x,1-y)=（-2x，2-2y）,|+=,又因为|+=4-(+），4(+)=4(x,y）(0，2)=4y，所以=4y，化简整理得+=1，即为所求曲线 C 的方程。(2）因为过原点的直线l与椭圆相交的两点 M，N 关于坐标原点对称,可设 P（x，y）,M（x0,y0）,N（-x0，y0).因为 P，M，N 在椭圆上,所以+=1,+=1,，得=，又因为 kPM=，kPN=，所以 kPMkPN=-，所以,kPMkPN的值恒等于，与点 P 的位置和直线l的位置无关.(20 分钟 40 分）1.（5 分）已知两定点 F1（1,0),F2(1,0）,且F1F2|是PF1|与PF2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是(）A.+=1 B.+=1 C。+=1 D。+=1【解析】选 C。由|F1F2|是PF1与PF2|的等差中项知：PF1+PF2=4，故动点 P 的轨迹是以定点 F1（1,0),F2（1，0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆,故其方程为+=1。【变式备选】设圆 C 与圆 x2+（y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为 (）A。抛物线 B。双曲线 C。椭圆 D.圆【解析】选 A。由题意知动点 C 满足:到定点(0，3)的距离比到定直线 y=0 的距离多 1，故其到定点（0，3)与到定直线 y=1 的距离相等.所以点 C 的轨迹为抛物线。2。(5 分）设过点 P（x,y）的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点,点 Q与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点，若=2,且=1，则点 P 的轨迹方程是（)A.x2+3y2=1(x0，y0)B。x23y2=1（x0,y0)C。3x2-y2=1(x0,y0)D。3x2+y2=1（x0，y0)【解析】选 A。设 A(a,0），B(0,b），a0,b0，由=2,得(x，y-b)=2（a-x，-y），即a=x0，b=3y0。点 Q(-x,y），故由=1,得（x，y）（a，b）=1,即ax+by=1，将 a,b 代入 ax+by=1得所求的轨迹方程为 x2+3y2=1(x0，y0）.3.(5 分)已知过点 A（2,0)的直线与 x=2 相交于点 C,过点 B（2,0)的直线与 x=-2 相交于点 D,若直线 CD 与圆 x2+y2=4 相切，则直线 AC 与 BD 的交点 M 的轨迹方程为_。【解析】设直线 AC，BD 的斜率分别为 k1，k2,则直线 AC，BD 的方程分别为：y=k1(x+2）,y=k2(x2),据此可得:C(2，4k1),D(2，4k2)，则:kCD=k1+k2,直线 CD 的方程为：y-4k1=（k1+k2)（x2)，整理可得：（k1+k2)xy+2（k1k2)=0，直线与圆相切,则:=2,据此可得：k1k2=-，由于:y=k1(x+2)，y=k2(x-2)，两式相乘可得:y2=k1k2(x2-4）=-x2+1，即直线 AC 与 BD 的交点 M 的轨迹方程为+y2=1(y0）.答案:+y2=1（y0）4。(12 分)(2018泰安模拟)如图所示,动圆 C1:x2+y2=t2，1t3,与椭圆 C2:+y2=1 相交于A,B,C，D 四点，点 A1,A2分别为 C2的左，右顶点。（1）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积.(2）求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。【解析】(1）设 A(x0，y0），则矩形 ABCD 的面积 S=4x0y0，由+=1 得=1,所以=1-=2+,当=，=时，Smax=6，所以 t2=+=5，t=，所以当 t=时，矩形 ABCD 的面积取到最大值 6.(2）由椭圆 C2:+y2=1 知 A1（3，0),A2（3,0)，由曲线的对称性及 A(x0,y0)得 B(x0，-y0）,设点 M 的坐标为（x，y）,直线 AA1的方程为 y=(x+3),直线 A2B 的方程为 y=（x3），由得 y2=(x29)。又点 A（x0,y0）在椭圆 C2上,所以=1。将代入得-y2=1（x-3,y0)。所以点 M 的轨迹方程为-y2=1(x3，y0)。5。（13 分)已知椭圆 C：+=1（ab0）的一个焦点为（,0），离心率为.(1）求椭圆 C 的标准方程.(2）若动点 P（x0,y0）为椭圆 C 外一点,且过点 P 的椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.【解析】（1)由已知 c=，=,所以 a=3,b2=a2c2=4,所以椭圆 C 的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1，l2，当l1x 轴或l1x 轴时，对应l2x 轴或l2x 轴,可知点 P（3,2）或 P（3,2)或 P(3，-2）或 P（-3，2)。当l1与 x 轴不垂直且不平行时,x03.设l1的斜率为 k,则 k0，l2的斜率为-，所以l1的方程为 yy0=k(x-x0）,联立+=1,得（9k2+4）x2+18(y0kx0）kx+9(y0kx0）236=0。因为直线l1与椭圆 C 相切，所以=0，9(y0-kx0）2k2-(9k2+4）（y0-kx0）2-4=0，-36k2+4(y0-kx0)2-4=0,（-9）k2-2x0y0k+4=0,所以 k 是方程（-9)x2-2x0y0 x+4=0（x03)的一个根，同理-是方程（9)x22x0y0 x+-4=0（x03)的另一个根,所以 k-=,得+=13,其中 x03,所以此时点 P 的轨迹方程为+=13(x03)。因为中 P 的坐标满足+=13,综上,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the 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