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2018 年上海市初中毕业统一学业考试 数学试卷（满分 150 分，考试时间 100 分钟）一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1（4 分）下列计算的结果是（）A4 B3 C2 D 2（4 分）下列对一元二次方程 x2+x3=0 根的情况的判断，正确的是（）A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根 C有且只有一个实数根 D没有实数根 3（4 分）下列对二次函数 y=x2x 的图象的描述，正确的是（）A开口向下 B对称轴是 y 轴 C经过原点 D在对称轴右侧部分是下降的 4（4 分）据统计，某住宅楼 30 户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）A25 和 30 B25 和 29 C28 和 30 D28 和 29 5（4 分）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）AA=B BA=C CAC=BD DABBC 6（4 分）如图，已知POQ=30，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长为 2 的A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是（）A5OB9 B4OB9 C3OB7 D2OB7 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7（4 分）8 的立方根是 8（4 分）计算：（a+1）2a2=9（4 分）方程组的解是 10（4 分）某商品原价为 a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是 元 （用含字母 a 的代数式表示）11（4 分）已知反比例函数y=（k 是常数，k1）的图象有一支在第二象限，那么 k 的取值范围是 12（4 分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200 名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么2030 元这个小组的组频率是 13（4 分）从，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 14（4 分）如果一次函数 y=kx+3（k 是常数，k0）的图象经过点（1，0），那么 y 的值随 x 的增大而 （填“增大”或“减小”）15（4 分）如图，已知平行四边形 ABCD，E 是边 BC 的中点，联结 DE 并延长，与 AB 的延长线交于点 F设=，=那么向量用向量、表示为 16（4 分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题 如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是 度 17（4 分）如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F分别在边 AB、AC 上如果 BC=4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 18（4 分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图 1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高 如图 2，菱形 ABCD 的边长为 1，边 AB 水平放置如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19（10 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 20（10 分）先化简，再求值：（），其中 a=21（10 分）如图，已知ABC 中，AB=BC=5，tanABC=（1）求边 AC 的长；（2）设边 BC 的垂直平分线与边AB 的交点为 D，求的值 22（10 分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程 x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500 千米时，司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？23（12 分）已知：如图，正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点 E、F（1）求证：EF=AEBE；（2）联结 BF，如课=求证：EF=EP 24（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中（如图）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（1，0）和点 B（0，），顶点为 C，点 D 在其对称轴上且位于点 C 下方，将线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点 P 处（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段 CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点 C 移到原点 O 的位置，这时点 P 落在点 E 的位置，如果点 M 在 y 轴上，且以 O、D、E、M 为顶点的四边形面积为 8，求点 M 的坐标 25（14 分）已知O 的直径 AB=2，弦 AC 与弦 BD 交于点 E且 ODAC，垂足为点 F （1）如图 1，如果 AC=BD，求弦 AC 的长；（2）如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求ABD 的余切值；（3）联结 BC、CD、DA，如果 BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边，求ACD 的面积 2018 年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1（4 分）下列计算的结果是（）A4 B3 C2 D【分析】先化简，再合并同类项即可求解【解答】解：=3=2 故选：C 2（4 分）下列对一元二次方程 x2+x3=0 根的情况的判断，正确的是（）A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根 C有且只有一个实数根 D没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=130，进而即可得出方程 x2+x3=0 有两个不相等的实数根【解答】解：a=1，b=1，c=3，=b24ac=124（1）（3）=130，方程 x2+x3=0 有两个不相等的实数根 故选：A 3（4 分）下列对二次函数 y=x2x 的图象的描述，正确的是（）A开口向下 B对称轴是 y 轴 C经过原点 D在对称轴右侧部分是下降的【分析】A、由 a=10，可得出抛物线开口向上，选项 A 不正确；B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线 x=，选项 B 不正确；C、代入 x=0 求出 y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项 C 正确；D、由 a=10 及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当 x时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确 综上即可得出结论【解答】解：A、a=10，抛物线开口向上，选项 A 不正确；B、=，抛物线的对称轴为直线 x=，选项 B 不正确；C、当 x=0 时，y=x2x=0，抛物线经过原点，选项 C 正确；D、a0，抛物线的对称轴为直线 x=，当 x时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确 故选：C 4（4 分）据统计，某住宅楼 30 户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）A25 和 30 B25 和 29 C28 和 30 D28 和 29【分析】根据中位数和众数的概念解答【解答】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是 28，这组数据的中位数是 28，在这组数据中，29 出现的次数最多，这组数据的众数是 29，故选：D 5（4 分）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）AA=B BA=C CAC=BD DABBC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案【解答】解：A、A=B，A+B=180，所以A=B=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、A=C 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确；D、ABBC，所以B=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B 6（4 分）如图，已知POQ=30，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长为 2 的A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是（）A5OB9 B4OB9 C3OB7 D2OB7【分析】作半径 AD，根据直角三角形 30 度角的性质得：OA=4，再确认B 与A相切时，OB 的长，可得结论【解答】解：设A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD，ADOP，O=30，AD=2，OA=4，当B 与A 相内切时，设切点为 C，如图 1，BC=3，OB=OA+AB=4+3 2=5；当A 与B 相外切时，设切点为 E，如图 2，OB=OA+AB=4+2+3=9，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是：5OB9，故选：A 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7（4 分）8 的立方根是 2 【分析】利用立方根的定义即可求解【解答】解：（2）3=8，8 的立方根是2 故答案为：2 8（4 分）计算：（a+1）2a2=2a+1 【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果【解答】解：原式=a2+2a+1a2=2a+1，故答案为：2a+1 9（4 分）方程组的解是，【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出 y 即可 【解答】解：+得：x2+x=2，解得：x=2 或 1，把 x=2 代入得：y=2，把 x=1 代入得：y=1，所以原方程组的解为，故答案为：，10（4 分）某商品原价为 a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是 0.8a 元（用含字母a 的代数式表示）【分析】根据实际售价=原价即可得【解答】解：根据题意知售价为0.8a元，故答案为：0.8a 11（4 分）已知反比例函数y=（k 是常数，k1）的图象有一支在第二象限，那么 k 的取值范围是 k1 【分析】由于在反比例函数 y=的图象有一支在第二象限，故 k10，求出k 的取值范围即可【解答】解：反比例函数 y=的图象有一支在第二象限，k10，解得 k1 故答案为：k1 12（4 分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200 名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么2030 元这个小组的组频率 是 0.25 【分析】根据“频率=频数总数”即可得【解答】解：2030 元这个小组的组频率是 50200=0.25，故答案为：0.25 13（4 分）从，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 【分析】由题意可得共有 3 种等可能的结果，其中无理数有、共 2 种情况，则可利用概率公式求解【解答】解：在，这三个数中，无理数有，这 2 个，选出的这个数是无理数的概率为，故答案为：14（4 分）如果一次函数 y=kx+3（k 是常数，k0）的图象经过点（1，0），那么 y 的值随 x 的增大而 减小 （填“增大”或“减小”）【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 k 值，再利用一次函数的性质即可得出结论【解答】解：一次函数 y=kx+3（k 是常数，k0）的图象经过点（1，0），0=k+3，k=3，y 的值随 x 的增大而减小 故答案为：减小 15（4 分）如图，已知平行四边形 ABCD，E 是边 BC 的中点，联结 DE 并延长，与 AB 的延长线交于点 F 设=，=那么向量用向量、表示为+2 【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形 DBFC 是平行四边形，则 DC=BF，故 AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答【解答】解：如图，连接 BD，FC，四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB，DC=AB DCEFBE 又 E 是边 BC 的中点，=，EC=BE，即点 E 是 DF 的中点，四边形 DBFC 是平行四边形，DC=BF，故 AF=2AB=2DC，=+=+2=+2 故答案是：+2 16（4 分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题 如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是 540 度 【分析】利根据题意得到 2 条对角线将多边形分割为 3 个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，则将多边形分割为 3 个三角形 所以该多边形的内角和是 3180=540 故答案为 540 17（4 分）如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F分别在边 AB、AC 上如果 BC=4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 【分析】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出 AH=3，设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3 x，再证明AGFABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于 x 的方程即可【解答】解：作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，ABC 的面积是 6，BCAH=6，AH=3，设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3 x，GFBC，AGFABC，=，即=，解得 x=，即正方形 DEFG 的边长为 故答案为 18（4 分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图 1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高 如图 2，菱形 ABCD 的边长为 1，边 AB 水平放置如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是 【分析】先根据要求画图，设矩形的宽 AF=x，则 CF=x，根据勾股定理列方程可得结论【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设 AF=x，则 CF=x，在 RtCBF 中，CB=1，BF=x1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，解得：x=或 0（舍），即它的宽的值是，故答案为：三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19（10 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集【解答】解：解不等式得：x1，解不等式得：x3，则不等式组的解集是：1x3，不等式组的解集在数轴上表示为：20（10 分）先化简，再求值：（），其中 a=【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得【解答】解：原式=，当 a=时，原式=52 21（10 分）如图，已知ABC 中，AB=BC=5，tanABC=（1）求边 AC 的长；（2）设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求的值 【分析】（1）过 A 作 AEBC，在直角三角形 ABE 中，利用锐角三角函数定义求出 AC 的长即可；（2）由 DF 垂直平分 BC，求出 BF 的长，利用锐角三角函数定义求出DF 的长，利用勾股定理求出BD 的长，进而求出AD 的长，即可求出所求【解答】解：（1）作 A 作 AEBC，在 RtABE 中，tanABC=，AB=5，AE=3，BE=4，CE=BCBE=54=1，在 RtAEC 中，根据勾股定理得：AC=；（2）DF 垂直平分 BC，BD=CD，BF=CF=，tanDBF=，DF=，在 RtBFD 中，根据勾股定理得：BD=，AD=5=，则=22（10 分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程 x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500 千米时，司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为 5 升时行驶的路程，此题得解【解答】解：（1）设该一次函数解析式为 y=kx+b，将（150，45）、（0，60）代入 y=kx+b 中，解得：，该一次函数解析式为 y=x+60（2）当 y=x+60=8 时，解得 x=520 即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升 530520=10 千米，油箱中的剩余油量为 8 升时，距离加油站 10 千米 在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是 10 千米 23（12 分）已知：如图，正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点 E、F（1）求证：EF=AEBE；（2）联结 BF，如课=求证：EF=EP 【分析】（1）利用正方形的性质得 AB=AD，BAD=90，根据等角的余角相等得到1=3，则可判断ABEDAF，则 BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和 AF=BE 得到=，则可判定 RtBEFRtDFA，所以4=3，再证明4=5，然后根据等腰三角形的性质可判断 EF=EP【解答】证明：（1）四边形 ABCD 为正方形，AB=AD，BAD=90，BEAP，DFAP，BEA=AFD=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE 和DAF 中，ABEDAF，BE=AF，EF=AEAF=AEBE；（2）如图，=，而 AF=BE，=，=，RtBEFRtDFA，4=3，而1=3，4=1，5=1，4=5，即 BE 平分FBP，而 BEEP，EF=EP 24（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中（如图）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（1，0）和点 B（0，），顶点为 C，点 D 在其对称轴上且位于点 C 下方，将线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点 P 处（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段 CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点 C 移到原点 O 的位置，这时点 P 落在点 E 的位置，如果点 M 在 y 轴上，且以 O、D、E、M 为顶点的四边形面积为 8，求点 M 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到 y=（x2）2+，则根据二次函数的性质得到 C 点坐标和抛物线的对称轴为直线 x=2，如图，设 CD=t，则 D（2，t），根据旋转性质得PDC=90，DP=DC=t，则 P（2+t，t），然后把 P（2+t，t）代入y=x2+2x+得到关于 t 的方程，从而解方程可得到 CD 的长；（3）P 点坐标为（4，），D 点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定 E点坐标为（2，2），设 M（0，m），当 m0 时，利用梯形面积公式得到（m+2）2=8 当 m0 时，利用梯形面积公式得到（m+2）2=8，然后分别解方程求出 m 即可得到对应的 M 点坐标【解答】解：（1）把 A（1，0）和点 B（0，）代入 y=x2+bx+c 得，解得，抛物线解析式为 y=x2+2x+；（2）y=（x2）2+，C（2，），抛物线的对称轴为直线 x=2，如图，设 CD=t，则 D（2，t），线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点 P 处，PDC=90，DP=DC=t，P（2+t，t），把 P（2+t，t）代入 y=x2+2x+得（2+t）2+2（2+t）+=t，整理得 t22t=0，解得 t1=0（舍去），t2=2，线段 CD 的长为 2；（3）P 点坐标为（4，），D 点坐标为（2，），抛物线平移，使其顶点 C（2，）移到原点 O 的位置，抛物线向左平移 2 个单位，向下平移个单位，而 P 点（4，）向左平移 2 个单位，向下平移个单位得到点 E，E 点坐标为（2，2），设 M（0，m），当 m0 时，（m+2）2=8，解得 m=，此时 M 点坐标为（0，）；当 m0 时，（m+2）2=8，解得 m=，此时 M 点坐标为（0，）；综上所述，M 点的坐标为（0，）或（0，）25（14 分）已知O 的直径 AB=2，弦 AC 与弦 BD 交于点 E且 ODAC，垂足为点 F （1）如图 1，如果 AC=BD，求弦 AC 的长；（2）如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求ABD 的余切值；（3）联结 BC、CD、DA，如果 BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接 正（n+4）边形的一边，求ACD 的面积【分析】（1）由 AC=BD 知+=+，得=，根据 ODAC 知=，从而得=，即可知AOD=DOC=BOC=60，利用 AF=AOsinAOF 可得答案；（2）连接 BC，设 OF=t，证 OF 为ABC 中位线及DEFBEC 得 BC=DF=2t，由DF=1t 可得 t=，即可知 BC=DF=，继而求得 EF=AC=，由余切函数定义可得答案；（3）先求出 BC、CD、AD 所对圆心角度数，从而求得 BC=AD=、OF=，从而根据三角形面积公式计算可得【解答】解：（1）ODAC，=，AFO=90，又AC=BD，=，即+=+，=，=，AOD=DOC=BOC=60，AB=2，AO=BO=1，AF=AOsin AOF=1=，则 AC=2AF=；（2）如图 1，连接 BC，AB 为直径，ODAC，AFO=C=90，ODBC，D=EBC，DE=BE、DEF=BEC，DEFBEC（ASA），BC=DF、EC=EF，又AO=OB，OF 是ABC 的中位线，设 OF=t，则 BC=DF=2t，DF=DOOF=1t，1t=2t，解得：t=，则 DF=BC=、AC=，EF=FC=AC=，OB=OD，ABD=D，则 cotABD=cotD=；（3）如图 2，BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边，BOC=、AOD=COD=，则+2=180，解得：n=4，BOC=90、AOD=COD=45，BC=AC=，AFO=90，OF=AOcosAOF=，则 DF=ODOF=1，SACD=ACDF=（1）=