三年高考高考数学试题分项版解析-专题20-圆锥曲线的综合问题-文.pdf

三年高考高考数学试题分项版解析-专题20-圆锥曲线的综合问题-文-作者:_ -日期:_ 2 专题 20 圆锥曲线的综合问题 文 1.定值与最值及 范围问题 掌握与圆锥曲线有关的最值、定值、参数范围问题 掌握 解答题 2.存在性问题 了解并掌握与圆锥曲线有关的存在性问题 掌握 解答题 分析解读 1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为 12 分,难度偏大.2018 年高考全景展示 1【2018 年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若，则点A的横坐标为_【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.3 点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.2【2018 年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上 （）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（）若P是半椭圆x2+=1(xb0)的离心率为22,椭圆C截直线y=1 所得线段的长度为2 2.()求椭圆C的方程；()动直线l:y=kx+m(m0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,圆N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与圆N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.【答案】()22142xy;()EDF的最小值为2.【解析】8 试题分析：()22ca得所2ab,由椭圆C截直线y=1 所得线段的长度为2 2得,2222aab,求得椭圆的方程为22142xy；()（2 由2224xyykxm,解得222(21)4240kxkxm,确定222(,)21 21kmmDkk,42223221mDNkkk,所以242212sin221ONkFDNDNkk,由此可得FDN的最小值为,4EDF的最小值为2.（）设1122(,),(,)A x yB xy，联立方程2224ykxmxy 得222(21)4240kxkmxm，由0 得2242mk （*）且122421kmxxk，因此122221myyk，所以222(,)21 21kmmDkk，又(0,)Nm，所以222222()()2121kmmNDmkk 9 整理得：2242224(1 3)(21)mkkNDk，因为NFm 所以2422222224(31)831(21)(21)NDkkkkkNF 令283,3tkt 故21214tk 所以2221616111(1)2NDttNFtt .故12NDNF，设2EDF，则1sin2NFND，所以得最小值为6.从而EDF的最小值为3，此时直线l的斜率时0.10 综上所述：当0k，(2,0)(0,2)m 时，EDF取得最小值为3.【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题常见解法：几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解 2.【2017 天津，文 20】已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为,()0Fc，右顶点为A，点E的坐标为(0,)c，EFA的面积为22b.（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，3|2FQc，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PMQN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程.【答案】（）12（）（）34（）2211612xy【解析】试题分析：（）根据图象分析出21()22bca c，再结合222bac，求得离心率；（）（）首先设直线FP的方程是xmyc，再写出直线AE的方程，方程联立得到点Q的坐标，根据32FQc得到m的值，求得直线的斜率；（）直线FP的方程和椭圆方程联立，11 求得点P的坐标，再求,FPFQc，确定直线PM和QN都垂直于直线FP，根据平面几何关系求面积，求c，解椭圆方程.（）（）依题意，设直线FP的方程为(0)xmyc m，则直线FP的斜率为1m.由（）知2ac，可得直线AE的方程为12xycc，即220 xyc，与直线FP的方程联立，可解得(22)3,22mccxymm，即点Q的坐标为(22)3(,)22mccmm.由已知|FQ|=32c，有222(22)33()()222mccccmm，整理得2340mm，所以43m，即直线FP的斜率为34.12【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用,a b c e的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大 3.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线2xy，点A1 1()2 4，3 9()2 4B，抛物线上的点)2321)(,(xyxP过点B作直线AP的垂线，垂足为Q （）求直线AP斜率的取值范围；（）求|PQPA 的最大值【答案】（）)1,1(；（）2716【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得AP的斜率为21x，由1322x，得AP斜率的取值范围；（）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达|PA与|PQ的长度，通过函数3)1)(1()(kkkf求解|PQPA 的最大值 13 （）联立直线AP与BQ的方程 110,24930,42kxykxkyk 解得点Q的横坐标是)1(23422kkkxQ，因为|PA|=211()2kx=)1(12kk|PQ|=1)1)(1()(1222kkkxxkQ，所以|PA|PQ|=3)1)(1(kk 令3)1)(1()(kkkf，因为2)1)(24()(kkkf，所以 f(k)在区间)21,1(上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k=12时，|PQPA 取得最大值2716 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达|PA与|PQ的长度，通过函数3)1)(1()(kkkf求解|PQPA 的最大值 2016年高考全景展示 1.【2016高考山东文数】(本小题满分14 分)已知椭圆C:（ab0）的长轴长为4，焦距为2.（I）求椭圆C的方程；14 ()过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k，证明 为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.【答案】()22142xy.()(i)见解析；(ii)直线 AB 的斜率的最小值为62.【解析】试题分析：()分别计算,a b即得.()(i)设0000,0,0P x yxy，利用对称点可得00,2,2.P xm Q xm 得到直线PM的斜率，直线 QM的斜率，即可证得.(ii)设1122,A x yB x y，分别将直线 PA的方程ykxm，直线 QB 的方程3ykxm 与椭圆方程 22142xy联立，应用一元二次方程根与系数的关系得到21xx、21yy及ABk用k表示的式子，进一步应用基本不等式即得.15 ()(i)设0000,0,0P x yxy，由0,Mm，可得00,2,2.P xm Q xm 所以 直线PM的斜率002mmmkxx，直线QM的斜率0023mmmkxx.此时3kk，所以kk为定值3.(ii)设1122,A x yB x y，直线PA的方程为ykxm，直线 QB 的方程为3ykxm.联立 22142ykxmxy，整理得222214240kxmkxm.由20 122421mx xk可得21202221mxkx，所以211202221k mykxmmkx，16 由00,0mx，可知0k，所以162 6kk，等号当且仅当66k 时取得.此时2664 8mm，即147m，符号题意.所以直线 AB 的斜率的最小值为62.考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,a b c e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.2.【2016 高考天津文数】（设椭圆13222yax（3a）的右焦点为F，右顶点为A，已知|3|1|1FAeOAOF，其中O 为原点，e为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若HFBF，且MAOMOA，求直线的l斜率.17【答案】（）22143xy（）64【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由113|cOFOAFA，得113()ccaa ac，再利用2223acb，可解得21c，24a（）先化简条件：MOAMAO|MAMO，即 M 再 OA 中垂线上，1Mx，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求 H，最后根据HFBF，列等量关系解出直线斜率.（2）设直线的斜率为(0)k k，则直线l的方程为(2)yk x，设(,)BBB xy，由方程组221,43(2),xyyk x 消去y，整理得2222(43)1616120kxk xk，解得2x 或228643kxk，由题意得228643Bkxk，从而21243Bkyk，由（1）知(1,0)F，设(0,)HHy，有(1,)HFHy，2229412(,)43 43kkBFkk，由BFHF，得0BF HF，所以222124904343Hkykkk，解得29412Hkyk，因此直线MH的方程为219412kyxkk，18 设(,)MMM xy，由方程组2194,12(2),kyxkkyk x 消去y，得2220912(1)Mkxk，在MAO中，MOAMAO|MAMO，即2222(2)MMMMxyxy，化简得1Mx，即22209112(1)kk，解得64k 或64k，所以直线l的斜率为64k 或64k.考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型 3.【2016 高考四川文科】（本小题满分 13 分）已知椭圆E：22221(0)xyabab的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3,)2P在椭圆E上.()求椭圆E的方程；()设不过原点O且斜率为12 的直线l与椭圆E 交于不同的两点A，B，线段 AB 的中点为M，直线 OM 与椭圆E 交于 C，D，证明：MA MBMCMD【答案】（1）2214xy；（2）证明详见解析.【解析】19 试题分析：（）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得2ab，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用1(3,)2P在椭圆上，可解出b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（）首先设出直线l方程为12yxm，同时设交点1122(,),(,)A x yB xy，把l方程与椭圆方程联立后消去y得x的二次方程，利用根与系数关系，得1212,xxx x，由MA MB214AB求得MA MB（用m表示），由OM方程12yx 具体地得出,C D坐标，也可计算出MCMD，从而证得相等 试题解析：（I）由已知，a=2b.又椭圆22221(0)xyabab过点1(3,)2P，故2213414bb，解得21b.所以椭圆E的方程是2214xy.20 考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为1122(,),(,)x yxy，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,xxx x，再把MA MB用12,x x表示出来，并代入刚才的1212,xxx x，这种方法是解析几何中的“设而不求”法可减少计算量，简化解题过程 21 4.【2016 高考新课标 1 文数】（本小题满分 12 分）在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C：22(0)ypx p于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求OHON；（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I）2（II）没有【解答】试题分析：先确定),(2tptN,ON的方程为xtpy,代入pxy22整理得0222xtpx,解得01x,ptx222,得)2,2(2tptH,由此可得N为OH的中点,即2|ONOH.（II）把直线MH的方程xtpty2,与pxy22联立得04422ttyy,解得tyy221,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.（）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线MH的方程为xtpty2,即)(2typtx.代入pxy22得04422ttyy,解得tyy221,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.22 考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.-THE END,THERE IS NO TXT FOLLOWING.-