【精选】100教育：2015高考试题——理数(北京卷)含答案.pdf
.2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学理 北京卷 本试卷共 5 页，150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回 第一局部选择题共 40 分 一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1复数i 2i A12i B12i C12i D12i 2假设x，y满足010 xyxyx，那么2zxy的最大值为 A0 B1 C32 D2 3执行如下图的程序框图，输出的结果为 A22，B40，C44，D08，开始x=1，y=1，k=0s=x-y，t=x+yx=s，y=tk=k+1k3输出(x，y)结束是否 4设，是两个不同的平面，m是直线且m“m是“的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件.C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的外表积是 正(主)视图11俯视图侧(左)视图21 A25 B45 C22 5 D5 6设 na是等差数列.以下结论中正确的选项是 A 假设120aa，那么230aa B 假设130aa，那么120aa C假设120aa，那么213aa a D假设10a，那么21230aaaa 7如图，函数 f x的图像为折线ACB，那么不等式 2log1f xx的解集是 ABOxy-122C A|10 xx B|11xx C|11xx D|12xx 8汽车的“燃油效率是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，以下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.以下表达中正确的选项是.A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以一样速度行驶一样路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时.一样条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二局部非选择题 共 110 分 二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 9在52x的展开式中，3x的系数为 用数字作答 10双曲线22210 xyaa的一条渐近线为30 xy，那么a 11在极坐标系中，点23到直线cos3sin6的距离为 12在ABC中，4a，5b，6c，那么sin2sinAC 13 在ABC中，点M，N满足2AMMC，BNNC 假设MNxAByAC，那么x ；y 14设函数 21421.xaxf xxaxax 假设1a，那么 f x的最小值为 ；假设 f x恰有 2 个零点，那么实数a的取值范围是 三、解答题共 6 小题，共 80 分解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分.函数2()2sincos2sin222xxxf x ()求()f x的最小正周期；()求()f x在区间 0，上的最小值 16 本小题 13 分 A，B两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间单位：天记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选 1 人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙()求甲的康复时间不少于 14 天的概率；()如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；()当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？结论不要求证明 17 本小题 14 分 如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF 平面EFCB，EFBC，4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点()求证：AOBE；()求二面角FAEB的余弦值；()假设BE 平面AOC，求a的值 OFECBA 18 本小题 13 分 函数 1ln1xf xx 求曲线 yf x在点 00f，处的切线方程；求证：当0 1x，时，323xf xx；.设实数k使得 33xf xk x对0 1x，恒成立，求k的最大值 19 本小题 14 分 椭圆C：222210 xyabab的离心率为22，点0 1P，和点A mn，0m都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M 求椭圆C的方程，并求点M的坐标用m，n表示；设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？假设存在，求点Q的坐标；假设不存在，说明理由 20 本小题 13 分 数列 na满足：*1a N，136a，且121823618nnnnnaaaaa，1 2n ，记集合*|nManN 假设16a，写出集合M的所有元素；假设集合M存在一个元素是 3 的倍数，证明：M的所有元素都是 3 的倍数；求集合M的元素个数的最大值 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.=1049 a=11 或 a=18 17 本小题 14 分 解：I因为AEF 是等边三角形，O 为 EF 的中点，所以 AOEF.又因为平面 AEF平面 EFCB，AO平面 AEF，所以 AO平面 EFCB.所以 AOBE.取 BC 中点 G，连接 OG.由题设知 EFCB 是等腰梯形，所以 OGEF.由I知 AO平面 EFCB 又 OG平面 EFCB，所以 OAOG.如图建立空间直角坐标系 O-xyz，那么 Ea,0,0，A0，0，3a，B2，32-a，0，EA=-a，0，3a，BE=a-2，3a-2,0.设平面 ABE 的法向量为 n=x,y,z 那么：n0?n0?EABE即 30?(2)3(2)0axazaxay 令 z=1，那么 x=3，y=-1.于是 n=3，-1,1 平面 AEF 是法向量为 p=0,1,0 所以 cosn，p=n pn p=55.由题知二维角 F-AE-B 为钝角，所以它的余弦值为55 因为 BE平面 AOC，所以 BEOC，即0BE OC.因为BE=a-2，3a-2，0，OC=-2，32-a，0，所以BE OC=-2a-2-32(2)a.由0BE OC及 0a00 x(0)g=0，x0，1，即当 x0，1时，()f x2(x+33x).由知，当 k?2 时，()f xk(x+33x)对 x0，1恒成立.当 k2 时，令()h x=()f x-k(x+33x)，那么 ()h x=()fx-k1+2x=4221kxkx.所以当420kxk时，()h x0，因此()h x在区间0，42kk上单调递减.当420kxk时，()h x(0)h=0，即()f x2 时，()f x k(x+33x)并非对 x0，1恒成立.综上可知，k 的最大值为 2。19 本小题 14 分.解：由题意得2221,2,2.bcaabc解得2a=2.故椭圆 C 的方程为2212xy 设 Mmx，0.因为 m0，所以-1n1，因为ka=21ka或ka=21ka-36，所以 21ka是 3 的倍数，于是1ka是 3 的.倍数，；类似可得，2ka，1a都是 3 的倍数，从而对任意1n，na是 3 的倍数，因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.综上，假设集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，那么 M 的所有元素都是 3 的倍数.由36a，11112,18,236,18nnnnnaaaaa可归纳证明36(2,3.)nan.由于1a是正整数，112112,18,236,18,a aaaa所以2a是 2 的倍数.从而当3n 时，na是 4 的倍数.如果1a是 3 的倍数，由知对所有正整数 n，na是 3 的倍数.因此当3n 时，12,24,36na.这时 M 的元素个数不超过 5.如果1a不是 3 的倍数，由知所有正整数 n，na不是 3 的倍数.因此当3n 时4,8,16,20,28,32na.这时 M 的元素个数不超过 8.当1a=1 时，1,2,4,8,16,20,28,32M 有 8 个元素.综上可知，集合 M 的元素个数最大值为 8.
