江苏省苏州市五校2020届高三12月月考数学文.pdf
江苏省苏州市五校 2020 届高三 12 月月考 数 学（理）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上）1.已知，则 2.若复数，则复数 的模=3.某市有中外合资企业 160 家，私营企业 320 家，国有企业 240 家，其他性质的企业 80 家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这 800 家企业中抽取一个容量为 的样本，已知从国有企业中抽取了 12 家，那么=4.函数的定义域是 5.如右图所示的流程图的运行结果是 6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生 3 人，男生 2 人，现 从中任选 2 名学生去参加校演讲比赛,则参赛学生恰好为 1 名男生和 1 名女生的概率是 7.在平面直角坐标系中，直线为双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 8.已知，则的值为 9.设公比不为 1 的等比数列满足,且成等差数列，则数列的前 4 项和为 10.曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数 的值为 11.已知20ab，且1ab，则242abb的最小值为 12.已知直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数 13.已知平面向量a，b，c满足，a，b的夹角等于，且()()0acbc，则c的取值范围是 14.关于x的方程1|ln|2xax有 3 个不同的实数解，则实数a的取值范围为 二、解答题：（本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.（本小题满分 14 分）在三角形ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，若3sin5A，1tan()3AB，角C为钝角，5b（1）求sinB的值；（2）求边c的长 16.（本小题满分 14 分）如图所示，在三棱柱111ABCABC中，11AA B B为正方形，11BBC C是菱形，平面11AA B B 平面11BBC C（1）求证：/BC平面11AB C；（2）求证：1BC 1AC；CBC1B1A1A17（本小题满分 14 分）已知椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点23(,)22P右焦点为F（1）求椭圆E的方程；（2）设过右焦点为F的直线与椭圆交于 AB两点，且，求直线AB的方程 18（本小题满分 16 分）如图，两座建筑物CDAB,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是 10和 20，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角60CAD（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点(P点P与点CB,不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为,DPCAPB问点P在何处时，最小？19.（本小题满分 16 分）已知数列na、nb满足：1121141nnnnnbaabba，.（1）证明：11nb是等差数列，并求数列 nb的通项公式；（2）设1223341.nnnSa aa aa aa a，求实数a为何值时4nnaSb恒成立 A B D C P 20.（本小题满分 16 分）已知函数()lnxf xx（1）若曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线方程为2xya，求0 x的值；（2）当1x 时，求证：()lnf xx；（3）设函数()()lnF xf xbx，其中b为实常数，试讨论函数()F x的零点个数，并证明你的结论 数 学（正卷）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1.2.3.40 4.5.12 6.7.8.9.10.11.144 6 12.415 13.14.11 ln22a 二、解答题：（本大题共 6 小题,共 90 分）15.解：（1）因为角C为钝角，3sin5A，所以24cos1 sin5AA，2 分 又1tan()3AB，所以02AB，且13sin(),cos()1010ABAB，4 分 所以sinsin()sincos()cossin()BAABAABAAB6 分 3341155101010 8 分（2）因 为sin3 10sin5aAbB，且5b，所 以3 10a，10 分 又9coscos()coscossinsin5 10CABABAB ，12 分 则22292cos90252 3 105()1695 10cababC，所以13c 14 分 16.证明：在菱形11BBC C中，/BC.2 分 因为 平面11AB C，平面11AB C，所以/BC平面11AB C 6 分（2）连接 在正方形中，因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面 8 分 因为 平面，所以 10 分 在菱形中，因为 平面，平面，所以 平面 12 分 因为 平面，所以 14 分 17（1）解：因为22e，所以2ac，b=c，2 分 CBC1B1A1A设椭圆 E 的方程为222212xybb将点 P 的坐标代入得：213144b，4 分 所以，椭圆 E 的方程为2212xy 6 分（2）因为右焦点为 F（1,0），设直线AB的方程为：1xmy，代入椭圆中并化简得：22(2)210mymy，8 分 设1122(,),(,)A x yB xy，因为3AFFB，所以1122(1,)3(1,)xyxy，即123yy，10 分 所以1222222myyym ，21222132yyym ，即22213()22mmm，解得21m，所以1m ，12 分 所以直线AB的方程为：10 xy 或10 xy 14 分 18解：（1）作AE CD，垂足为E，则10CE，10DE，设BCx，则22tantantan(2)1tanCAECADCAECAE22031001xx，2 分 化简得2320100 30 xx，解之得，10 3x 或103x （舍）6 分 答：BC的长度为10 3m 8 分 （2）设BPt，则10 3(010 3)CPtt，221020100 31010(10 3)10 3tan()102010 320010 3200110 3+tttttttttt 10 分 设210 3()10 3200+tf ttt，22220 3500()(10 3200)+ttfttt，令()0ft，因为010 3t，得20 210 3t，12 分 当(0,20 210 3)t时，()0ft，()f t是减函数；当(20 210 3,10 3)t时，()0ft，()f t是增函数，所以，当20 210 3t 时，()f t取得最小值，即tan()+取得最小值，14 分 因为210 32000+tt恒成立，所以()0f t，所以tan()0+，(,)2+，因为tanyx在(,)2上是增函数，所以当20 210 3t 时，+取得最小值 答：当BP为20 210 3t cm时，+取得最小值16 分 19.解：（1）11(1)(1)(2)2nnnnnnnnbbbaabbb，2 分 11112nnbb 12111111nnnnbbbb 数列11nb 是以4 为首项，1 为公差的等差数列4 分 14(1)31nnnb ，12133nnbnn 6 分（2）113nnabn 8 分 12231111114 55 6(3)(4)444(4)nnnnSa aa aa annnn 10 分 22(1)(36)8443(3)(4)nnannananaSbnnnn 12 分 由条件可知2(1)(36)80anan恒成立即可满足条件，设2()(1)3(2)8f nanan，当1a 时，()380f nn 恒成立,13 分 当1a 时，由二次函数的性质知不可能成立14 分 当1a 时，对称轴3231(1)02121aaa，f(n)在1,)为单调递减函数 (1)(1)(36)84150faaa，154a，a1 时4naSb恒成立 15 分 综上知：1a 时，4naSb恒成立 16 分 20（1）解：2ln1()lnxfxx 2 分 所以过点00(,()xf x的切线方程为2xya，所以020ln12lnxx，解得0 xe或01xe 4 分（2）证明：即证2lnxx，因为1x，所以即证lnxx，设()ln(1)g xxx x，则112()22xg xxxx 令()0g x，解得4x 6 分 x(1,4)4(4,)()g x 0 ()g x 减 极小2 ln4 增 所以 当4x 时，()g x取得最小值2ln 40 8 分 所以当1x 时，()lnf xx 9 分（3）解：()0F x 等价于()ln0f xbx，等价于21ln xbx，0 x 且1x 10 分 令2ln()xH xx，则222lnln()xxH xx 令222lnln()0 xxH xx，得1x 或2xe，11 分 x(0,1)1 2(1,)e 2e 2(,)e()H x 0 0 ()H x 减 极小0 增 极大24e 减 12 分（I）当0b 时，()0H x，所以()H x无零点，即 F(x)定义域内无零点 13 分（II）当214be即204eb时，若(0,1)x，因为1(1)0Hb，11121ln11()bbbbeH eebbe，所以在(0,1)只有一个零点，而当1x 时，241()H xeb，所以 F(x)只有一个零点；14 分（）当214be即24eb 时，由（II）知在(0,1)只有一个零点，且当2xe时，2241()H eeb，所以 F(x)恰好有两个零点；15 分（）当2140be即24eb 时，由（II）、（）知在(0,1)只有一个零点，在2(1,)e只有一个零点，在2(,)e时，因为223222ln1 4()bbbbebH eeb e，只要比较2be与34b的大小，即只要比较2b与ln 43ln b的大小，令()2ln 43lnT bbb，因为3()2T bb，因为2140be，所以223212()20eT bbe，所以2222()()ln43ln62ln404242eeeeT bT，即2be34b，所以3221 41()bbbH eb eb，即在2(,)e也只有一解，所以 F(x)有三个零点；16 分 综上所述：当0b时，函数 F(x)的零点个数为 0；当2e04b时，函数 F(x)的零点个数为 1；当2e4b 时，函数 F(x)的零点个数为 2；当2e4b 时，函数 F(x)的零点个数为 3
