(名师导学)2020版高考数学总复习第四章三角函数、平面向量与复数第31讲复数练习文(含解析)新人教.pdf

第 31 讲 复 数 夯实基础【p71】【学习目标】1理解复数的有关概念，以及复数相等的充要条件 2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算 3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义【基础检测】1设 i 为虚数单位，则(1i)4（）A4 B4 C4i D4i【解析】(1i）4(2i)24，选 A。【答案】A 2已知复数 z错误!(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为()A1 B0 C1 Di【解析】因为 z错误!错误!错误!,故虚部为 1。故选 C.【答案】C 3已知复数 zxyi(x，yR)，若 1ix(y1)i，则z（)A2 B.错误!C。错误!D5【解析】由复数相等的充分必要条件有：错误!即错误!则z12i，|z1222错误!。故选 C.【答案】C 4已知 i 是虚数单位，复数错误!是z的共轭复数，复数z错误!3i1，则下面说法正确的是(）Az在复平面内对应的点落在第四象限 B.错误!22i C。错误!的虚部为 1 D。错误!2【解析】复数z错误!3i1错误!3i1i13i122i，则z在复平面内对应的点(2，2）落在第二象限，错误!22i，错误!错误!错误!1i，其虚部为 1，错误!错误!.因此只有 C 正确 故选 C。【答案】C【知识要点】1复数的概念 （1)复数:我们把集合 Cabi|a，bR中的数，即形如abi(a，bR)的数叫作_复数_，其中 i 叫作_虚数单位_，全体复数所构成的集合 C 叫作_复数集_ (2）复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)这一表示形式叫作复数的_代数形式_，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部（3)复数的相等：复数z1abi 与z2cdi 相等的充要条件是_ac且bd_,即abicdiac且bd.(4)复数的分类：对于复数abi，当且仅当_b0_时，它是实数;当且仅当_ab0_时，它是实数 0；当b0 时，叫作_虚数_；当a0 且b0 时，叫作_纯虚数_ 2复数的几何意义 (1）复平面:如图，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 zabi可用点 Z（a，b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x 轴叫实轴,y 轴叫虚轴显然，实轴上的点都表示实数，除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 （2)复数与点：复数集 C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即错误!,这是复数的一种几何意义(3）复数与向量：复数集 C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的（实数 0 与零向量对应),即 复数zabi错误!平面向量错误!(a，b），这是复数的另一种几何意义(如图所示)即有：(4)复数的模：向量错误!的模r叫作复数zabi 的_模_，记作|z|或abi.特别地,若b0，则zabia是_实数_,它的模为a（即a的绝对值）显然，z|abir_错误!_(r0，rR）3复数的加减法及其几何意义（1）复数的加法 法则：设 z1abi,z2cdi是任意两个复数，那么 z1z2(abi）（cdi)_（ac)(bd）i_，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数 运算律：z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，（z1z2）z3z1（z2z3）几何意义：设错误!，错误!分别与复数abi，cdi 对应,则有错误!(a,b），错误!(c,d），由平面向量的坐标运算，有错误!错误!(ac，bd），即错误!错误!是与复数(ac）（bd)i 对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义（2）复数的减法 法则:（abi）（cdi)_（ac)（bd)i_,显然,两个复数的差是一个确定的复数 减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示,错误!错误!_（ac，bd）_，即向量错误!错误!与复数_(ac）(bd)i_对应 (3)对于复数z而言，|z（abi）|r（r0)（其中aR，bR)表示复平面内复数z对应的点的轨迹为以(a，b）为圆心,r为半径的圆 4复数的乘除法（1)复数的乘法 法则:设 z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbciadibdi2_(acbd)(bcad)i_ 由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成1,并且把实部与虚部分别合并即可显然,两个复数的积仍是一个确定的复数 运算律：z1，z2,z3C，有：z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1（z2z3）z1z2z1z3。i 的运算律：特别地，i4n1i,i4n21,i4n3i，i4n41，其中nN。(2）共轭复数 定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数(实数的共轭复数是它本身）如abi 与abi 互为_共轭复数_ 复数z的共轭复数常记为z.几何意义：若z1与z2是共轭复数，那么在复平面内z1与z2对应的点关于实轴对称 运算:z1abi 与z2abi 是共轭复数,则 z1z2（abi)(abi)_a2b2_，显然，z1z2_z12z2|2_ 性质：|z1|z2。（3）复数的除法（abi)(cdi)错误!错误!_错误!错误!i_(c2d20）由此可见，两个复数相除(除数不为 0)，所得的商仍是一个确定的复数 对两个复数z1，z2，有错误!错误!.5常用结论：错误!i，错误!i，错误!i，（1i）22i。典 例 剖 析【p72】考点 1 复数的概念 错误!（1)设复数 z11i，z2i，其中 i 为虚数单位，则错误!的虚部为（)A1 B1 Ci Di【解析】错误!11i,错误!错误!1i，虚部为1,故选 A.【答案】A（2）若 z1（m2m1）（m2m4)i(mR），z232i，则“m1”是“z1z2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若z1z2，等价于错误!m2m20m2 或m1，“m1”“z1z2”但“z1z2/“m1”，“m1”是“z1z2”的充分不必要条件【答案】A（3)若复数错误!(aR）为纯虚数，则|3ai|(）A。错误!B13 C10 D.错误!【解析】由复数的运算法则有：错误!错误!错误!错误!i，复数错误!(aR)为纯虚数，则错误!即a2,|3ai|错误!错误!。故选 A。【答案】A【小结】复数的分类及对应点位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部、虚部满足的方程即可 考点 2 复数代数形式的运算 例2(1)已知 i 为虚数单位，复数 z错误!错误!i 的共轭复数为错误!，则错误!错误!_【解析】复数 z12错误!i 的共轭复数为错误!错误!错误!i。错误!错误!1。所以错误!错误!错误!错误!i.【答案】12错误!i（2)已知 i 是虚数单位，则错误!错误!错误!错误!_【解析】原式错误!错误!错误!错误!错误!错误!i6i1 010i6i42522i42i2i22。【答案】2【小结】复数的运算关键是两点:（1）i 的周期性；（2)除法中分母实数化即共轭复数性质 考点 3 复数的几何意义 错误!(1)在复平面内与复数 z错误!所对应的点关于虚轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为（)A1i B1i C1i D1i【解析】因为 z错误!1i，所以其在复平面内对应的点为(1，1），关于虚轴对称的点为 A(1，1)，故 A 对应的复数为1i。【答案】D(2)设复数 z 满足|z|1，则z2|的最小值为()A1 B2 C3 D4【解析】由题意,复数 z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,1 为半径的圆上,要求|z2|的最小值，只需找出圆上的点到点（2，0）的距离最小的点即可连接圆心（0，0)与点(2，0)，长度为2,故|z2min1。【答案】A(3）已知复数 zxyi(x，yR)，且z2错误!，则错误!的最大值是_;最小值是_ 【解析】|z2|错误!错误!，(x2）2y23.错误!表示过圆上的点(x，y)及(0，0)两点的直线斜率错误!.如图，当过（0,0）的直线与圆相切时取到斜率的最值，故错误!错误!错误!错误!，错误!错误!错误!。【答案】3 错误!【小结】研究复数模的问题,可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解 考点 4 在复数集中的方程问题 错误!(1)设复数 z 满足 z(1i）24i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数为_【解析】因为 z错误!错误!(12i)(1i)3i,所以复数 z 的共轭复数为 3i。【答案】3i(2)已知复数 z112i，z21i，z334i,它们在复平面上对应的点分别为 A,B，C，若错误!错误!错误!（，R），则的值是_【解析】由条件得错误!（3，4），错误!(1，2)，错误!（1，1)，根据错误!错误!错误!得（3,4）（1，2）（1，1)(，2），错误!解得错误!1.【答案】1(3）若z错误!(z1)(z1）|z|，则复数z_【解析】设zxyi（x，yR），则(xyi)(xyi）(x1）yi（x1）yi 错误!，x2y2(x21）y22yix2y2。根据复数相等的定义得错误!解得x1，y0.【答案】1【小结】利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想【能力提升】例 5 对任意复数 1，2，定义 1212，其中 2是 2的共轭复数对任意复数 z1，z2，z3有如下四个命题：(z1z2)z3(z1*z3)（z2z3）；z1（z2z3）（z1z2)(z1*z3)；（z1z2）*z3z1（z2*z3）；z1z2z2z1.则真命题的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】由题意得(z1z2）z3(z1z2）z3z1z3z2z3z1z3z2*z3,故正确;z1(z2z3)z1（z2z3）z1z2z1z3（z1z2)(z1*z3)，故正确；（z1z2)*z3z1z2 z3，而 z1(z2z3)z1z2z3，故错误；z1*z2z1z2，而 z2z1z2z1，故不正确故选 B.【答案】B【小结】复数与新定义问题结合，把握好新定义的结构特征是关键 方 法 总 结【p72】1利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法 2实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数 3复数问题几何化,利用复数、复数的模、复数运算的几何意义,转化条件和结论，有效利用数和形的结合,取得事半功倍的效果 走 进 高 考 【p72】1（2018全国卷)i(23i）()A32i B32i C32i D32i【解析】i(23i)2i3i232i，故选 D。【答案】D 2(2018全国卷)设 z1i1i2i，则z（)A0 B。错误!C1 D.错误!【解析】z错误!2i错误!2i错误!2ii，|z1。【答案】C 3(2018江苏）若复数 z 满足 iz12i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为_ 【解析】复数z错误!（12i）(i)2i 的实部是 2.【答案】2 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory 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