理论力学第12章动量矩定理.ppt

第十二章第十二章动量矩定理量矩定理主要内容主要内容12.1 12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理12.3 12.3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 12.4 12.4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量12.5 12.5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理12.6 12.6 刚体的平面运动刚体的平面运动微分方程微分方程 1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的动量恒等于零动量恒等于零，可见动量不能表征或度量这种运动。可见动量不能表征或度量这种运动。2 2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。响。前一章中讲的动量定理并不能完全描述出质点系的运动状态。前一章中讲的动量定理并不能完全描述出质点系的运动状态。因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。动量矩定理动量矩定理正是描述质点系相对于某一定点（或定轴）或质正是描述质点系相对于某一定点（或定轴）或质心的运动状态的理论心的运动状态的理论动量矩定理动量矩定理12.1 12.1 质点质点和质点系的动量矩和质点系的动量矩一、质点的动量矩一、质点的动量矩 设质点设质点 某瞬时的动量为某瞬时的动量为 ，质点相对点，质点相对点 的位置用矢径的位置用矢径 表示，如图表示，如图质点质点 的动量对点的动量对点 的矩，的矩，定义为质点对点定义为质点对点 的动量矩，的动量矩，即即以固定点以固定点 为原点建立直角坐标系为原点建立直角坐标系 ，质点，质点 的坐标为的坐标为 ，则矢径，则矢径 和质点速度和质点速度 的解析的解析投影式：投影式：质点对点质点对点 的动量矩可写为行列式形式：的动量矩可写为行列式形式：质点对某一固定点的动量矩是一个矢量，其方向垂直于由矢质点对某一固定点的动量矩是一个矢量，其方向垂直于由矢径径 和速度和速度 所确定的平面，其大小等于由矢径所确定的平面，其大小等于由矢径 和动量和动量 所构成的平行四边形的面积，指向由右手螺旋法则确定，且所构成的平行四边形的面积，指向由右手螺旋法则确定，且质点对某定点的动量矩是一个定位矢量，应当画在矩心质点对某定点的动量矩是一个定位矢量，应当画在矩心 上。上。12.1 12.1 质点质点和质点系的动量矩和质点系的动量矩质点对点质点对点 的动量矩投影到直角坐标轴上，根据矢量对点的的动量矩投影到直角坐标轴上，根据矢量对点的矩和对通过该点的轴的矩之间的关系可知，质点的动量对通矩和对通过该点的轴的矩之间的关系可知，质点的动量对通过过 点的各坐标轴的矩分别为：点的各坐标轴的矩分别为：动量对某一固定点的矩在经过该点的任一轴上的投影就等于动量对某一固定点的矩在经过该点的任一轴上的投影就等于动量对于该轴的动量矩动量对于该轴的动量矩 动量对轴的矩是一代数量，其符号的规定与力对轴的矩的符动量对轴的矩是一代数量，其符号的规定与力对轴的矩的符号的规定相同，在规定了轴的正向之后，可由右手螺旋法则号的规定相同，在规定了轴的正向之后，可由右手螺旋法则来确定其正方向。来确定其正方向。即即动量矩在国际单位制中的单位是动量矩在国际单位制中的单位是 或或 12.1 12.1 质点质点和质点系的动量矩和质点系的动量矩二、二、质点系的动量矩质点系的动量矩质点系中所有各质点的动量对某固定点质点系中所有各质点的动量对某固定点 的矩的矢量和称为该的矩的矢量和称为该质点系对质点系对 点的动量矩，即点的动量矩，即 质点系中所有各质点的动量对于任一轴的矩的代数和，称为质质点系中所有各质点的动量对于任一轴的矩的代数和，称为质点系对该轴的动量矩。质点系对点系对该轴的动量矩。质点系对 点的动量矩向通过点的动量矩向通过 点的直点的直角坐标系的各轴投影，即质点系对过角坐标系的各轴投影，即质点系对过 点的轴的动量矩点的轴的动量矩：且有且有 12.1 12.1 质点质点和质点系的动量矩和质点系的动量矩三、几种刚体的动量矩的计算三、几种刚体的动量矩的计算 1 1、平动刚体对某固定点的动量矩：、平动刚体对某固定点的动量矩：平动刚体的动量矩的计算与质点动量矩的计算公式相似，即平动刚体的动量矩的计算与质点动量矩的计算公式相似，即平动刚体在计算动量矩时，可以看成是一个质点，这个质点平动刚体在计算动量矩时，可以看成是一个质点，这个质点集中了平动刚体的全部质量，位于刚体的质心，且与刚体的集中了平动刚体的全部质量，位于刚体的质心，且与刚体的质心一起运动。质心一起运动。2 2、绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩：、绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩：令令 ，称为刚体对，称为刚体对 轴的轴的转动惯量转动惯量。于是于是绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩等于刚体的角速度与绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩等于刚体的角速度与刚体对该转动轴的转动惯量的乘积。刚体对该转动轴的转动惯量的乘积。12.1 12.1 质点质点和质点系的动量矩和质点系的动量矩12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理1 1、质点的动量矩定理、质点的动量矩定理 设质点对定点设质点对定点 的动量矩为的动量矩为 ，作用力，作用力 对同对同一点的矩为一点的矩为 ，如图，如图将动量矩对时间取一次导数，得将动量矩对时间取一次导数，得 根据质点的动量定理根据质点的动量定理 且且则上式写成则上式写成因为因为于是得于是得质点的动量矩定理质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。将上式投影到以矩心将上式投影到以矩心 为原点的直角坐标轴上，并注意到动量为原点的直角坐标轴上，并注意到动量及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，可得可得：2 2、质点系的动量矩定理、质点系的动量矩定理 设质点系内有设质点系内有 个质点，作用在每个质点的力分为内力个质点，作用在每个质点的力分为内力 和外力和外力 。根据质点的动量矩定理有。根据质点的动量矩定理有12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理这样的方程共有这样的方程共有 个，相加后得个，相加后得由于内力总是大小相等、方向相反成对出现，因此上式右端的由于内力总是大小相等、方向相反成对出现，因此上式右端的第一项第一项上式左端为上式左端为于是得于是得12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理质点系动量矩定理质点系动量矩定理：质点系对于某固定点：质点系对于某固定点 的动量矩对时间的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。应用时，取投影式应用时，取投影式必须指出，上述动量矩定理的表达形式只适用于对必须指出，上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点固定点或或固定轴固定轴。对于一般的动点或动轴，其动量矩定理具有较复杂。对于一般的动点或动轴，其动量矩定理具有较复杂的表达式。的表达式。3、动量矩守恒定律、动量矩守恒定律（1）若作用于质点的力对于某固定点的矩恒等于零，则质点）若作用于质点的力对于某固定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变，即对该点的动量矩保持不变，即（2）若作用于质点的力对于某固定轴的矩恒等于零，则质点）若作用于质点的力对于某固定轴的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即对该轴的动量矩保持不变，即12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理 动画动画12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理 动画动画12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理 动画动画12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理 动画动画12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理 动画动画12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理 动画动画12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理 动画动画12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题 12-1 12-1MM 高炉运送矿石用的卷高炉运送矿石用的卷高炉运送矿石用的卷高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮扬机如图所示。已知鼓轮扬机如图所示。已知鼓轮扬机如图所示。已知鼓轮的半径为的半径为的半径为的半径为R R，质量为，质量为，质量为，质量为m m1 1，轮，轮，轮，轮绕绕绕绕O O轴转动。小车和矿石总轴转动。小车和矿石总轴转动。小车和矿石总轴转动。小车和矿石总质量为质量为质量为质量为m m2 2 。作用在鼓轮上。作用在鼓轮上。作用在鼓轮上。作用在鼓轮上的力偶矩为的力偶矩为的力偶矩为的力偶矩为MM，鼓轮对转轴，鼓轮对转轴，鼓轮对转轴，鼓轮对转轴的转动贯量为的转动贯量为的转动贯量为的转动贯量为J J，轨道的倾，轨道的倾，轨道的倾，轨道的倾角为角为角为角为。设绳的质量和各处。设绳的质量和各处。设绳的质量和各处。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车摩擦均忽略不计，求小车摩擦均忽略不计，求小车摩擦均忽略不计，求小车的加速度的加速度的加速度的加速度a a。12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理MM例例例例 题题题题 12-1 12-1作用于质点系的外力除力偶作用于质点系的外力除力偶 、重力、重力 和和 外，尚有轴承外，尚有轴承 的反力的反力 和轨和轨道对小车的约束力道对小车的约束力 。其中其中 对对 轴力矩为零。将轴力矩为零。将 沿轨道及其垂直沿轨道及其垂直方向分解为方向分解为 和和 ，与与 相抵消。相抵消。解：解：取小车与鼓轮组成质点系，视小车为取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。以顺时针为正，此质点系对质点。以顺时针为正，此质点系对 轴的轴的动量矩为动量矩为而而 ，则系统外力对轴的矩为则系统外力对轴的矩为12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理由质点系对由质点系对由质点系对由质点系对O O轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有 因因因因 ，于是解得，于是解得，于是解得，于是解得 若若若若 ，则，则，则，则 ,小车的加速度沿斜坡向上。小车的加速度沿斜坡向上。小车的加速度沿斜坡向上。小车的加速度沿斜坡向上。例例例例 题题题题 12-1 12-1MM12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理试用动量矩定理导出单摆试用动量矩定理导出单摆试用动量矩定理导出单摆试用动量矩定理导出单摆(数学摆数学摆数学摆数学摆)的运动微分方程。的运动微分方程。的运动微分方程。的运动微分方程。例例例例 题题题题 12-2 12-2Ov vA 12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理解解解解：把把把把单单单单摆摆摆摆看看看看成成成成一一一一个个个个在在在在圆圆圆圆弧弧弧弧上上上上运运运运动动动动的的的的质质质质点点点点 A A，设设设设其其其其质质质质量量量量为为为为 m m，摆摆摆摆线线线线长长长长 l l。又又又又设设设设在在在在任任任任一一一一瞬瞬瞬瞬时时时时质质质质点点点点 A A 具有速度具有速度具有速度具有速度 v v ，摆线摆线摆线摆线 OA OA 与铅垂线的夹角是与铅垂线的夹角是与铅垂线的夹角是与铅垂线的夹角是 。通通通通过过过过悬悬悬悬点点点点 O O 而而而而垂垂垂垂直直直直于于于于运运运运动动动动平平平平面面面面的的的的固固固固定定定定轴轴轴轴 z z 作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理由于动量矩和力矩分别是由于动量矩和力矩分别是由于动量矩和力矩分别是由于动量矩和力矩分别是和和和和例例例例 题题题题 12-2 12-2Ov vA 12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理从而可得从而可得从而可得从而可得化简即得单摆的运动微分方程化简即得单摆的运动微分方程化简即得单摆的运动微分方程化简即得单摆的运动微分方程例例例例 题题题题 12-2 12-2Ov vA 12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理 小小小小球球球球A A，B B以以以以细细细细绳绳绳绳相相相相连连连连。质质质质量量量量皆皆皆皆为为为为m m，其其其其余余余余构构构构件件件件质质质质量量量量不不不不计计计计。忽忽忽忽略略略略摩摩摩摩擦擦擦擦，系系系系统统统统绕绕绕绕z z轴轴轴轴自自自自由由由由转转转转动动动动，初初初初始始始始时时时时系系系系统统统统的的的的角角角角速速速速度度度度为为为为 0 0。当当当当细细细细绳绳绳绳拉拉拉拉断断断断后后后后，求求求求各各各各杆杆杆杆与与与与铅铅铅铅垂垂垂垂线线线线成成成成 角时系统的角速度角时系统的角速度角时系统的角速度角时系统的角速度 。例例例例 题题题题 12-3 12-3z za aa al ll lA AB Bz za aa a l ll lA AB B12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理例例例例 题题题题 12-3 12-3运运 动动 演演 示示12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理解解解解:此系统所受的重力和轴承的约束此系统所受的重力和轴承的约束此系统所受的重力和轴承的约束此系统所受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩都等于零，因此系统力对于转轴的矩都等于零，因此系统力对于转轴的矩都等于零，因此系统力对于转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动量矩守恒。对于转轴的动量矩守恒。对于转轴的动量矩守恒。对于转轴的动量矩守恒。当当当当=0=0时，动量矩时，动量矩时，动量矩时，动量矩 当当当当 0 0 时，动量矩时，动量矩时，动量矩时，动量矩 因为因为因为因为 L Lz z1 1=L Lz z2 2 ，得，得，得，得 例例例例 题题题题 12-3 12-3z za aa al ll lA AB Bz za aa a l ll lA AB B12.2 12.2 动量矩定理动量矩定理12.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程 设定轴转动刚体上作用有主动力设定轴转动刚体上作用有主动力 和轴承约束力和轴承约束力 ，如图，这些力都是外力。，如图，这些力都是外力。刚体对于刚体对于 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 ，角速度为，角速度为 ，对于，对于 轴的动量矩为轴的动量矩为 。如果不计轴承中的摩擦，轴承约束力对于如果不计轴承中的摩擦，轴承约束力对于 轴的力矩等轴的力矩等于零，根据质点系对于于零，根据质点系对于 轴的动量矩定理有轴的动量矩定理有或或或或或或以上各式均称为以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程。刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度，刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度，即：即：转动惯量是刚体转动惯性的度量转动惯量是刚体转动惯性的度量。如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为R R，转动惯量为，转动惯量为，转动惯量为，转动惯量为J J，带动，带动，带动，带动滑轮的皮带拉力为滑轮的皮带拉力为滑轮的皮带拉力为滑轮的皮带拉力为F F1 1和和和和F F2 2。求滑轮的角加速度。求滑轮的角加速度。求滑轮的角加速度。求滑轮的角加速度 。R OF F1 1F F2 2例例例例 题题题题 12-4 12-412.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程解：解：解：解：根据刚体绕定轴的转动微分方根据刚体绕定轴的转动微分方根据刚体绕定轴的转动微分方根据刚体绕定轴的转动微分方程有程有程有程有于是得于是得于是得于是得 由上式可见，只有当定滑轮为匀速转由上式可见，只有当定滑轮为匀速转由上式可见，只有当定滑轮为匀速转由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但动（包括静止）或虽非匀速转动，但动（包括静止）或虽非匀速转动，但动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。轮的皮带拉力才是相等的。轮的皮带拉力才是相等的。轮的皮带拉力才是相等的。例例例例 题题题题 12-4 12-4R OF F1 1F F2 212.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程 复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是量是量是量是 m m，重心，重心，重心，重心 C C 到转轴到转轴到转轴到转轴 O O 的距离的距离的距离的距离 OCOC =b b，复摆对转轴，复摆对转轴，复摆对转轴，复摆对转轴 O O 的的的的转动惯量是转动惯量是转动惯量是转动惯量是J JO O ，设摆动开始时，设摆动开始时，设摆动开始时，设摆动开始时 OCOC 与铅直线的偏角是与铅直线的偏角是与铅直线的偏角是与铅直线的偏角是 0 0，且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不计。轴承摩擦和空气阻力不计。轴承摩擦和空气阻力不计。轴承摩擦和空气阻力不计。例例例例 题题题题 12-5 12-5OCb12.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程由此刚体绕定轴转动的微分方程有由此刚体绕定轴转动的微分方程有由此刚体绕定轴转动的微分方程有由此刚体绕定轴转动的微分方程有从而从而从而从而当复摆作微小摆动时，可令当复摆作微小摆动时，可令当复摆作微小摆动时，可令当复摆作微小摆动时，可令 sin sin 。于是上式经过线性化后，可。于是上式经过线性化后，可。于是上式经过线性化后，可。于是上式经过线性化后，可得复摆微幅摆动的微分方程得复摆微幅摆动的微分方程得复摆微幅摆动的微分方程得复摆微幅摆动的微分方程这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。例例例例 题题题题 12-5 12-5OCbF1F2m mg g解解解解:受力受力受力受力如图所示。设如图所示。设如图所示。设如图所示。设 角以逆时针方向为正。当小角以逆时针方向为正。当小角以逆时针方向为正。当小角以逆时针方向为正。当小 角为正角为正角为正角为正时，重力对点时，重力对点时，重力对点时，重力对点 之矩为负。之矩为负。之矩为负。之矩为负。12.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程则复摆运动规律可写成则复摆运动规律可写成则复摆运动规律可写成则复摆运动规律可写成摆动的频率摆动的频率摆动的频率摆动的频率 0 0 和周期和周期和周期和周期 T T 分别是分别是分别是分别是利用关系利用关系利用关系利用关系(b b)可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆可以测定刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动周期并用试验测出它的摆动周期并用试验测出它的摆动周期并用试验测出它的摆动周期T T，然后由，然后由，然后由，然后由(b b)式求得转动惯量式求得转动惯量式求得转动惯量式求得转动惯量考虑到复摆运动的初条件考虑到复摆运动的初条件考虑到复摆运动的初条件考虑到复摆运动的初条件:当当当当 t t=0=0时时时时例例例例 题题题题 12-5 12-5OCbF1F2m mg g12.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程 飞飞飞飞轮轮轮轮对对对对O O的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量为为为为J JO O，以以以以角角角角速速速速度度度度 O O绕绕绕绕水水水水平平平平的的的的O O轴轴轴轴转转转转动动动动，如如如如图图图图所所所所示示示示。制制制制动动动动时时时时，闸闸闸闸块块块块给给给给轮轮轮轮以以以以正正正正压压压压力力力力F FN N。已已已已知知知知闸闸闸闸块块块块与与与与轮轮轮轮之之之之间间间间的的的的滑滑滑滑动动动动摩摩摩摩擦擦擦擦系系系系数数数数为为为为f fs s，轮轮轮轮的的的的半半半半径径径径为为为为R R，轴轴轴轴承承承承的的的的摩摩摩摩擦擦擦擦忽略不计。求制动所需的时间忽略不计。求制动所需的时间忽略不计。求制动所需的时间忽略不计。求制动所需的时间t t。O O O O例例例例 题题题题 12-6 12-612.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程O O O O解解解解：以以以以轮轮轮轮为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象。作作作作用用用用于于于于轮轮轮轮上上上上的的的的力力力力除除除除F FN N外外外外，还还还还有有有有摩摩摩摩擦擦擦擦力力力力F F和和和和重重重重力力力力、轴轴轴轴承承承承约约约约束束束束力力力力。取取取取逆逆逆逆时时时时针针针针方方方方向向向向为为为为正正正正，刚刚刚刚体体体体的转动微分方程为的转动微分方程为的转动微分方程为的转动微分方程为 由此解得由此解得由此解得由此解得 F FF FNNF FOxOxF FOyOyWW例例例例 题题题题 12-6 12-6将上式积分，并根据已知条件确定积将上式积分，并根据已知条件确定积将上式积分，并根据已知条件确定积将上式积分，并根据已知条件确定积分上下限，得分上下限，得分上下限，得分上下限，得 12.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程MM1 1MM2 2 传传传传动动动动轴轴轴轴如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设轴轴轴轴和和和和的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量分分分分别别别别为为为为J J1 1和和和和J J2 2，转转转转动动动动比比比比 ,R R1 1，R R2 2分分分分别别别别为为为为轮轮轮轮 ，的的的的半半半半径径径径。今今今今在在在在轴轴轴轴上上上上作作作作用用用用主主主主动动动动力力力力矩矩矩矩MM1 1，轴轴轴轴上上上上有有有有阻阻阻阻力力力力力力力力矩矩矩矩MM2 2，转转转转向向向向如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设各各各各处处处处摩摩摩摩擦擦擦擦忽忽忽忽略略略略不不不不计计计计，求求求求轴轴轴轴的角加速度。的角加速度。的角加速度。的角加速度。例例例例 题题题题 12-7 12-712.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程运运 动动 演演 示示例例例例 题题题题 12-7 12-712.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程R R2 2R R1 1解解解解：分分分分别别别别取取取取轴轴轴轴和和和和为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象，它们的受力情况如图所示。它们的受力情况如图所示。它们的受力情况如图所示。它们的受力情况如图所示。因因因因 ，于是得，于是得，于是得，于是得 MM1 1MM2 2两轴对轴心的转动微分方程分别为两轴对轴心的转动微分方程分别为两轴对轴心的转动微分方程分别为两轴对轴心的转动微分方程分别为MM1 1 1 1F F F F NNMM2 2 2 2F FNNF F例例例例 题题题题 12-7 12-712.3 12.3 刚体绕定刚体绕定轴的转动微分方程轴的转动微分方程12.4 12.4 刚体对刚体对轴的转动惯量轴的转动惯量一、转动惯量的概念一、转动惯量的概念1、定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘、定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘积的总和，称为积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量刚体对该轴的转动惯量。对于质量是连续分布的刚体，则对于质量是连续分布的刚体，则2、简单形状物体的转动惯量计算、简单形状物体的转动惯量计算（1）匀质细直杆）匀质细直杆设杆的线密度为设杆的线密度为 ，取微段，取微段 ，则此微段质量为，则此微段质量为 ，所以此杆对，所以此杆对 轴的转动惯量为轴的转动惯量为杆的质量为杆的质量为 ，于是，于是（2）均质薄圆环）均质薄圆环（3）均质圆板）均质圆板设圆环质量为设圆环质量为 ，质量，质量 到中心轴的距离都等于半径到中心轴的距离都等于半径 ，所以圆环对于中心轴，所以圆环对于中心轴 的转动惯量为的转动惯量为设圆板的半径为设圆板的半径为 ，质量为，质量为 ，圆板对中心轴的转动惯量为，圆板对中心轴的转动惯量为（4）均质矩形板）均质矩形板12.4 12.4 刚体对刚体对轴的转动惯量轴的转动惯量二、回转半径二、回转半径回转半径定义为回转半径定义为所以所以三、平行移轴定理三、平行移轴定理定理定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即方的乘积，即12.4 12.4 刚体对刚体对轴的转动惯量轴的转动惯量质量为质量为 ，长为，长为 的匀质细直杆如图，求此杆对于垂直的匀质细直杆如图，求此杆对于垂直于杆轴且通过质心于杆轴且通过质心 的轴的轴 的转动惯量。的转动惯量。解：均质细直杆对于通过杆端点且解：均质细直杆对于通过杆端点且与杆垂直的与杆垂直的 轴的转动惯量为轴的转动惯量为应用平行移轴定理，对于应用平行移轴定理，对于 轴的转动惯量为轴的转动惯量为钟摆简化如下图。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为钟摆简化如下图。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为 和和 ，杆长为，杆长为 ，圆盘直径为，圆盘直径为 。求摆对于通过悬挂点。求摆对于通过悬挂点 的水平轴的转动惯量。的水平轴的转动惯量。例例例例 题题题题 12-8 12-8例例例例 题题题题 12-9 12-912.4 12.4 刚体对刚体对轴的转动惯量轴的转动惯量O OC C解：摆对于水平轴解：摆对于水平轴 的转动惯量的转动惯量式中式中设设 为圆盘对于中心为圆盘对于中心 的转动惯量，则的转动惯量，则于是得于是得12.4 12.4 刚体对刚体对轴的转动惯量轴的转动惯量12.5 12.5 质点系质点系相对于质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理 前面表述的动量矩定理只适用于惯性参考系中的固定点前面表述的动量矩定理只适用于惯性参考系中的固定点或固定轴，或固定轴，那么当矩心运动时，应当怎样来应用动量矩定理那么当矩心运动时，应当怎样来应用动量矩定理呢？进一步的研究表明，在一定条件下，动量矩定理的形式呢？进一步的研究表明，在一定条件下，动量矩定理的形式保持不变。其中最重要的一种情况就是：在随同质心一起运保持不变。其中最重要的一种情况就是：在随同质心一起运动的平动坐标系中，取质心为矩心，则动量矩定理的形式保动的平动坐标系中，取质心为矩心，则动量矩定理的形式保持不变持不变。以质心以质心 为原点，取一平移参考系为原点，取一平移参考系 如图。在如图。在此平移参考系内，任一点此平移参考系内，任一点 的相对矢径为的相对矢径为 、相对速度、相对速度为为 质点系相对于其质心质点系相对于其质心 的动量矩为的动量矩为实际上，以质点的相对速度或以实际上，以质点的相对速度或以其绝对速度计算质点系对于质心其绝对速度计算质点系对于质心的动量矩，其结果是相等的，即的动量矩，其结果是相等的，即质点质点 对固定点对固定点 的矢径为的矢径为 ，绝对速度为，绝对速度为 ，则质点系对定点则质点系对定点 的动量矩为的动量矩为由图可见由图可见于是于是根据点的速度合成定理，有根据点的速度合成定理，有由质点系动量计算式有由质点系动量计算式有其中其中 为质点系总质量，为质点系总质量，为其质心为其质心 的速度。代入的速度。代入上两式，质点系对于定点上两式，质点系对于定点 的动量矩可写为的动量矩可写为上式最后一项就是上式最后一项就是 ，而由质心坐标公式有，而由质心坐标公式有其中其中 为质心为质心 对于动系对于动系 的矢径。此处的矢径。此处 为此动系的原点，显然为此动系的原点，显然 ，即，即 ，于是上式中间一项为零，而于是上式中间一项为零，而12.5 12.5 质点系质点系相对于质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理上式表明，质点系对任一点上式表明，质点系对任一点 的动量矩等于集中于系统质的动量矩等于集中于系统质心的动量心的动量 对于点对于点 的动量矩再加上此系统对于质的动量矩再加上此系统对于质心心 的动量矩的动量矩 （为矢量和）（为矢量和）质点系对于定点质点系对于定点 的动量矩定理可写成的动量矩定理可写成展开上式括弧，注意右端项中展开上式括弧，注意右端项中 ，于是上式化为，于是上式化为因为因为于是上式成为于是上式成为12.5 12.5 质点系质点系相对于质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理上式右端是外力对于质心的主矩，于是得上式右端是外力对于质心的主矩，于是得即质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用即质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点系上的外力对质心的主矩。这就是在质点系上的外力对质心的主矩。这就是质点系对于质心的质点系对于质心的动量矩定理动量矩定理。该定理在形式上与质点系对于固定点的动量矩。该定理在形式上与质点系对于固定点的动量矩定理完全一样。定理完全一样。12.5 12.5 质点系质点系相对于质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理12.6 12.6 刚体的刚体的平面运动微分方程平面运动微分方程 平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点的转平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心角确定。取质心 为基点，如图，它的坐标为为基点，如图，它的坐标为 。设设 为刚体上的任一点，为刚体上的任一点，与与 轴的夹角为轴的夹角为 ，则，则刚体的位置可由刚体的位置可由 和和 确定。刚体的运动分解为确定。刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。随质心的平移和绕质心的转动两部分。图中图中 为固连于质心为固连于质心 的平的平移参考系，平面运动刚体相对于此动系移参考系，平面运动刚体相对于此动系的运动就是绕质心的运动就是绕质心 的转动，则刚的转动，则刚体对质心的动量矩为体对质心的动量矩为其中其中 为刚体对通过质心为刚体对通过质心 且与运动平面垂直的轴且与运动平面垂直的轴的转动惯量，的转动惯量，为其角速度。为其角速度。设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系面力系 ，则应用质心运动定理和相，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得对于质心的动量矩定理，得其中其中 为刚体质量，为刚体质量，为质心加速度，为质心加速度，为刚体为刚体的角速度。上式也可写成的角速度。上式也可写成以上两式称为以上两式称为刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程。12.6 12.6 刚体的刚体的平面运动微分方程平面运动微分方程 半半半半径径径径为为为为r r，质质质质量量量量为为为为m m的的的的均均均均质质质质圆圆圆圆轮轮轮轮沿沿沿沿水水水水平平平平直直直直线线线线滚滚滚滚动动动动，如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设轮轮轮轮的的的的惯惯惯惯性性性性半半半半径径径径为为为为 C C，作作作作用用用用于于于于圆圆圆圆轮轮轮轮的的的的力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩为为为为MM。求求求求轮轮轮轮心心心心的的的的加加加加速速速速度度度度。如如如如果果果果圆圆圆圆轮轮轮轮对对对对地地地地面面面面的的的的静静静静滑滑滑滑动动动动摩摩摩摩擦擦擦擦系系系系数数数数为为为为f fs s，问问问问力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩MM必必必必须须须须符符符符合合合合什么条件方不致使圆轮滑动。什么条件方不致使圆轮滑动。什么条件方不致使圆轮滑动。什么条件方不致使圆轮滑动。MMC Cr rx x例例例例 题题题题 12-10 12-1012.6 12.6 刚体的刚体的平面运动微分方程平面运动微分方程MMC Cr rx x 解解解解：根根根根据据据据刚刚刚刚体体体体的的的的平平平平面面面面运运运运动动动动微微微微分分分分方方方方程程程程可列出如下三个方程：可列出如下三个方程：可列出如下三个方程：可列出如下三个方程：式中式中式中式中MM和和和和 均以顺时针转向为正。因均以顺时针转向为正。因均以顺时针转向为正。因均以顺时针转向为正。因 a aCyCy=0 0 ，故，故，故，故 a aCxCx=a aC C 。a aC Cm mg gF FF FNN根据圆轮滚而不滑的条件，有根据圆轮滚而不滑的条件，有根据圆轮滚而不滑的条件，有根据圆轮滚而不滑的条件，有a aC C=r r 例例例例 题题题题 12-10 12-1012.6 12.6 刚体的刚体的平面运动微分方程平面运动微分方程联立求解，得：联立求解，得：联立求解，得：联立求解，得：欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必欲使圆轮从静止开始滚动而不滑动，必须有须有须有须有 F F f fs sF FN N,或或或或 F F f fs smgmg 。于是得圆轮只滚不滑的条件为于是得圆轮只滚不滑的条件为于是得圆轮只滚不滑的条件为于是得圆轮只滚不滑的条件为MMC Cr rx x a aC Cm mg gF FF FNN例例例例 题题题题 12-10 12-1012.6 12.6 刚体的刚体的平面运动微分方程平面运动微分方程 均均均均质质质质圆圆圆圆轮轮轮轮半半半半径径径径为为为为r r，质质质质量量量量为为为为m m，受受受受到到到到轻轻轻轻微微微微扰扰扰扰动动动动后后后后，在在在在半半半半径径径径为为为为R R的的的的圆圆圆圆弧弧弧弧上上上上往往往往复复复复滚滚滚滚动动动动，如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设表表表表面面面面足足足足够够够够粗粗粗粗糙糙糙糙，使使使使圆圆圆圆轮轮轮轮在滚动时无滑动。求质心在滚动时无滑动。求质心在滚动时无滑动。求质心在滚动时无滑动。求质心C C的运动规律。的运动规律。的运动规律。的运动规律。R R C C例例例例 题题题题 12-11 12-1112.6 12.6 刚体的刚体的平面运动微分方程平面运动微分方程R R C C解解解解：圆圆圆圆轮轮轮轮在在在在曲曲曲曲面面面面上上上上作作作作平平平平面面面面运运运运动动动动，受受受受到到到到的的的的外外外外力力力力有有有有重力重力重力重力m mg g，圆弧表面的法向反力，圆弧表面的法向反力，圆弧表面的法向反力，圆弧表面的法向反力F FN N和摩擦力和摩擦力和摩擦力和摩擦力F F。设设设设 角角角角以以以以逆逆逆逆时时时时针针针针方方方方向向向向为为为为正正正正，取取取取切切切切线线线线轴轴轴轴的的的的正正正正向向向向如如如如图图图图，并并并并设设设设圆圆圆圆轮轮轮轮以以以以顺顺顺顺时时时时针针针针转转转转动动动动为为为为正正正正，则则则则图图图图示示示示瞬瞬瞬瞬时时时时刚刚刚刚体体体体平平平平面面面面运运运运动动动动微微微微分分分分方方方方程程程程在在在在自自自自然然然然轴轴轴轴上上上上的的的的投影式为投影式为投影式为投影式为 (a)(a)(b)(b)(c)(c)r r（+）F Fm mg gF FNN例例例例 题题题题 12-11 12-1112.6 12.6 刚体的刚体的平面运动微分方程平面运动微分方程由由由由运运运运动动动动学学学学知知知知，当当当当圆圆圆圆轮轮轮轮只只只只滚滚滚滚不不不不滑滑滑滑时时时时，角角角角加加加加速速速速度度度度的的的的大大大大小为小为小为小为 取取取取s s为质心的弧坐标，由图有为质心的弧坐标，由图有为质心的弧坐标，由图有为质心的弧坐标，由图有 注意到注意到注意到注意