第二节--Lp-空间简介(续)-实变函数课件.ppt

第六章 函数空间Lp简介(续)本讲目的：掌握Lp-空间中的按范数收敛概念，熟悉几种收敛概念的关系，了解Lp-空间的科学意义及其在微分、积分方程中的应用。重点与难点：几种收敛概念的关系。第二节第二节 Lp-Lp-空间简介空间简介(续续)第二节 Lp-空间简介(续)既然已经有了距离概念，我们便可以在 中定义序列的极限。定义2设 ，如果 ，即 ，则 称 是 方平均收敛到 的可测函数列，或说 按 中范数收敛到 ，记作第二节 Lp-空间简介(续)至此，我们又有了一种函数序列的收敛概念，这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测度收敛概念是什么关系？这是我们应该弄清楚的问题。例1 令 ，第二节 Lp-空间简介(续)则对任意 ，即 在 上处处收敛到 。然而，当把 看作 中的元素时，有因此 按 中范数并不收敛到0。第二节 Lp-空间简介(续)我们已经知道 是处处不收敛到0的函数，现设 ，则在 中，有 若 ,则 由于 时，显然有 ，所以 即 。第二节 Lp-空间简介(续)从例1、例2立知，处处收敛不蕴含 方平均收敛，方平均收敛也不蕴含处处收敛。但下面的定理指出，方平均收敛蕴含依测度收敛。定理3 设 。且 ，则 。证明：对任意 。记 ，则第二节 Lp-空间简介(续)由于，所以对任何固定的 有 ，即 证毕。第二节 Lp-空间简介(续)定理4 设 ，如果 ，则证明：注意到 ，及 第二节 Lp-空间简介(续)立得所以 。证毕。定理3及定理4都假定了 与 是 中的元素。我们知道欧氏空间 中的一个Cauchy序列，则该序列一定收敛到 中的某个元。第二节 Lp-空间简介(续)，则称 是 中的基本列（或Cauchy列）。定理5 是完备的，即任意基本列都收敛。证明：设 是 中的基本列，则由归纳法不难找到正整数序列 ，使得 第二节 Lp-空间简介(续)从而 ，进一步 ，即 ，由此不难得知 在E上几乎处处有限，于是级数 在E上几乎处处绝对收敛。记 第二节 Lp-空间简介(续)则 ，由 立知 。往证 。对任意 ，存在 ，当 时，。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得第二节 Lp-空间简介(续)则 ，由 立知 。往证 。对任意 ，存在 ，当 时，。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得第二节 Lp-空间简介(续)则 ，由 立知 。往证 。对任意 ，存在 ，当 时，。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得第二节 Lp-空间简介(续)则 ，由 立知 。往证 。对任意 ，存在 ，当 时，。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得第二节 Lp-空间简介(续)变得易于求解，如果取一列按 方范数收敛到0的扰动项，对应的解序列按 方范数是一基本列，则其极限在 中，我们也称该极限为原方程的一个广义解。显见 空间是十分重要的一类函数空间。我们已经看到了，与 有着许多相似的性质，它关于线性运算是封闭的，它上面有距离，也有由距离导出的范数，这样的空间称线性赋范空间。我们还看到，是完备的，完备的线性赋范空间称作Banach空间，这些空间都是泛函分析中研究的重要对象。尽管 与 有许多相似之处，但 与 又有着本质的差别，它的结构比 要复杂得多，比如，第二节 Lp-空间简介(续)则 ，由 立知 。往证 。对任意 ，存在 ，当 时，。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得第二节 Lp-空间简介(续)则 ，由 立知 。往证 。对任意 ，存在 ，当 时，。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得第二节 Lp-空间简介(续)定理6 设 ，则对于任意存在 上的连续函数 ，使得 。证明：如果 是有界的，即存在 ，使 ，则由Lusin定理，对任意 ，存在 上的连续函数 及可测集 ，使得且在 上，有 。于是 第二节 Lp-空间简介(续)则 ，由 立知 。往证 。对任意 ，存在 ，当 时，。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得第二节 Lp-空间简介(续)则 ，由 立知 。往证 。对任意 ，存在 ，当 时，。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得第二节 Lp-空间简介(续)显然，且 ，于是由上面的证明知存在 上的边续函数 ，使 记 ，则 故 ，进而 证毕。第二节 Lp-空间简介(续)虽然本节所讨论的函数总是限定在实值范围内，但所有结论对复值可测函数都是正确的，（这里所谓复值可测函数指的是其实部与虚部都可测），只需将复值函数 表示成 的形式，其中 均为实值可测函数，则所有的证明都可以照搬过来。此外，我们也可以将实变量换成复变量，则从C与 的同构性不难看到关于实变量的结论对复变量情形也一样成立。有关这方面的详细论述可参见W.Rudin实分析和复分析（中译本，人民教育出版社，1982）。第二节 Lp-空间简介(续)则 ，由 立知 。往证 。对任意 ，存在 ，当 时，。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得