热学3-1-6-在计算分子通量的公式中应用类比法的实例课件.ppt

在计算分子在计算分子通量的公式通量的公式中应用类比中应用类比法的实例法的实例 类比法是一种在科学研究类比法是一种在科学研究中常用的逻辑推理方法。使中常用的逻辑推理方法。使用类比法时，根据两类对象用类比法时，根据两类对象之间在某些方面的相似或相之间在某些方面的相似或相同，来推出它们在其他方面同，来推出它们在其他方面也可能相似或相同。也可能相似或相同。实际上，对于物理学中的某实际上，对于物理学中的某些现象，描述它们的数学表述些现象，描述它们的数学表述式有时可能极为相似，此时应式有时可能极为相似，此时应用类比推理方法，常常可以绕用类比推理方法，常常可以绕开复杂的、有时甚至是烦琐的开复杂的、有时甚至是烦琐的数学演算步骤，比较快捷地得数学演算步骤，比较快捷地得出明晰的物理结果。出明晰的物理结果。设玻尔兹曼常量为设玻尔兹曼常量为 k，气体气体的热力学温度为的热力学温度为 T，分子质量分子质量为为 m，根据麦克斯韦速度分布根据麦克斯韦速度分布律，在平衡态下，气体分子速律，在平衡态下，气体分子速度分量度分量 vx的分布函数的分布函数 f(vx)为为 f(vx)=m/(2 kT)1/2 exp mvx2/(2kT).(1)1 李椿，章立源，钱李椿，章立源，钱 尚武尚武.热学热学.北京：北京：高等教育出版社，高等教育出版社，2005.8081 而把而把 nvxf(vx)dvx 在从在从 0到到 的区间内积分，就能够的区间内积分，就能够得到具有各种速率的全部得到具有各种速率的全部气体分子在单位时间内对气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数单位面积器壁的碰撞次数（即分子通量）（即分子通量）J为为J=0 nvxf(vx)dvx =0 nm/(2 kT)1/2vx exp mvx2/(2kT)dvx =nkT/(2 m)1/2.(2)由由(3)式可知气体分子式可知气体分子的平均速率的平均速率 u 为为 u=0 vf(v)dv =0 4 m/(2 kT)3/2v3 exp mv2/(2kT)dv =8kT/(m)1/2.(4)利用利用(4)式可以把式可以把(2)式式化为化为 J=(n/4)u =(n/4)0 vf(v)dv =0(n/4)vf(v)dv.(5)在以上导出在以上导出(2)式的过程中，式的过程中，nvxf(vx)dvx 表示速度分量表示速度分量 vx 取取值在值在 vx 至至 vx+dvx 间隔内的气体间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，把器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx在从在从0到到 的区间内积分，就能的区间内积分，就能得到分子通量得到分子通量J.现在既然现在既然(n/4)vf(v)dv在从在从0到到 的区间内积分，也能得到的区间内积分，也能得到分子通量分子通量 J.可见可见(n/4)vf(v)dv就表示速率取值在就表示速率取值在 v到到 v+dv间间隔内的气体分子在单位时间内隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数。对单位面积器壁的碰撞次数。据此处理某些相关问题，有时据此处理某些相关问题，有时往往会比较简捷。往往会比较简捷。例如，如果需要计算在例如，如果需要计算在平衡态下，速率大于任意平衡态下，速率大于任意一个给定值一个给定值 v 的气体分子的气体分子在单位时间内对单位面积在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数（即速率器壁的碰撞次数（即速率大于任意一个给定值大于任意一个给定值 v 的的分子通量）分子通量）Jv 时，首先时，首先 可是如果将可是如果将(n/4)vf(v)dv与与nvxf(vx)dvx进行类比，那进行类比，那就无需再去逐步推导，可就无需再去逐步推导，可以直接写出以直接写出(n/4)vf(v)dv，认为它正是速率取值在认为它正是速率取值在v到到v+dv 间隔内的气体分子间隔内的气体分子在在单位时间内对单位面积器单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，而只需要壁的碰撞次数，而只需要把它在从把它在从 v 到到 的区间内的区间内积分就行了，即积分就行了，即 Jv=v(n/4)vf(v)dv.(7)将将(3)式代入式代入(7)式计算，就能式计算，就能得到得到 Jv=v(n/4)4 m/(2 kT)3/2v3 exp mv2/(2kT)dv =nkT/(2 m)1/2 1+mv2/(2kT)exp mv2/(2kT).(8)又如，可以导出利用分子又如，可以导出利用分子泻流现象产生的分子束（分泻流现象产生的分子束（分子射线）里的气体分子的速子射线）里的气体分子的速率分布函数率分布函数 fb(v)的具体形的具体形式。实际上，分子泻流现象式。实际上，分子泻流现象产生的分子束，在同位素分产生的分子束，在同位素分离技术和许多著名的物理实离技术和许多著名的物理实验里都有重要的应用验里都有重要的应用2。2 瑞夫瑞夫 F.统计物理学统计物理学.伯克利物理教程伯克利物理教程.第五第五 卷卷.周世勋，徐正惠，周世勋，徐正惠，龚少明译龚少明译.北京：科学北京：科学 出版社，出版社，1979.313，318，336337 虽然在作为分子源的容器虽然在作为分子源的容器内的气体分子服从麦克斯韦内的气体分子服从麦克斯韦速率分布律，其速率分布函速率分布律，其速率分布函数可以用数可以用(3)式表示。但是，式表示。但是，分子束里的气体分子的速率分子束里的气体分子的速率分布函数分布函数 fb(v)却不能用却不能用(3)式式来代表。此来代表。此 fb(v)的具体形式的具体形式可以用以下的方法导出。可以用以下的方法导出。既然通过将既然通过将(n/4)vf(v)dv与与 nvxf(vx)dvx 进行类比，能够得知进行类比，能够得知(n/4)vf(v)dv就是速率取就是速率取值在值在v到到 v+dv 间隔内的气间隔内的气体分子在单位时间内对单体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，位面积器壁的碰撞次数，如果容器壁上的泻如果容器壁上的泻流小孔的面积为流小孔的面积为dS，则则在分子源里的速率取值在分子源里的速率取值在在v 到到v+dv 间隔内的气间隔内的气体分子在单位时间内从体分子在单位时间内从小孔中逸出的分子数应小孔中逸出的分子数应为为(n/4)vf(v)dvdS.因此，按照速率分布因此，按照速率分布函数的定义就能得到：函数的定义就能得到：在分子束里速率取值在在分子束里速率取值在v到到 v+dv 间隔内的气体间隔内的气体分子数占总分子数的比分子数占总分子数的比率率 dNvv+dv/N 就应当是就应当是dNvv+dv/N=fb(v)dv =(n/4)vf(v)dvdS /(n/4)udS =(v/u)f(v)dv.(9)(10)式有时被称式有时被称为麦克斯韦发射分为麦克斯韦发射分布（布（Maxwell transmission distribution）3。3 Kittel C.Thermal Physics.New York:John Wiley&Sons,1969.209 如果在平衡态下的气体分如果在平衡态下的气体分子的最概然速率为子的最概然速率为 vp，因为因为 vp=(2kT/m)1/2，故在引入无故在引入无量纲量量纲量 x=v/vp 后，也可以将后，也可以将fb(v)dv 化为以化为以 x 表示的约化表示的约化形式形式Fb(x)dx.由此可得由此可得 Fb(x)=fb(v)dv/dx =2x3 exp(x2).(11)利用利用(11)或或(10)式，还式，还能进而求得分子束里的气能进而求得分子束里的气体分子的最概然速率体分子的最概然速率 vb.p 和平均速率和平均速率 ub分别为分别为 vb.p=(3kT/m)1/2，(12)ub=9 kT/(8m)1/2.(13)