离散数学习题课-集合.ppt
习题课主要内容主要内容集合的两种表示法集合的两种表示法集合与元素之间的隶属关系、集合之间的集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系包含关系的区别与联系特殊集合：空集、全集、幂集特殊集合：空集、全集、幂集文氏图及有穷集合的计数文氏图及有穷集合的计数(包含排斥原理包含排斥原理)集合的集合的,等运算以及广义等运算以及广义,运运算算集合运算的算律及其应用集合运算的算律及其应用(证明证明)1习题课熟练掌握集合的两种表示法熟练掌握集合的两种表示法能够判别元素是否属于给定的集合能够判别元素是否属于给定的集合能够判别两个集合之间是否存在包含、相能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含关系等、真包含关系熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）义运算）掌握证明集合等式或者包含关系的基本方掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法法2习题课判断下列命题是否为真判断下列命题是否为真(1)(2)(3)(4)(5)a,b a,b,c,a,b,c(6)a,b a,b,c,a,b(7)a,b a,b,a,b (8)a,b a,b,a,b 解解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为为真，其余为假假.3习题课(1)判断元素判断元素a与集合与集合A的隶属关系是否成立基本方法：的隶属关系是否成立基本方法：把把 a 作为整体检查它在作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的中是否出现，注意这里的 a 可能是集合表达式可能是集合表达式.(2)判断判断A B的四种方法的四种方法若若A,B是用枚举方式定义的，依次检查是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素的每个元素是否在是否在B中出现中出现.若若A,B是谓词法定义的，且是谓词法定义的，且A,B中元素性质分别为中元素性质分别为P和和Q,那么那么“若若P则则Q”意味意味 A B，“P当且仅当当且仅当Q”意味意味=通过集合运算判断通过集合运算判断A B，即，即A B=B,A B=A,A B=三个等式中有一个为真三个等式中有一个为真.通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明）是证明）4习题课设设 S1=1,2,8,9，S2=2,4,6,8 S3=1,3,5,7,9 S4=3,4,5 S5=3,5 确定在以下条件下确定在以下条件下X是否与是否与S1,S5中某个集合中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？相等？如果是，又与哪个集合相等？（1）若）若 X S5=（2）若）若 X S4但但 X S2=（3）若）若 X S1且且 X S3 （4）若）若 X S3=（5）若）若 X S3 且且 X S15习题课解解(1)和和S5不交的子集不含有不交的子集不含有3和和5，因此，因此 X=S2.(2)S4的子集只能是的子集只能是S4和和S5.由于与由于与S2不交，不交，不能含有偶数，因此不能含有偶数，因此 X=S5.(3)S1,S2,S3,S4和和S5都是都是S1的子集，不包含的子集，不包含在在S3的子集含有偶数，因此的子集含有偶数，因此 X=S1,S2或或S4.(4)X S3=意味着意味着 X是是S3的子集，因此的子集，因此 X=S3或或 S5.(5)由于由于S3是是S1的子集，因此这样的的子集，因此这样的X不存在不存在.6判断判断A (B C)=(A B)(A C)是否成立是否成立文氏图不等A (B C)(A B)-(A C)(A C)-(A B)(A B)(A C)7习题课 判断以下命题的真假，并说明理由判断以下命题的真假，并说明理由.（1）A B=A B=（2）A(B C)=(A B)(A C)（3）A A=A （4）如果）如果A B=B，则，则A=E.（5）A=x x，则，则 x A且且x A.8习题课先将等式化简或恒等变形先将等式化简或恒等变形.查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真结果为真.注意以下两个重要的充要条件注意以下两个重要的充要条件 A B=A A B=A B=A B A B=B A B=A 如果与条件相符，则命题为真如果与条件相符，则命题为真.如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立氏图表示集合，看看命题是否成立.如果成立，再如果成立，再给出证明给出证明.试着举出反例，证明命题为假试着举出反例，证明命题为假.9习题课解解(1)B=是是A B=A的充分条件，但不是必要的充分条件，但不是必要条件条件.(2)这是这是D.M律，命题为真律，命题为真.(3)不符合算律，不符合算律，A时假时假.(4)命题不为真命题不为真.A B=B的充分必要条件是的充分必要条件是 B A，不是，不是A=E.(5)命题为真，因为命题为真，因为 x 既是既是 A 的元素，也是的元素，也是 A 的子集的子集 10习题课证明证明 A B=A C A B=A C B=C解题思路解题思路分析命题：含有分析命题：含有3 3个命题：个命题：A B=A C,A B=A C,B=C 证明要求证明要求 前提：命题前提：命题和和 结论：命题结论：命题 证明方法：证明方法：恒等式代入、反证法恒等式代入、反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式利用已知等式通过运算得到新的等式11习题课方法一：恒等代入法方法一：恒等代入法 B=B(A B)=B(A C)=(B A)(B C)=(A C)(B C)=(A B)C =(A C)C=C 方法二：反证法方法二：反证法.假设假设 B C，则存在，则存在 x(x B且且x C),或存在或存在 x(x C且且x B).不妨设为前者不妨设为前者.若若x属于属于A，则，则x属于属于A B 但但x不属于不属于A C，与已知矛盾；，与已知矛盾；若若x不属于不属于A，则，则x属于属于A B但但x不属于不属于A C，也与已知矛盾，也与已知矛盾.证明证明 A B=A C A B=A C B=C12习题课证明证明 A B=A C A B=A C B=C方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式.由已知等式由已知等式和和可以得到可以得到 (A B)(A B)=(A C)(A C)即即 A B=A C 从而有从而有 A(A B)=A(A C)根据结合律得根据结合律得 (A A)B=(A A)C 由于由于A A=,化简上式得化简上式得B=C.13使用包含排斥原理求不超过使用包含排斥原理求不超过120的素数个数的素数个数.解解 设设S=x|x Z1 x 120 A=x|x Sx可被可被2整除整除 B=x|x Sx可被可被3整除整除 C=x|x Sx可被可被5整除整除 D=x|x Sx可被可被7整除整除|A|=60|B|=40|C|=24|D|=17|AB|=20|CD|=3|ABC|=4|BCD|=1|ABCD|=0=120 ()+()()+0=27习题课14Test115Test1-Answer16Test2？A B？B A17Test2-Answerf fA B B A18Test3A B C？A (B C)A B C=？A (B C)=？19Test3-AnswerA B C A (B C)A B C=3 A (B C)=3,620
