《函数极限连续》课件.ppt

温州大学城市学院温州大学城市学院 n试试 卷卷 结结 构构 试卷总分：150分 考试时间：150分钟n试试 卷卷 内内 容容 比比 例例 1.函数、极限和连续 约20%2.一元函数微分学 约35%3.一元函数积分学 约30%4.无穷级数、常微分方程 约15%高等数学（二）高等数学（二）专专升本考升本考试试 温州大学城市学院温州大学城市学院 高等数学高等数学(二二)历年比例历年比例一、函数、极限和连续一、函数、极限和连续二、一元函数微分学二、一元函数微分学三、一元函数积分学三、一元函数积分学四、无穷级数四、无穷级数五、常微分方程五、常微分方程20052006200718%11%21%47%33%32%23%25%15%7%18%19%5%13%14%200824%29%32%7%8%200911%38%37%7%7%温州大学城市学院温州大学城市学院 试卷题型比例试卷题型比例n选择题 约15%n填空题 约25%n计算题 约40%n综合题 约20%试题难易比例试题难易比例n容易题 约40%n中等难度题 约50%n较难题 约10%温州大学城市学院温州大学城市学院 1、理解函数的概念，会求函数的定、理解函数的概念，会求函数的定义义域、表达式域、表达式及函数及函数值值.y =f(x)因变量因变量对应法则对应法则自变量自变量值域值域定义域定义域温州大学城市学院温州大学城市学院 题型一：求定义域题型一：求定义域例例 1 求下列函数的求下列函数的定义域定义域.练练:函数函数 的定义域是的定义域是_.(2007年高数一年高数一)温州大学城市学院温州大学城市学院 2、会求分段函数的定、会求分段函数的定义义域、函数域、函数值值，并会作出，并会作出简单简单的分段函数的分段函数图图像。像。3、理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期、理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。性，会判断所给函数的类别。温州大学城市学院温州大学城市学院 定义定义 函数函数 y=f(x)，其定义域，其定义域 D关于原点对称关于原点对称.(2)若若 f(-x)=-f(x),则称则称 y=f(x)为为奇函数奇函数.(1)若若 f(-x)=f(x),则称则称 y=f(x)为为偶函数偶函数;n 函数的函数的奇偶性奇偶性例例 3 判别下列函数的判别下列函数的奇偶性奇偶性.偶偶+偶偶=偶，奇偶，奇+奇奇=奇，奇，偶偶*偶偶=偶，奇偶，奇*奇奇=偶，偶偶，偶*奇奇=奇奇温州大学城市学院温州大学城市学院 nf(x1)f(x2),则称则称 y=f(x)在区间在区间(a,b)内是内是增增函数函数.若函数若函数 y=f(x),对于区间对于区间(a,b)内的任内的任意两点意两点 x1 f(x2),则称则称 y=f(x)在区间在区间(a,b)内是内是减函减函数数.n 函数的函数的单调性单调性温州大学城市学院温州大学城市学院 增函数增函数减函数减函数xyoabxyoabn 函数的函数的单调性单调性 若函数若函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内内增加增加或或减少减少,则则称此区间为称此区间为 f(x)的的单调区间单调区间.温州大学城市学院温州大学城市学院 n 函数的函数的周期性周期性定义定义 若对于函数若对于函数 y=f(x),存在一个常数存在一个常数T ,对于对于x在定义域内的一切值在定义域内的一切值,都有都有 成立成立,则称则称 y=f(x)是是周期函数周期函数,T为函数的为函数的周期周期.通常所说的通常所说的周期周期是指是指 T 的最小正值的最小正值.例如例如,函数函数 y=sin x,y=cos x 的周期是的周期是函数函数 y=tan x,y=cot x 的周期是的周期是例例 4 下列各函数中哪些是周期函数下列各函数中哪些是周期函数?温州大学城市学院温州大学城市学院 例例 函数函数 y=sin xn 函数的函数的有界性有界性有界函数有界函数温州大学城市学院温州大学城市学院 例例 函数函数 y=cos xn 函数的函数的有界性有界性有界函数有界函数温州大学城市学院温州大学城市学院 定义定义 设函数设函数 y=f(x)在在(a,b)内内有定义有定义,若存在若存在常数常数M0,使对于使对于(a,b)内的任何内的任何 x,有有|f(x)|M 成立成立.则称则称 y=f(x)在在(a,b)内内有界有界.xyo ab MM否则否则,称称f(x)在在(a,b)内内无界无界.几何意义几何意义:f(x)的图形夹在两的图形夹在两平行直线平行直线 y=M 之之间间.温州大学城市学院温州大学城市学院 例例 函数函数在在 内内无界无界在在 内内无界无界.在在 内内有界有界,温州大学城市学院温州大学城市学院 例例 5(2008年高数二年高数二)函数函数 f(x)=x3 sin x 是是()A.偶函数偶函数 B.奇函数奇函数 C.周期函数周期函数 D.有界函数有界函数练练:(2008年高数一年高数一)函数函数 f(x)=(x2+1)cos x 是是()A.奇函数奇函数 B.偶函数偶函数 C.有界函数有界函数 D.周期函数周期函数 题型二：判断函数的性质题型二：判断函数的性质温州大学城市学院温州大学城市学院 题型三：求反函数题型三：求反函数4.了解函数了解函数y=（x）与其反函数）与其反函数y=-1（x）之）之间间的的关系（定关系（定义义域、域、值值域、域、图图象），会求象），会求单调单调函数的反函数的反函数。函数。温州大学城市学院温州大学城市学院 例例8.函数函数f(x)的定义域为的定义域为0,1,则函数则函数 的定义域是的定义域是_.题型四：复合函数运算题型四：复合函数运算5.理解和掌握函数的四理解和掌握函数的四则则运算与复合运算，熟运算与复合运算，熟练练掌握复合函数的复合掌握复合函数的复合过过程。程。(2006年高数一年高数一)温州大学城市学院温州大学城市学院 6.掌握基本初等函数的掌握基本初等函数的简单简单性性质质及其及其图图象象 函数表达式 反三角函数反三角函数 三角函数三角函数 对数函数对数函数 指数函数指数函数 幂函数幂函数 常数函数常数函数 函数名称函数名称温州大学城市学院温州大学城市学院 7.了解初等函数的概念。了解初等函数的概念。8.会建立会建立简单实际问题简单实际问题的函数关系式。的函数关系式。温州大学城市学院温州大学城市学院 二、极二、极 限限1.理解极限的概念，能根据极限概念分析函数的理解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变变化化趋势趋势。会求函数在一点。会求函数在一点处处的左极限与右极限，了的左极限与右极限，了解函数在一点解函数在一点处处极限存在的充分必要条件。极限存在的充分必要条件。（1）.数列极限的概念数列极限的概念或或有有极限极限的的数列数列称为称为收敛数列收敛数列没有没有极限极限的的数列数列称为称为发散数列发散数列温州大学城市学院温州大学城市学院 温州大学城市学院温州大学城市学院 由观察得出的常见函数的极限：由观察得出的常见函数的极限：温州大学城市学院温州大学城市学院(1)单调递增有上界的数列必有单调递增有上界的数列必有极极限限;(2)单调递减有下界的数列必有单调递减有下界的数列必有极限极限;2、了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。、了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。10 xa2a4a1a3x01a1a2a3a4温州大学城市学院温州大学城市学院(3)夹边定理夹边定理:若若 且且则则温州大学城市学院温州大学城市学院 3.理解无理解无穷穷小量、无小量、无穷穷大量的概念，掌握无大量的概念，掌握无穷穷小量小量的性的性质质、无、无穷穷小量与无小量与无穷穷大量的关系。会大量的关系。会进进行无行无穷穷小量小量阶阶的比的比较较（高（高阶阶、低、低阶阶、同、同阶阶和等和等阶阶）。会运）。会运用等价无用等价无穷穷小量代小量代换换求极限。求极限。例例:在在 时为时为无穷大量无穷大量.在在 时为时为无穷小量无穷小量.温州大学城市学院温州大学城市学院 温州大学城市学院温州大学城市学院 若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,若若若若若若设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作温州大学城市学院温州大学城市学院(5)极限极限计算中的计算中的等价无穷小等价无穷小替换替换定理定理 设设 时时,则则常见的常见的等价无穷小等价无穷小:当当 时时,温州大学城市学院温州大学城市学院 4.掌握两个重要极限掌握两个重要极限(1)(2)温州大学城市学院温州大学城市学院 题型五：极限的计算题型五：极限的计算温州大学城市学院温州大学城市学院 7.求极限求极限温州大学城市学院温州大学城市学院 三三、利用等价无穷小替换求极限、利用等价无穷小替换求极限.当当时时温州大学城市学院温州大学城市学院 四、洛必达法则求极限四、洛必达法则求极限一般步骤：一般步骤：1 1、先考虑等价无穷小替换或化简；、先考虑等价无穷小替换或化简；2 2、再用洛必达法则、再用洛必达法则.温州大学城市学院温州大学城市学院 练练:(2006高数高数一一)计算计算六、六、夹边定理夹边定理温州大学城市学院温州大学城市学院 1 (2006高数一高数一)当当x0时时,与与x不是等价无穷小量的是不是等价无穷小量的是()(A)sinx-x2 (B)x-sin2x (C)tanx-x3 (D)sinx-x 题型六：无穷小量的判定题型六：无穷小量的判定2(2008高数二高数二)当当x0时时,secx-1是是 的的 ()(A)高阶无穷小高阶无穷小 (B)低阶无穷小低阶无穷小(C)同阶但不是等价无穷小同阶但不是等价无穷小 (D)等价无穷小等价无穷小 温州大学城市学院温州大学城市学院 1.理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数一点函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数一点连续与极限存在的关系。连续与极限存在的关系。(1).设函数设函数(x)在在 x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义,在在 x0 处处给给x一个增量一个增量 x,则称函数则称函数(x)在在 x0 处连续处连续.称称 x0 为连续点为连续点.oxyy=(x)yx温州大学城市学院温州大学城市学院 结论结论:函数函数(x)在在x0 处连续的充要条件是处连续的充要条件是(x)在在 x0 处既左连续又右连续处既左连续又右连续.温州大学城市学院温州大学城市学院 2.理解初等函数在其定理解初等函数在其定义义区区间间上上连续连续，并会利用，并会利用连续连续性求极限。性求极限。若函数若函数(x)在开区间在开区间(a,b)内的每一点都连内的每一点都连续续,则称函数则称函数(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续;若函数若函数(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续,且在左端且在左端点点 a右连续右连续,在右端点在右端点 b 左连续左连续,则称函数则称函数(x)在闭区间在闭区间a,b 内连续内连续.设函数设函数(x)在区间在区间 I 内连续内连续,则称则称I为函数为函数(x)的连续区间的连续区间.若函数若函数(x)在其定义域内连续在其定义域内连续,则称函数则称函数(x)是是连续函数连续函数.温州大学城市学院温州大学城市学院(2)设函数设函数 y=(x)在某个区间上单调且连续在某个区间上单调且连续,则其反函数则其反函数y=f-1(x)在相应区间上亦单调且连续在相应区间上亦单调且连续.温州大学城市学院温州大学城市学院 例例:的连续区间为的连续区间为_例例:求函数求函数的连续区间的连续区间,并求极限并求极限温州大学城市学院温州大学城市学院 3.会求函数的会求函数的间间断点及确定其断点及确定其类类型。型。温州大学城市学院温州大学城市学院 题型七：判断函数的连续性题型七：判断函数的连续性.温州大学城市学院温州大学城市学院 练练:(2006高数一高数一)函数函数的间断点是的间断点是_练练:(2007高数二高数二)设设函数函数 y 的可去间断点为的可去间断点为_温州大学城市学院温州大学城市学院 4、掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。定理推证一些简单命题。(1)(最大值与最小值定理最大值与最小值定理)若函数若函数(x)在闭区间在闭区间a,b(2)上连续上连续,则在则在a,b上上(x)一定有最大值与最小值一定有最大值与最小值.(2)(有界性定理有界性定理)若函数若函数(x)在闭区间在闭区间a,b 上连上连续续,则则(x)在在a,b上一定有界上一定有界.温州大学城市学院温州大学城市学院(3)(介值定理介值定理)若函数若函数(x)在闭区间在闭区间a,b上连上连续续,且且 m 与与 M 分别为分别为(x)在在 a,b上的最小值与最上的最小值与最大值大值,则对于任意介于则对于任意介于m与与M之间的实数之间的实数 C(mCM),至少存在一点至少存在一点oxymCMaby=(x)(4)(零点存在定理零点存在定理)若函数若函数(x)在闭区在闭区间间a,b上连续上连续,且且(a)与与(b)异号异号(即即(a)(b)0),至少存在一点至少存在一点温州大学城市学院温州大学城市学院 8.设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且 f(a)b，证明存在证明存在 使得使得6.证明方程证明方程一个根一个根.在区间在区间内至少有内至少有 题型八：利用介值定理（零点定理）证明题型八：利用介值定理（零点定理）证明.7.证明证明:方程方程 x=asinx+b 至少有一个正根至少有一个正根a0,b0.