人教版高中数学选修(2.3-数学归纳法)课件.ppt

2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法问题提出问题提出 1.1.归纳推理的基本特征是什么？归纳推理的基本特征是什么？由个别事实概括出一般结论由个别事实概括出一般结论.2.2.综合法，分析法和反证法的基本思想分别是什么综合法，分析法和反证法的基本思想分别是什么？综合法：综合法：由已知推可知，逐步推出未知由已知推可知，逐步推出未知.分析法：分析法：由未知探需知，逐步推向已知由未知探需知，逐步推向已知.反证法：反证法：假设结论不成立，推出矛盾得假设结论不成立，推出矛盾得 证明证明.3.3.归纳推理能帮助我们发现一般结论，但得出的结归纳推理能帮助我们发现一般结论，但得出的结论不一定正确，即使正确也需要经过严格的证明才能论不一定正确，即使正确也需要经过严格的证明才能肯定其真实性肯定其真实性.综合法，分析法和反证法虽可证明某综合法，分析法和反证法虽可证明某些结论，但都有其局限性，因此，我们非常需要一个些结论，但都有其局限性，因此，我们非常需要一个与归纳推理相匹配的证明方法，使之成为无与伦比的与归纳推理相匹配的证明方法，使之成为无与伦比的“黄金搭档黄金搭档”.探究（一）：探究（一）：数学归纳法的感性认识数学归纳法的感性认识 思考思考1 1：某人想排队进展览馆参观，不知自己能否进得某人想排队进展览馆参观，不知自己能否进得去，于是问组织者，答曰；只要你前一个人能进去，去，于是问组织者，答曰；只要你前一个人能进去，你就能进去你就能进去.那么此人能进去参观吗？若每个排队的人那么此人能进去参观吗？若每个排队的人都能进去参观，需要什么条件？都能进去参观，需要什么条件？（1 1）第一个人进去；）第一个人进去；（2 2）若前一个人进去，则后一个人也能）若前一个人进去，则后一个人也能 进去进去.思考思考2 2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？（1 1）推倒第一块骨牌；）推倒第一块骨牌；（2 2）前一块骨牌倒下时能碰倒后）前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌一块骨牌.思考思考3 3：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？男人世代都姓王的条件是什么？（1 1）始祖姓王；）始祖姓王；（2 2）子随父姓）子随父姓.（第（第1 1代姓王）代姓王）（如果第（如果第k k代姓代姓T T，则第，则第k+1k+1代也姓代也姓T T）思考思考4 4：已知数列已知数列aan n 满足满足:（nnN*），那么该数列），那么该数列的各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若的各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若确定数列中的每一项，还需增加什么条件？确定数列中的每一项，还需增加什么条件？由第由第k k项可推出第项可推出第k k1 1项项.给出第给出第1 1项；项；（1 1）（2 2）探究（二）：探究（二）：数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理 思考思考1 1：已知数列已知数列aan n 满足满足（nnN*），假设当），假设当n nk k时，时，则当则当n nk k1 1时，时，a ak k1 1等于什么？等于什么？若假设若假设 ，则，则a ak k1 1等于什么？等于什么？思考思考2 2：若给出若给出a a1 11 1，则数列，则数列aan n 的通项公式是什么的通项公式是什么？若给出？若给出a a1 12 2，则数列，则数列aan n 的通项公式是什么？如何的通项公式是什么？如何理解你的结论？理解你的结论？思考思考3 3：已知数列已知数列 an n 满足满足a1 11 1，an+1n+12 2an n3 3，利用，利用上述思想如何证明数列上述思想如何证明数列 an n 的通项公式是的通项公式是an n2 2n+1n+1-3-3？思考思考4 4：利用上述思想如何证明：对任意利用上述思想如何证明：对任意nnN*都有等都有等式式2 24 46 62n2nn(nn(n1)1)成立？成立？思考思考5 5：上述证明方法叫做上述证明方法叫做数学归纳法数学归纳法，一般地，用数，一般地，用数学归纳法证明一个与正整数学归纳法证明一个与正整数n n有关的命题，其证明步骤有关的命题，其证明步骤如何？如何？（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0NN*)时命题成立；时命题成立；（2 2）假设当）假设当n nk(knk(kn0 0，kNkN*)时命题成立，证明当时命题成立，证明当n nk k1 1时命题也成立时命题也成立.思考思考6 6：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归归纳奠基纳奠基，第二步是，第二步是归纳递推归纳递推，完成这两个步骤的证明，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？实质上解决了什么问题？逐一验证命题对从逐一验证命题对从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立.理论迁移理论迁移 例例1 1 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：(nN(nN*).).例例2 2 已知数列：已知数列：试猜想其前试猜想其前n n项和项和S Sn n的表达式，并数学归纳法证明的表达式，并数学归纳法证明.小结作业小结作业 1.1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从而间接地验证了命题对从n0n0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立，都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明归纳法也难以证明.2.2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.谢谢观看！谢谢观看！作业：作业：P95P95练习：练习：1 1，2.2.