线性代数复习概要.ppt

(2)用性质化成上用性质化成上(下下)三角行列式三角行列式推论推论 行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应的对应元素的代数余子式乘积之和等于零元素的代数余子式乘积之和等于零,即即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0 (i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0 (i j)(1)用定义用定义:D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n)或或 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1,2,n)1.行列式的计算行列式的计算1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即D=D 2 互换两行互换两行(列列),行列式改变符号行列式改变符号.3 如果行列式如果行列式D中某行中某行(列列)的所有元素是两个数的和的所有元素是两个数的和,那么那么D可表示成两个新行列式之和可表示成两个新行列式之和,即即2.行列式的基本性质行列式的基本性质4 行列式的某一行行列式的某一行(列列)所有元素的公因子可以提到行所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面列式符号的外面5 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)各元素的各元素的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)对应的元素上去对应的元素上去,行列式的值不变行列式的值不变(1)范德蒙行列式范德蒙行列式:(2)上上(下下)三角行列式三角行列式3.特殊行列式特殊行列式(3)主对角行列式主对角行列式(4)副对角行列式副对角行列式:设线性方程组设线性方程组 的系数行列式的系数行列式4.克莱姆法则克莱姆法则,则该线性方程组有且仅有唯一解则该线性方程组有且仅有唯一解:列式列式D中第中第j列的元素用常数项列的元素用常数项b1,b2,bn代替后得代替后得到的到的n阶行列式阶行列式,其中其中Dj(j=1,2,.,n)是把系数行是把系数行(1)定义定义:设设n维向量组维向量组 1,2,m,若存在不全若存在不全为零的数为零的数k1,k2,km,使使k1 1+k2 2+km m=0,则称则称向量组向量组 1,2,m线性相关线性相关,否则称为线性否则称为线性无关无关,即只有当即只有当k1=k2=km=0时时,k1 1+k2 2+km m=0才成立才成立.6.向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义:对于对于n维向量维向量,1,2,m,若存在一组数若存在一组数 1,2,m,使使=1 1+2 2+m m,则称则称 是是 1,2,m的线性组合的线性组合.或者说或者说 可由可由 1,2,m线性表示线性表示.5.向量的向量的线性性组合合2 n维向量组维向量组 1,2,m(m2)线性相关线性相关 1,2,m中至少有一个向量可由其余中至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表示个向量线性表示3 任意一个包含零向量的向量组必线性相关任意一个包含零向量的向量组必线性相关4 两个向量线性相关两个向量线性相关它们的各对应分量成比例它们的各对应分量成比例(2)性质性质:1 线性相关线性相关=0;线性无关线性无关 07 无关无关组增组增加分量仍无关加分量仍无关;相关组减少分量仍相关相关组减少分量仍相关8 个数大于维数的向量组线性相关个数大于维数的向量组线性相关6 若若 1,2,m线性无关线性无关,而而 1,2,m,线性相关线性相关,则则 可由可由 1,2,m线性表示线性表示.5 部分组线性相关部分组线性相关,则整个向量组线性相关则整个向量组线性相关;整个向量组线性无关整个向量组线性无关,则部分组线性无关则部分组线性无关2 用性质用性质(3)线性相关性的判别线性相关性的判别:1 用定义用定义3 用行列式用行列式:设设n个个n维向量维向量所组成的向量为所组成的向量为 i=(ai1,ain),i=1,2,n.且且则则 1,n线性相关线性相关D=0;1,n线性无线性无关关D 04 用用向量组的秩向量组的秩:设向量组设向量组A:1,2,mA线性无关线性无关A的秩等于的秩等于m;A线性相关线性相关A的秩的秩m5 用对应的用对应的矩阵的秩矩阵的秩6 用用齐次线性方程组齐次线性方程组的解的解:判别判别x1 1+x2 2+xn n=0即即AX=0的解的解定理定理 设有两个设有两个n维向量组维向量组A:1,2,r;B:1,2,s.若若A线性无关线性无关,且且A可由可由B线性表示线性表示,则则rs定义定义:一个向量组一个向量组T中的部分向量中的部分向量 1,2,m若若具有性质具有性质:(1)1,2,m线性无关线性无关;(2)向量组向量组T中任一向量都可由中任一向量都可由 1,2,m线线性表示性表示.则称则称 1,2,m为为T的一个最大线性无关向量组的一个最大线性无关向量组.7.最大线性无关向量组最大线性无关向量组8.向量组的秩向量组的秩性质性质:等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.定义定义:设设V为为n维向量的集合维向量的集合,若若V非空非空,且对任意且对任意,V,有有+V,V,即即V对于加法及数乘两种对于加法及数乘两种运算封闭运算封闭,则则称称V为向量空间为向量空间9.向量空间向量空间定义定义:设设V为向量空间为向量空间,若若 1,2,n V,且且(1)1,2,n线性无关线性无关;(2)V,可由可由 1,2,n线性表示线性表示则向量组则向量组 1,2,n称为称为V的一个基的一个基.基所含向量的个数基所含向量的个数n称为称为V的维数的维数.并称并称V为为n维向量维向量空间空间.且且V=X=1 1+2 2+n n|i R10.向量空间的基和维数向量空间的基和维数(1)矩阵的加法矩阵的加法 定义定义:设有两个设有两个m n矩阵矩阵A=(aij),B=(bij).则矩阵则矩阵A与与B的和记作的和记作A+B,规定为规定为A+B=(aij+bij)m n 11.矩阵的运算矩阵的运算(2)数与矩阵相乘数与矩阵相乘定义定义:数数 与矩阵与矩阵A=(aij)m n的乘积的乘积记作记作 A或或A,规定规定为为 A=A=(aij)m n(3)矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘定义定义:Cm n=Am sBs n=(aij)m s(bij)s n=(cij)m n其中其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+aisbsj (i=1,2,m;j=1,2,n)则称则称C为为A与与B的乘积的乘积.记记C=AB注注:1 矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律 2 矩阵的乘法不满足消去律矩阵的乘法不满足消去律 3 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,则由则由AB=O不不能得出能得出A=O或或B=O(4)矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置满足矩阵的转置满足:1 (A)=A 2 (A+B)=A+B 3 (kA)=kA 4 (AB)=B A(1)单位矩阵单位矩阵E:EA=AE=A(2)数量矩阵数量矩阵 E:(E)A=A(E)=A(3)对角方阵对角方阵:12.几种重要的方阵几种重要的方阵13.方阵的行列式方阵的行列式运算规律运算规律:(1)|A|=|A|(2)|A|=n|A|(3)|AB|=|A|B|定义定义:设设A为为n阶方阵阶方阵,若若|A|0,称称A为非奇异方阵为非奇异方阵;若若|A|=0,称称A为奇异方阵为奇异方阵.(1)方阵方阵A可逆可逆|A|0(2)若若AB=E(或或BA=E),则则B=A 114.逆矩阵的判别逆矩阵的判别(1)用伴随方阵用伴随方阵:(2)用初等行变换用初等行变换:(A E)初等行变换初等行变换(E A 1)初等列变换初等列变换(3)用初等列变换用初等列变换:15.逆矩阵的求法逆矩阵的求法(2)若若A可逆可逆,则则A 1也可逆也可逆,且且(A 1)1=A(1)若若A可逆可逆,则有则有|A 1|=|A|1(3)若若A可逆可逆,数数 0,则则 A可逆可逆,且且(A)1=(4)若若A、B为同阶方阵为同阶方阵,且均可逆且均可逆,则则AB亦可逆亦可逆,且且(AB)1=B 1A 1(5)若若A可逆可逆,则则A 也可逆也可逆,且且(A)1=(A 1)(6)若若A可逆可逆,则则AE(7)矩阵矩阵A可逆可逆A等于一组初等方阵之积等于一组初等方阵之积16.逆矩阵的性质逆矩阵的性质(1)|A|=|A1|A1|As|;17.准对角矩阵准对角矩阵 的性质的性质19.矩阵秩的性质矩阵秩的性质(1)0R(A)min行数行数,列数列数(2)R(A)=R(A)(3)R(AB)minR(A),R(B)(2)用用k阶子式阶子式 设矩阵设矩阵A中有一个中有一个r阶子式阶子式D 0,且所有含有且所有含有D的的r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)都等于零都等于零,则则R(A)=r.(1)用对应的向量组用对应的向量组(3)用初等变换用初等变换18.矩阵秩的求法矩阵秩的求法(1)判别判别:AX=0只有零解只有零解R(A)=n AX=0有非零解有非零解R(A)=rn(2)求通解求通解:1 将系数矩阵化成行最简形将系数矩阵化成行最简形2 写出行最简形对应的同解方程组写出行最简形对应的同解方程组3 自由变量取值得基础解系自由变量取值得基础解系 1,2,n r4 写出通解写出通解:X=k1 1+k2 2+kn r n r(k1,k2,kn r R)21.n元齐次线性方程组元齐次线性方程组AX=0的求解的求解(1)用于判别方程组有无解用于判别方程组有无解(2)用于求解方程组用于求解方程组用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵20.线性方程组线性方程组的矩阵消元法的矩阵消元法(1)判别判别:AX=b有唯一解有唯一解R(A)=R(A,b)=n AX=b有无穷解有无穷解R(A)=R(A,b)=rn AX=b无解无解R(A)0A与与E合同合同A的各阶主子式的各阶主子式0存在可逆阵存在可逆阵Q,使得使得A=Q Qf=X AX为正定为正定如果如果 X 0,都都有有f0f的的正惯性指数为正惯性指数为n32.正定二次型正定二次型