线性代数5-4.正交矩阵.ppt

4 4 正交矩阵正交矩阵 1.内积的概念内积的概念 定义定义4.14.1 设有设有n维实向量维实向量规定规定 （，）=a1b1+a2b2+anbn称（称（，）为向量）为向量与与的的内积内积。(1)4.14.1、实向量的内积与长度、实向量的内积与长度 2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。列向量列向量：(,)=T;行向量行向量：(,)=T。2.2.内积的性质：内积的性质：设设 ，为为n 维实向量，维实向量，为实数。为实数。性质性质1 1 (,)=(,);性质性质2 2 (,)=(,);性质性质3 3 (+,)=(,)+(,)；1）内积是一个数（或是一个多项式）。）内积是一个数（或是一个多项式）。性质性质4 4 当当 0时，时，(,)0。显然，显然，(0,0)=0，由此便知实向量，由此便知实向量 =0 的充分的充分 必要条件必要条件 是是(,)=0。3.3.向量的范数与夹角向量的范数与夹角1 1）向量的范数）向量的范数(长度长度)定义定义4.24.2 令令称称x为为n维向量维向量x的的范数范数。2 2）范数的性质）范数的性质 i）非负性非负性 当x 0 时,x0；当 x=0时,x=0；ii）齐次性齐次性 x=x；3 3）单位向量）单位向量为单位向量。为单位向量。称称x=1时的向量时的向量x为为单位向量单位向量。任意。任意 0,P136 4.2 4.2 正交向量组正交向量组 定义定义4.34.3 设设 x、y 为为n实维向量实维向量,当（当（x,y）=0时，时，称称x与与y正交正交。记作。记作x y。若若x=0,则则 x 与任何向量都正交。反之，与任何向量都正交。反之，若若x 与任何向量都正交，则与任何向量都正交，则x=0.定义定义4.44.4 :如果一组非零向量两两正交，则称这如果一组非零向量两两正交，则称这组向量为组向量为正交向量组正交向量组。简称为。简称为正交组正交组。如果一个向量组仅含一个向量如果一个向量组仅含一个向量，当当 0时，则规定该向量组为正交组。时，则规定该向量组为正交组。解解 因为因为1,2,3均为非零向量均为非零向量,并且并且(1,2)=0,(1,3)=0,(2,3)=0,即即1,2,3两两正交，所以该两两正交，所以该向量组是正交组。向量组是正交组。是否为正交向量组。是否为正交向量组。P136 例例1 1 判断实向量组判断实向量组取取i (i=1,2,r)在上式的两端作内积。在上式的两端作内积。（11+22+rr，i）=（0,i），），定理定理4.14.1 若若n 维向量维向量 1,2,r 是一组两两是一组两两正交正交11+22+rr=0,证明证明 设有设有 ,使使的非零向量的非零向量,则则1,2,r 线性无关。线性无关。(i=1,2,r)于是向量组于是向量组 1,2,r 线性无关线性无关.因因 i0 ,故故(i,i)=|i|2 0,从而从而 必有必有 i=0 亦即亦即 ii,i =0。ii,i =0，从而从而P136定义定义4.54.5 如果一个正交向量组中每个向量都如果一个正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为一个是单位向量，则称该向量组为一个单位正交向单位正交向量组量组，简称单位正交组（或标准正交组、规范，简称单位正交组（或标准正交组、规范正交组）。正交组）。由上述定义可知，由上述定义可知，n维实向量组维实向量组1,2,s为单位正交组的充分必要条件是为单位正交组的充分必要条件是显然显然n维基本向量组维基本向量组e1,e2,en是单位正交向量组。是单位正交向量组。把一组线性无关的实向量组把一组线性无关的实向量组1,2,s正交化，正交化，即求与即求与1,2,s等价的正交向量组等价的正交向量组1 1,2 2,s s是一项很有实用价值的工作，下面我们将介绍是一项很有实用价值的工作，下面我们将介绍SchmidtSchmidt逐步正交化方法。其具体步骤逐步正交化方法。其具体步骤(参见书参见书P137P137）设设是线性无关的向量组，是线性无关的向量组，即合所求的正交向量组。即合所求的正交向量组。例例2 2 设设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解解 取取故故即合所求。即合所求。解解:1，2 应满足应满足3Tx=0的非零解的非零解,即即它的基础解系为它的基础解系为例例3 已知 ,求非零向量求非零向量1，2，使，使3与与1，2正交正交,并把它们化成标准正交组。并把它们化成标准正交组。取取b1=1,则则3 与与1，2 正交，显然正交，显然1与与2 线性无关，因此可线性无关，因此可用施密特标准正交化用施密特标准正交化.令令再把再把 3单位化，得单位化，得4.3 4.3 正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换l 1.1.正交矩阵正交矩阵 定义定义4.64.6 如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足满足那么称那么称A为为正交矩阵正交矩阵.将矩阵将矩阵A按列分块按列分块,即即则则 E。亦即亦即 这说明方阵这说明方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A的列向量都是两两正交的单位向量。同理可得方阵的列向量都是两两正交的单位向量。同理可得方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是两的行向量都是两两正交的单位向量。两正交的单位向量。定理定理4.24.2 n阶实矩阵阶实矩阵A为正交矩阵的充分必为正交矩阵的充分必要条件是要条件是A的行（列）向量都是两两正交的单位的行（列）向量都是两两正交的单位向量。向量。例例4 4 设设e1,e2,en是标准正交组，是标准正交组，A为正交矩阵。试证为正交矩阵。试证Ae1,Ae2,Aen也是一个标准正交组。也是一个标准正交组。证明证明 由于由于e1,e2,en是标准正交组，所以是标准正交组，所以故故Ae1，Ae2，Aen也是一个标准正交组。也是一个标准正交组。推论推论4.14.1 n阶实矩阵阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要为正交矩阵的充分必要 条件是条件是A-1=AT.正交矩阵具有如下的性质：正交矩阵具有如下的性质：P140 性质性质1 1 若若A是正交矩阵，则是正交矩阵，则-A也是为正交矩阵；也是为正交矩阵；性质性质2 2 若若A是正交矩阵，则是正交矩阵，则AT（A-1）也是正交矩阵；）也是正交矩阵；性质性质3 3 若若A、B都是都是n阶正交矩阵，则阶正交矩阵，则AB也是也是n阶阶 正交矩阵；正交矩阵；性质性质4 4 若若A是正交矩阵，则必有是正交矩阵，则必有|A|=1或或|A|=-1。性质性质5 5 若若A是正交矩阵是正交矩阵,则则2.2.正交变换正交变换 P140P140定义定义4.74.7（修改）修改）设设P P为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换 y=Px 称为正交变换。称为正交变换。设设 y=Px 为正交变换，则有为正交变换，则有 x表示向量长度表示向量长度,x=y说明说明经正交变换向量的经正交变换向量的长度保持不变长度保持不变,这是正交变换的优良特性。这是正交变换的优良特性。1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化小小 结结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：