线性代数1-3-分块矩阵、几种特殊方阵的运算.ppt

教学目的：通过本节的教学使学生理解分块矩阵的概教学目的：通过本节的教学使学生理解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的性质和计算的方法念，掌握分块矩阵的性质和计算的方法.认识分块矩阵在矩认识分块矩阵在矩阵理论中的地位与作用，为今后的学习打良好基础。阵理论中的地位与作用，为今后的学习打良好基础。教学要求教学要求：理解分块矩阵的概念，深刻理解分块矩阵理解分块矩阵的概念，深刻理解分块矩阵的性质，熟练掌握分块矩阵的计算方法，会用分块矩阵解的性质，熟练掌握分块矩阵的计算方法，会用分块矩阵解决各种实际问题。决各种实际问题。教学重点：分块矩阵的定义和性质，分块矩阵的计算教学重点：分块矩阵的定义和性质，分块矩阵的计算方法，用分块矩阵的理论化简矩阵的运算。方法，用分块矩阵的理论化简矩阵的运算。教学难点：分块矩阵的乘法。教学难点：分块矩阵的乘法。3 3 3 3 分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算分块矩阵及矩阵的分块运算在理论研究及一些实际问题中，经常遇到在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。我们的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵将矩阵A A用用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为一个小矩阵称为A A的子块，以子块为元素的的子块，以子块为元素的形式上的矩阵形式上的矩阵称为称为分块矩阵分块矩阵。作用：作用：简化高阶矩阵运算简化高阶矩阵运算 简化运算的表达形式简化运算的表达形式看清结构看清结构一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念例如例如即即即即按行分块得分块列矩阵按行分块得分块列矩阵按列分块得分块行矩阵按列分块得分块行矩阵二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则加加法法同型同型数数乘乘乘乘法法转转置置大块小块一起转大块小块一起转 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求;相应的子块间也应符合运算的要求相应的子块间也应符合运算的要求.说明：说明：例例3.1 设设解解(教材第教材第17页例页例3.1)则则又又于是于是例例3.2其中其中其中其中三、分块对角矩阵（准对角矩阵）三、分块对角矩阵（准对角矩阵）形如形如其中其中Ai（i=1，2，s）均为方阵，且其余子块）均为方阵，且其余子块均为零矩阵的分块矩阵，称为均为零矩阵的分块矩阵，称为分块对角矩阵或分块对角矩阵或准对角矩阵准对角矩阵。设设A、B均为分块对角矩阵，且均为分块对角矩阵，且则有则有 由此可见，分块对角矩阵对于矩阵的线性运由此可见，分块对角矩阵对于矩阵的线性运算、乘积以及转置运算均是算、乘积以及转置运算均是封闭封闭的。的。请牢记以上几个公式请牢记以上几个公式!对角线子块做相应运算对角线子块做相应运算 1、掌握分块矩阵的各种分块方法，会用分块矩阵的、掌握分块矩阵的各种分块方法，会用分块矩阵的方法化简矩阵的运算方法化简矩阵的运算.2、重点掌握将矩阵按行分块、按列分块和分块对角、重点掌握将矩阵按行分块、按列分块和分块对角矩阵的分块方法矩阵的分块方法.在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一矩阵的分块是一种最基本、最重要的计算技巧与方法种最基本、最重要的计算技巧与方法.四、小结四、小结 3 3、分块矩阵之间的运算、分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(1)(1)加法加法(2)(2)数乘数乘(3)(3)乘法乘法第第 四节四节 几种特殊矩阵几种特殊矩阵4.1 对角矩阵对角矩阵(diagonal matrix)，如下的矩阵，如下的矩阵称为对角矩阵，称为对角矩阵，可简记为可简记为设设A、B均为均为n阶对角矩阵，且阶对角矩阵，且则有则有 由此可见，对角阵的和、差、乘积以及对角阵的由此可见，对角阵的和、差、乘积以及对角阵的数乘结果仍为对角阵。我们把这一特性称为对角矩阵数乘结果仍为对角阵。我们把这一特性称为对角矩阵的线性运算和乘法运算的的线性运算和乘法运算的封闭封闭性。性。数量矩阵数量矩阵(scalar matrix)也称标量矩阵也称标量矩阵,记作记作 。上（下）三角形矩阵的线性运算封闭，且对于上（下）三角形矩阵的线性运算封闭，且对于n阶阶上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵A、B，AB的主对角元恰是的主对角元恰是A、B相相应主对角元的乘积。应主对角元的乘积。（请大家自己证明）（请大家自己证明）对称阵与反称阵关于矩阵的线性运算封闭，对称阵与反称阵关于矩阵的线性运算封闭，而对矩阵的乘法不具封闭性。而对矩阵的乘法不具封闭性。1.1.设设A、B均为均为n阶上（下）三角矩阵，试证阶上（下）三角矩阵，试证AB也为也为n阶上（下）三角矩阵。阶上（下）三角矩阵。（书（书P25第一题）第一题）证明证明：（不妨证上三角矩阵的情形：（不妨证上三角矩阵的情形)设设课堂练习：课堂练习：则有则有 所以，所以，n阶上（下）三角阵阶上（下）三角阵A、B的乘积也为的乘积也为n阶上（下）三角矩阵。阶上（下）三角矩阵。2.设设A为为n阶反称矩阵，阶反称矩阵，B为为n阶对称阵，则阶对称阵，则AB+BA是是n阶反称矩阵。阶反称矩阵。（P23例例4.3）证明：证明：解法解法1：3.3.由此归纳出由此归纳出用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，所以对于任意的所以对于任意的 都有都有书书P14(B)P14(B)第第3 3题是本题题是本题 的情形。的情形。解法解法2 2：分解：分解所以有所以有而而