线性代数PPT课件第四章第四节线性方程组解的结构.ppt

第四章第四章 第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构问题问题:当解有无穷多时当解有无穷多时,全部解是否可由有全部解是否可由有 限多解表示出来限多解表示出来?一一.齐次线性方程组齐次线性方程组(1)(1)可用矩阵表示可用矩阵表示 (系数矩阵系数矩阵)定理定理4.10 齐次线性方程组的解的线性组合也齐次线性方程组的解的线性组合也 为方程组的解为方程组的解.即即:为为 的解的解 也为也为 的解的解 定义定义 设设 为为 的解的解,满足满足(1)线性无关线性无关;(2)的任一解可由的任一解可由 线性表示线性表示.称称 为为 的一个的一个基础解系基础解系基础解系是否存在基础解系是否存在?定理定理4 对于于n元元齐次次线性方程性方程组若若则基基础解系存在解系存在,且任一且任一基基础解系中包含解的个数解系中包含解的个数为证明明 因因为同解方程组为同解方程组为现分别取现分别取的的 组值组值从而得到原方程组的从而得到原方程组的个解个解为为的基础解系的基础解系.为为 个个.任意两个基础解系等价任意两个基础解系等价,故有相同个数解向量故有相同个数解向量,例例 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：求下列齐次线性方程组的一个基础解系：解解基础解系含有基础解系含有个解向量。同解方程组为个解向量。同解方程组为 将将解解写为写为向量向量形式形式 基础解系基础解系为为例例 求求 的值的值,使使齐次线性方程组齐次线性方程组解解有非零解有非零解,并求它并求它的基础解系的基础解系及一般解及一般解.系数行列式系数行列式故当故当 时时,方程有非零解方程有非零解.系数矩阵系数矩阵得得基础解系基础解系为为得一般解为得一般解为令令为任意常数为任意常数),二二.非齐次线性方程组非齐次线性方程组(2)矩阵形式为矩阵形式为 定理定理4.12(1)若若 为为 的两个解的两个解,则则 为对应齐次方程组为对应齐次方程组 的解的解.(2)的通解可表为的通解可表为 为为 的特解的特解,为为 的的 通解通解.即即例例 求方程组求方程组解解 的通解的通解(用基础解系与特解表示用基础解系与特解表示)同解方程组为同解方程组为 将将解解写为写为向量向量形式形式 基础解系为基础解系为特解为特解为通通解为解为 为为任意常数任意常数.例例 求求 的值的值,使下述方程组有解使下述方程组有解,并并求一般解求一般解解解 当当 时方程组有解时方程组有解,此时此时同解方程组为同解方程组为 将将解解写为写为向量向量形式形式 一般一般解为解为 为为任意常数任意常数.