线性代数课件-12特征值与特征向量.ppt

主要内容第十二讲 特征值与特征向量v特征值与特征向量的概念、求法；特征值与特征向量的概念、求法；v特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质.基本要求基本要求v理解矩阵的特征值与特征向量的概念，理解矩阵的特征值与特征向量的概念，了解其性质，并掌握其求法了解其性质，并掌握其求法.1一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念第第二二节节 方方阵阵的的特特征征值值与与特特征征向向量量定义定义 设设 是是 阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数 和和 维非零列向维非零列向量量 使关系式使关系式成立，成立，那么这样的数那么这样的数 称为方阵称为方阵 的的特征值；特征值；非非零向量零向量 称为方阵称为方阵 的的对应于特征值对应于特征值 的特征向量的特征向量.注意：注意：关系式关系式 是特征值与特征向量满足的条是特征值与特征向量满足的条 件式，由此可知件式，由此可知 必须为方阵必须为方阵.零向量显然满足关系式零向量显然满足关系式 ，但零向量不，但零向量不 是特征向量是特征向量.特征向量是非零向量特征向量是非零向量.2二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法1.结论的引入结论的引入若若 是是 的特征值，的特征值，是是 的对应于的对应于 的特征向的特征向量，则有量，则有方程方程 有非零解，且有非零解，且 是它的是它的一个非零解一个非零解 是代数方程是代数方程 的根的根.3以以 为未知数的一元为未知数的一元 次方程次方程称为方阵称为方阵 的的特征方程特征方程.以以 为变元的为变元的 次多项式次多项式 ，即，即称为方阵称为方阵 的的特征多项式特征多项式.42.结论结论 矩阵矩阵 的特征方程的特征方程 的根就是的根就是 的的特征值特征值.在复数范围内在复数范围内 阶矩阵有阶矩阵有 个特征值个特征值(重重根按重数计算根按重数计算).设设 是方阵是方阵 的一个特征值，则齐次方程的一个特征值，则齐次方程的全体非零解就是的全体非零解就是 的对应于特征值的对应于特征值 的全部特的全部特征向量；征向量；齐次方程齐次方程 的基础解系就是的基础解系就是对应于特征值对应于特征值 的全体特征向量的最大无关组的全体特征向量的最大无关组.5例例1 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 析：这是一道非常简单的求特征值和特征向析：这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤步骤.的特征多项式的特征多项式所以所以 的特征值为的特征值为6当当 时，对应的特征向量应满足时，对应的特征向量应满足即即解得解得得基础解系得基础解系所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为7当当 时，对应的特征向量应满足时，对应的特征向量应满足即即解得解得得基础解系得基础解系所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为8例例2 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 的特征多项式的特征多项式所以所以 的特征值为的特征值为9当当 时，解齐次方程时，解齐次方程 ，得基础解系得基础解系所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为10得基础解系得基础解系当当 时，解齐次方程时，解齐次方程 ，所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为11例例3 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 的特征多项式的特征多项式所以所以 的特征值为的特征值为12当当 时，解齐次方程时，解齐次方程 ，得基础解系得基础解系所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为13得基础解系得基础解系当当 时，解齐次方程时，解齐次方程 ，所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为(不同时为不同时为0).14说明说明例例2和例和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致一致.但是，要注意它们的区别，在例但是，要注意它们的区别，在例2中，对应中，对应于于2重特征值重特征值 仅有一个线性无关特征向仅有一个线性无关特征向量；在例量；在例3中，对应于中，对应于2重特征值重特征值 有两个有两个线性无关特征向量线性无关特征向量.15三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质 设设 阶矩阵阶矩阵 的的 个个(在复数范围内在复数范围内)特征值为特征值为 则则(的的迹迹 )1.特征值的性质特征值的性质 若若 是是 的特征值，且的特征值，且 ，则，则 是矩阵是矩阵的特征值的特征值.证明证明举例举例证明证明举例举例16 若若 是是 的特征值，则的特征值，则 是矩阵是矩阵 的的特征值特征值.一般地，若一般地，若 是是 的特征值，且的特征值，且则则 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.说明说明 如果如果 ，则上述结论中的幂指数可取任意实数，则上述结论中的幂指数可取任意实数.证明证明 若若 是是 的特征值，且的特征值，且 ，则，则 是是 的的特征值特征值.证明证明特特征征值值的的性性质质17 若若 阶矩阵阶矩阵 的秩为的秩为 ，则，则 0 一定一定是的特征值是的特征值.但是必须注意但是必须注意 0 不一定不一定 是重特是重特征值征值.证明证明 设设 为为 阶矩阵，则阶矩阵，则 与与 的特征值相同的特征值相同.证明证明特特征征值值的的性性质质18 若若 是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则 也是也是 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量.若若 是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则 也是也是 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量.2.特征向量的性质特征向量的性质 设设 是方阵是方阵 的的 个特征值，个特征值，依次是与之对应的特征向量，依次是与之对应的特征向量，如果如果 互不相等，则互不相等，则 线性无关线性无关.证明证明举例举例19例例4 设设3阶矩阵阶矩阵 的特征值的特征值 为求为求解解 析：此例的目的是熟悉特征值的性质析：此例的目的是熟悉特征值的性质(1)(2)(3),根据性质根据性质(1)知，求得知，求得 的全部特征值，就可求的全部特征值，就可求得得 .此方法提供了求行列式的一个方法，即此方法提供了求行列式的一个方法，即方阵方阵 的行列式的行列式=的全部特征值之积的全部特征值之积.因为的特征值为因为的特征值为 ，全不为，全不为0，所以所以 可逆，且可逆，且则有则有故故 的特征值为的特征值为20因此因此21例例5 设设 和和 是矩阵是矩阵 的两个不同的特征向量，的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为 和和 ，证证 根据题设，有根据题设，有析：要证明一个向量不是特征向量，通常用析：要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法反证法.用反证法，假设用反证法，假设 是是 的特征向量，的特征向量，则存在数则存在数 ，使，使 证明证明 不是不是 的特征向量的特征向量.22因为因为 ，所以，所以 线性无关，故线性无关，故即有即有与题设矛盾与题设矛盾.因此因此 不是不是 的特征向量的特征向量.23四、小结四、小结v设设 是是 阶矩阵，若有数阶矩阵，若有数 和非零列向量和非零列向量 ，使，使则称则称 是是 的特征值，的特征值，为为 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量.v矩阵矩阵 的特征值是特征方程的特征值是特征方程 的根的根.v矩阵矩阵 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量是齐次方程的特征向量是齐次方程的非零解的非零解.v特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质.24特特征征值值的的性性质质的的证证明明 证证 因为因为 是是 的的 个特征向量，则有个特征向量，则有即即令令 ，即得，即得另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有展开式中，只有对角元之积含有25这些这些项中项中不含不含比较两端的比较两端的 的系数，可得的系数，可得即即证毕证毕特特征征值值的的性性质质的的证证明明26特特征征值值的的性性质质的的证证明明因为因为 是是 的特征值，的特征值，证证所以存在非零向量所以存在非零向量 使使又由又由 知知，可逆，且可逆，且 ，所以，所以这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.证毕证毕27特特征征值值的的性性质质的的证证明明 证证因为因为 是是 的特征值，的特征值，所以存在非零向量所以存在非零向量 使使用用 左乘上式两端得左乘上式两端得这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.类似地，可以证类似地，可以证 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.证毕证毕28特特征征值值的的性性质质的的证证明明 证证因为因为 是是 的特征值，的特征值，所以存在非零向量所以存在非零向量 使使又因为又因为 ，所以，所以这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.证毕证毕29特特征征值值的的性性质质的的证证明明 证证因为因为所以所以 而而有非零解有非零解因此存在非零向量因此存在非零向量 ，使，使这表明这表明 0 是是 的特征值的特征值.证毕证毕30特特征征值值的的性性质质的的证证明明 证证 根据特征值满足的条件：是特征方程根据特征值满足的条件：是特征方程 的根，所以要证的根，所以要证 与与 的特征值相同，的特征值相同，只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同特征多项式相同.因为因为所以所以 与与 的特征多项式相同，从而的特征多项式相同，从而 与与 的的特征值相同特征值相同.证毕证毕31特特征征向向量量的的性性质质的的证证明明证证 设存在设存在 使使是方阵是方阵 的特征值，的特征值，依次是与之对应的特征向量，即有依次是与之对应的特征向量，即有因为因为所以所以即即即即(1)(2)(3)32类推下去类推下去有有(m)把以上把以上 个等式合写成矩阵等式，得个等式合写成矩阵等式，得上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，列式，当当 互不相等时，互不相等时，该行列式该行列式不等于不等于0，从而该矩阵可逆，从而该矩阵可逆.于是有于是有特特征征向向量量的的性性质质的的证证明明33即即又又因此必有因此必有所以所以 向量组线性无关向量组线性无关.证毕证毕特特征征向向量量的的性性质质的的证证明明34