5.7场论初步-第五章--曲线积分与曲面积分---微积分课件.ppt

5.7 场论初步场论初步 在现实空间中，有着各种各样的物理现象，如在现实空间中，有着各种各样的物理现象，如力作用在运动着的质点上要做功，空间中各点气压力作用在运动着的质点上要做功，空间中各点气压的不同而形成气流，水流因各点的速度不同而形成的不同而形成气流，水流因各点的速度不同而形成漩涡。这些物理现象都是由物理量的某种分布而产漩涡。这些物理现象都是由物理量的某种分布而产生的。在物理学中，将发生物理现象的空间称为场。生的。在物理学中，将发生物理现象的空间称为场。如果场中每一点对应的物理量是数量，我们就如果场中每一点对应的物理量是数量，我们就将它称为数量场；如果场中每一点对应的物理量将它称为数量场；如果场中每一点对应的物理量是向量，我们就将它称为向量场。是向量，我们就将它称为向量场。带电体周围空间形成电场，当我们考虑电场中带电体周围空间形成电场，当我们考虑电场中每一点的电位时，是数量场，当我们考虑电场中每一点的电位时，是数量场，当我们考虑电场中每一点的电场力时，是向量场。每一点的电场力时，是向量场。如果场中每一点所对应的量不随时间变化，这如果场中每一点所对应的量不随时间变化，这样的场称为定常场，或稳定场，恒稳场。如果场中样的场称为定常场，或稳定场，恒稳场。如果场中每一点所对应的量随时间变化，这样的场称为不定每一点所对应的量随时间变化，这样的场称为不定常场，或不稳定场。常场，或不稳定场。一般情况下，场中所对应的量都随时间变化，但一般情况下，场中所对应的量都随时间变化，但有许多场在一段时间里随时间变化非常缓慢，就可有许多场在一段时间里随时间变化非常缓慢，就可以近似看成不随时间变化。因此，为了研究问题的以近似看成不随时间变化。因此，为了研究问题的方便，常考虑定常场。方便，常考虑定常场。在数学中，定常的数量场相当于一个空间区在数学中，定常的数量场相当于一个空间区域域及在及在上定义的数量函数上定义的数量函数u=u(x,y,z)定常的向量场相当于一个空间区域定常的向量场相当于一个空间区域及在及在上上定义的向量函数定义的向量函数本节主要介绍散度和旋度。本节主要介绍散度和旋度。散度、旋度和梯度是场论中常用的基本概念散度、旋度和梯度是场论中常用的基本概念。5.7.1 等值面和梯度等值面和梯度数量场数量场u=u(x,y,z)的梯度定义为的梯度定义为数量场的梯度是一个向量场，场中某点的梯度方向数量场的梯度是一个向量场，场中某点的梯度方向是函数是函数u=u(x,y,z)在该点变化率最大的方向。在该点变化率最大的方向。设在空间设在空间中定义了一个数量场中定义了一个数量场u=u(x,y,z)，并，并设在设在中中u具有连续一阶偏导数，则称具有连续一阶偏导数，则称中的曲面中的曲面u(x,y,z)=c(c为常数）为该数量场的等值面。为常数）为该数量场的等值面。此法线的方向向量此法线的方向向量 由此可以看出，数量场由此可以看出，数量场u=u(x,y,z)在点在点M0处的梯度处的梯度就是过就是过M0的等值面的法线方向，而且由数值较低的的等值面的法线方向，而且由数值较低的等值面指向是指较高的等值面。等值面指向是指较高的等值面。5.7.2 通量与散度1.1.通量通量与通量密度与通量密度:不一定封闭因而当因而当 时，所围区域时，所围区域必有源存在必有源存在。但当但当v(x,y,z)表示不同的物理量时，源有着不同的表示不同的物理量时，源有着不同的物理意义。例如物理意义。例如v表示电流强度，正源表示正电荷，表示电流强度，正源表示正电荷，它发出电力线；负源表示存在负电荷，它吸收电它发出电力线；负源表示存在负电荷，它吸收电力线等。力线等。2.2.散度的定义散度的定义:散度的计算散度的计算5.7.3 环量与旋度环量与旋度1.1.环流量的定义环流量的定义:利用利用stokesstokes公式公式,有有2.2.旋度的定义旋度的定义:斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式其中其中例例5 5 求下列向量场的旋度求下列向量场的旋度解解解解由力学知道点由力学知道点 的线速度为的线速度为由此可看出旋由此可看出旋度与旋转角速度与旋转角速度的关系度的关系.观察旋度观察旋度由此可看出旋由此可看出旋度与旋转角速度与旋转角速度的关系度的关系.设设 则则(2)设设 则则高斯公式可写为高斯公式可写为