静电场2课件学习.pptx

静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场,恒恒定磁场及时变场。定磁场及时变场。本章要求本章要求 深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。掌握静电场基本方程和边界条件。掌握电位的边值问题及其掌握静电场基本方程和边界条件。掌握电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、电容等的各种计算方法。解法。熟练掌握电场、电位、电容等的各种计算方法。第1页/共51页2.1 库仑定律和电场强度库仑定律和电场强度电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以以E 表示表示。式中式中q 为试验电荷的电量，为试验电荷的电量，F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。N(N(牛顿牛顿)适用条件：适用条件：1.1.库仑定律：库仑定律：v两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;v真空中的介电常数真空中的介电常数F/mF/m；2.电场强度矢量电场强度矢量第2页/共51页电场线电场线方程方程用电场线围用电场线围成成电场管电场管带电平行板 负电荷 正电荷 几种典型的电场线分布几种典型的电场线分布由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。第3页/共51页（a)a)单个点电荷产生的电场强度单个点电荷产生的电场强度V/m（b)b)n n个点电荷产生的电场强度个点电荷产生的电场强度 (矢量叠加原理矢量叠加原理 )（c)c)连续分布电荷产生的电场强度连续分布电荷产生的电场强度元电荷产生的电场元电荷产生的电场线电荷分布线电荷分布体电荷分布体电荷分布面电荷分布面电荷分布第4页/共51页例例1 求长度为求长度为L，线密度为，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。的均匀线分布电荷的电场强度。解：解：令圆柱坐标系的令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角由于结构旋转对称，场强与方位角 无无关。因为电场强度的方向无法判断，不关。因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律求解其电场强度。只好能应用高斯定律求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。进行直接积分，计算其电位及电场强度。因场量与因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点无关，为了方便起见，可令观察点P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 y1xz2r0第5页/共51页求得求得当长度当长度 L 时，时，1 0，2 ，则，则两个分量为两个分量为由于由于y1xz2r0第6页/共51页例例2 2 有面密度为有面密度为 的无限大均匀带电平面，求周围空间的电场。的无限大均匀带电平面，求周围空间的电场。解：解：分析题意，电场的分布以无限大带分析题意，电场的分布以无限大带电平面两侧为对称。采用直角坐标系，电平面两侧为对称。采用直角坐标系，作计算图。为了简化求解过程，将观察作计算图。为了简化求解过程，将观察点点P P取在取在z z轴上。以原点轴上。以原点o o为圆心，作一为圆心，作一半径为半径为 ，宽为的圆环，宽为的圆环，为为环上的元电荷，如图所示。根据对称性，环上的元电荷，如图所示。根据对称性，此环形元电荷的电场方向沿此环形元电荷的电场方向沿z z轴，即轴，即RzPodEz则无限大面电荷在则无限大面电荷在P P点产生的电场为点产生的电场为第7页/共51页2.2 电位与等位面电位与等位面 静静电电场场中中某某点点的的电电位位，其其物物理理意意义义是是单单位位正正电电荷荷在在电电场场力力的的作作用下，自该点沿用下，自该点沿任一条任一条路径移至无限远处过程中电场力作的路径移至无限远处过程中电场力作的功功。应应该该注注意意，这这里里所所说说的的电电位位实实际际上上是是该该点点与与无无限限远远处处之之间间的的电电位位差差，或或者者说说是是以以无无限限远远处处作作为为参参考考点点的的电电位位。原原则则上上，可可以以任任取取一一点点作作为为电电位位参参考考点点。显显然然，电电位位的的参参考考点点不不同同，某某点点电电位位的的值值也也不不同同。但但是是任任意意两两点点之之间间的的电电位位差差与与电电位位参参考考点点无无关关，因因此此电电位位参参考考点点的的选选择择不不会会影影响响电电场场强强度度的的值值。当当电电荷荷分分布布在在有有限限区区域域时时，通通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。电位的数学表示电位的数学表示式中式中q 为电荷的电量，为电荷的电量，W 为电场力将电荷为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。推到无限远处作的功。点电荷：点电荷：第8页/共51页 由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直电场线与等位面一定处处保持垂直。若规。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。可表示电场强度的强弱。电位相等的曲面称为电位相等的曲面称为等位面等位面，其方程为，其方程为电场线电场线等位面等位面式中常数式中常数 C 等于电位值。等于电位值。E第9页/共51页1.电位参考点电位参考点例如：点电荷产生的电位：例如：点电荷产生的电位：点电荷所在处不能作为参考点点电荷所在处不能作为参考点v场中任意两点之间的电位差与参考点无关。场中任意两点之间的电位差与参考点无关。v选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。v电位参考点可任意选择，但电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。同一问题，一般只能选取一个参考点。第10页/共51页 标标量量函函数数 称称为为电电位位。真真空空中中静静电电场场在在某某点点的的电电场场强强度度等等于于该点电位梯度的该点电位梯度的负负值。值。按照国家标准，电位以小写希腊字母按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，应写为表示，应写为2.电位梯度电位梯度证明：证明：电位梯度增加时，克服电场力做功电位梯度增加时，克服电场力做功第11页/共51页例例3 3 计算电偶极子的电场强度。计算电偶极子的电场强度。解：解：由前述电位和电场强度的计算公式由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为位应为 若观察距离远大于两电荷的间距若观察距离远大于两电荷的间距 l，则可认为，则可认为 ，与与 平行，则平行，则x-q+qzylrr-r+O第12页/共51页式式中中l 的的方方向向规规定定由由负负电电荷荷指指向向正正电电荷荷。通通常常定定义义乘乘积积 q l 为为电电偶偶极子的电矩，以极子的电矩，以 p 表示，即表示，即求得求得那么电偶极子产生的电位为那么电偶极子产生的电位为 利用关系式利用关系式 ，求得电偶极子的电场强度为，求得电偶极子的电场强度为第13页/共51页 上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特点有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。第14页/共51页2.3 真空中静电场方程真空中静电场方程 物物理理实实验验表表明明，真真空空中中静静电电场场的的电电场场强强度度E 满满足足下下列列两两个个积分形式的方程积分形式的方程式中式中0 为真空介电常数。为真空介电常数。左式称为高斯定理，右式表明真空中静电场的电场强度沿任一条闭合左式称为高斯定理，右式表明真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。曲线的环量为零。第15页/共51页 1.高斯定理高斯定理a)电通量：在电场中通过某一曲面电力线的根数电通量：在电场中通过某一曲面电力线的根数:b)高斯定理：高斯定理：真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。数之比。以点电荷为例以点电荷为例 分析任意形状的闭合面分析任意形状的闭合面S S对对 点所张的点所张的立体角立体角：当点位于当点位于S S内时，曲面内时，曲面S S与球面对点所张的立体角相等，为与球面对点所张的立体角相等，为4 4 。当点在闭合面外，两部分的立体角等值异号互相抵消，于是曲面当点在闭合面外，两部分的立体角等值异号互相抵消，于是曲面S S对对点所张的立体角为零。点所张的立体角为零。qER第16页/共51页例例3 设半径为设半径为a，电荷体密度为，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。计算该带电圆柱体内外的电场强度。xzyaLS1 解：解：选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一线。由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，值，上下均匀无限长，因此场量与上下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。坐标无关。对于任一对于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于因此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐轴，且与径向坐标标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度的特点，场强一定与角度 无关。无关。取半径为取半径为 r，长度为，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律高斯定律 第17页/共51页 因因电电场场强强度度方方向向处处处处与与圆圆柱柱侧侧面面S1的的外外法法线线方方向向一一致致，而而与与上上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为当当 r a 时，则电量时，则电量q 为为 ,求得电场强度为求得电场强度为 第18页/共51页 上上式式中中a2 可可以以认认为为是是单单位位长长度度内内的的电电量量。那那么么，柱柱外外电电场场可可以以看看作作为为位位于于圆圆柱柱轴轴上上线线密密度度为为 =a2 的的线线电电荷荷产产生生的的电电场场。由由此我们推出线密度为此我们推出线密度为 的的无限长线电荷无限长线电荷的电场强度为的电场强度为 由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。分计算电位或电场强度，显然不易。第19页/共51页2.2.静电场的无旋性静电场的无旋性根据静电场基本方程可以求出电场强度的散度及旋度，根据静电场基本方程可以求出电场强度的散度及旋度，即即左式表明，真空中静电场的电场强度在某左式表明，真空中静电场的电场强度在某点点的散度等于该点的电荷体密的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比度与真空介电常数之比。右式表明，。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度真空中静电场的电场强度的旋度处处处为零处为零。由此可见，。由此可见，真空中静电场是真空中静电场是有散无旋有散无旋场。场。无旋性证明见书无旋性证明见书P43P43由此可以看出电场力沿闭合线路所做的功为零，静电场为保守场。由此可以看出电场力沿闭合线路所做的功为零，静电场为保守场。第20页/共51页（1 1）高斯定律中的电量）高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包围的全部正所包围的全部正负电荷的总和。负电荷的总和。3.静电场特性的进一步认识静电场特性的进一步认识:（2 2）静电场的电场线是不可能闭合的）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。，而且也不可能相交。（3 3）任意两点之间电场强度）任意两点之间电场强度 E 的的线积分与路径无关。真空中线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。的静电场和重力场一样，它是一种保守场。（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。场强度等三种计算静电场的方法。第21页/共51页例例4 计算点电荷的电场强度。计算点电荷的电场强度。解：解：点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它电荷的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷，球面取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律上式左端积分为上式左端积分为 得得或或第22页/共51页 也也可可通通过过电电位位计计算算点点电电荷荷产产生生的的电电场场强强度度。当当点点电电荷荷位位于于坐坐标标原原点时点电荷的电位为点时点电荷的电位为求得电场强度求得电场强度 E 为为 若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度E为为 第23页/共51页有极分子无极分子2.4 静电场中的介质与导体静电场中的介质与导体 导体中的电子通常称为导体中的电子通常称为自由电子自由电子，它们所携带的电荷称为，它们所携带的电荷称为自由自由电荷电荷。介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为。介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷束缚电荷。在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化极化。通常，无极分子的极化称为通常，无极分子的极化称为位移极化位移极化，有极分子的极化称为，有极分子的极化称为取向极取向极化化。无极分子有极分子Ea第24页/共51页 实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场，这种二次电场 Es 又又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。介 质合成场Ea+Es极 化二次场Es外加场Ea第25页/共51页 介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以极化强度，以P 表示，即表示，即 式中式中 pi 为体积为体积 V 中第中第 i 个电偶极子的电矩，个电偶极子的电矩，N 为为V 中电偶极子中电偶极子的数目。这里的数目。这里 V 应理解为物理无限小的体积。应理解为物理无限小的体积。实实验验结结果果表表明明，大大多多数数介介质质在在电电场场的的作作用用下下发发生生极极化化时时，其其极化强度极化强度 P 与介质中的合成电场强度与介质中的合成电场强度 E 成正比，即成正比，即式中式中e 称为称为极化率极化率，它是一个正实数。，它是一个正实数。第26页/共51页 空间各点极化率相同的介质称为空间各点极化率相同的介质称为均匀均匀介质，否则，称为介质，否则，称为非均匀非均匀介介质。质。发生极化以后，介质表面出现面分布的发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷束缚电荷。若介质内部。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷极化电荷。为极化强度，它与极化电荷的关系为为极化强度，它与极化电荷的关系为 为束缚电荷面密度，为束缚电荷面密度，为束缚电荷体密度。为束缚电荷体密度。第27页/共51页介质被极化后，分子可视作一个电偶极子。介质被极化后，分子可视作一个电偶极子。设设分分子子的的电电偶偶极极矩矩p p=q ql l。取取如如图图所所示示体体积积元元，其其高高度度 等等于于分分子子极极矩长度。矩长度。则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元d dS S在空间中任取体积在空间中任取体积V V，其边界为，其边界为S S，则经，则经S S穿出穿出V V的正电荷量为的正电荷量为 穿出整个穿出整个S S面的电荷量为：面的电荷量为：由电荷守恒和电中性性质，留在由电荷守恒和电中性性质，留在S S面内的束缚电荷量为面内的束缚电荷量为 1、束缚电荷体密度、束缚电荷体密度所以留在所以留在S S面内的束缚电荷体密度为面内的束缚电荷体密度为 第28页/共51页在介质表面上，束缚电荷面密度为在介质表面上，束缚电荷面密度为 式中：式中：P P为媒质极化强度，为媒质极化强度，n n为媒质表面外法向单位矢量。为媒质表面外法向单位矢量。讨论：若分界面两边均为媒质讨论：若分界面两边均为媒质2、束缚电荷面密度、束缚电荷面密度从面元穿出的电荷量为从面元穿出的电荷量为介质1介质2n第29页/共51页v极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷；极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷；v由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；vP=P=常常矢矢量量时时称称媒媒质质被被均均匀匀极极化化，此此时时介介质质内内部部无无极极化化电电荷，极化电荷只会出现在介质表面上；荷，极化电荷只会出现在介质表面上；v均匀介质内部一般不存在极化电荷；均匀介质内部一般不存在极化电荷；v位于媒质内的自由电荷所在位置一定有极化电荷出现。位于媒质内的自由电荷所在位置一定有极化电荷出现。注意注意第30页/共51页 3.3.介质中的静电场方程介质中的静电场方程 在介质内部，穿过任一闭合面在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为的电通应为式中式中 q 为闭合面为闭合面 S 中的自由电荷，中的自由电荷，为闭合面为闭合面S 中的束缚电荷。那么中的束缚电荷。那么 令令 ，求得，求得此处定义的此处定义的 D 称为电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移称为电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关自由电荷，而与束缚电荷无关。上式又。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微分形式为分形式为 第31页/共51页 介质中介质中微分形式的高斯定律表明，微分形式的高斯定律表明，某某点点电位移的散度等于该点电位移的散度等于该点自由电荷的体密度自由电荷的体密度。电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该点电位移的方向，这些曲线称为点电位移的方向，这些曲线称为电位移线电位移线。若规定电位移线组成的。若规定电位移线组成的相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可表示电位移的大小。值得注意的是，表示电位移的大小。值得注意的是，电位移线起始于正的自由电荷，电位移线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。已知各向同性介质的极化强度已知各向同性介质的极化强度 ，求得，求得 令令 ，式式中中 称称为为介介质质的的介介电电常常数数。已已知知极极化化率率 e 为为正正实实数数，因因此此，一一切切介质的介电常数均大于真空的介电常数。介质的介电常数均大于真空的介电常数。则则第32页/共51页 实实际际中中经经常常使使用用介介电电常常数数的的相相对对值值，这这种种相相对对值值称称为为相相对对介介电电常常数，以数，以 r 表示，其定义为表示，其定义为可可见见，任任何何介介质质的的相相对对介介电电常常数数总总是是大大于于1。下下表表给给出出了了几几种种介介质质的的相对介电常数的近似值。相对介电常数的近似值。介介 质质介介 质质空 气1.0石 英3.3油2.3云 母6.0纸1.34.0陶 瓷5.36.5有机玻璃2.63.5纯 水81石 腊2.1树 脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr第33页/共51页平板电容器中有一块介质平板电容器中有一块介质,画出画出D D、E E 和和 P P 线分布。线分布。D D、E E 与与 P P 三者之间的关系三者之间的关系D D线线E E线线P P线线D D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E E 线由正电荷出发，终止于负电荷；线由正电荷出发，终止于负电荷；P P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。第34页/共51页 对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，内外导体之间，内外导体之间填充介质的介电常数为填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电场强度。试求单位长度内外导体之间的电场强度。ab解：解：由于电场强度一定垂直于导体表面，因由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。又因结构对称，可以应用高斯定律。设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q，围绕，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面内导体作一个圆柱面作为高斯面S第35页/共51页 为了讨论边界上某点电场强度的切为了讨论边界上某点电场强度的切向分量的变化规律，向分量的变化规律，围绕该点且紧贴边围绕该点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为l，高度为，高度为h，则，则电场强度沿该矩形曲电场强度沿该矩形曲线的环量为线的环量为 为了求出边界上的场量关系，必须令为了求出边界上的场量关系，必须令 h 0，则线积分，则线积分 2.两种介质的边界条件两种介质的边界条件 E2E11324lh 1 2et 由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的这种变化规律称为静电场的边界条件边界条件。为了方便起见，通常分别讨论。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。第36页/共51页 为了求出边界上某点的场量关系，必须令为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够短，以致于在足够短，以致于在l内可以认为场量是均匀的，则上述环量为内可以认为场量是均匀的，则上述环量为 式式中中E1t 和和 E2t 分分别别表表示示介介质质和和中中电电场场强强度度与与边边界界平平行行的的切切向向分分量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得此式表明，此式表明，在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等相等，或者说，或者说，电场强度的切向分量是连续的电场强度的切向分量是连续的。对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 此式表明，此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电位移的切电位移的切向分量是不连续的向分量是不连续的。第37页/共51页hS 为为了了讨讨论论电电位位移移的的法法向向分分量量变变化化规规律律，在在边边界界上上围围绕绕某某点点作作一一个个圆圆柱柱面面，其其高高度度为为h，端端面面为为S。那那么么根根据据介介质质中中的的高高斯斯定定律律，得得知知电电位位移移通通过过该该圆圆柱柱面面的的通通量量等于圆柱面包围的自由电荷，即等于圆柱面包围的自由电荷，即D2D1令令 h 0，则则通通过过侧侧面面的的通通量量为为零零，又又考考虑虑到到 S 必必须须足足够够小小，则上述通量应为则上述通量应为式中式中D1t 及及 D2t 分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。边界法线的方向边界法线的方向 en 规定为由介质规定为由介质指向介质指向介质。1 2en第38页/共51页求得求得式式中中 s 为为边边界界上上存存在在的的表表面面自自由由电电荷荷的的面面密密度度。考考虑虑到到在在两两种种介介质质形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此此式表明，此式表明，在两种介质边界上在两种介质边界上电位移的法向分量相等电位移的法向分量相等，或者说，或者说，电电位移的法向分量是连续的位移的法向分量是连续的。对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 此式表明，此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的电场强度的法向分量不连续的法向分量不连续的。还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为 动画演示动画演示第39页/共51页4.介质与导体的边界条件介质与导体的边界条件 静静电电平平衡衡：当当孤孤立立导导体体放放入入静静电电场场中中以以后后，导导体体中中自自由由电电子子发发生生运运动动，电电荷荷重重新新分分布布。由由于于自自由由电电子子逆逆电电场场方方向向反反向向移移动动，因因此此重重新新分分布布的的电电荷荷产产生生的的二二次次电电场场与与原原电电场场方方向向相相反反，使使导导体体中中的的合合成成电电场场逐逐渐渐削削弱弱，一一直直到到导导体体中中的的合合成成电电场场消消失失为为零零，自自由由电电子子的的运运动动方方才才停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为静电平衡。停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为静电平衡。由由此此可可见见，导导体体中中不不可可能能存存在在静静电电场场，导导体体内内部部不不可可能能存存在在自自由由电电荷荷的的体体分分布布。所所以以，当当导导体体处处于于静静电电平平衡衡时时，自自由由电电荷荷只只能能分分布布在在导导体体的的表表面面上上。因因为为导导体体中中不不可可能能存存在在静静电电场场，因因此此导导体体中中的的电电位位梯梯度度为为零零，这这就就意意味味着着导导体体中中电电位位不不随随空空间间变变化化。所所以以，处处于于静静电电平平衡衡状状态态的的导导体体是一个等位体，是一个等位体，导体表面是一个等位面导体表面是一个等位面。第40页/共51页 既既然然导导体体中中的的电电场场强强度度为为零零，导导体体表表面面的的外外侧侧不不可可能能存存在在电电场场强强度的切向分量。换言之，度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面电场强度必须垂直于导体的表面，即，即介质E,D导体en 导体表面存在的表面自由电荷面密导体表面存在的表面自由电荷面密度为度为 或写为或写为式中式中 为导体周围介质的介电常数。为导体周围介质的介电常数。已已知知导导体体表表面面是是一一个个等等位位面面，因因 ，求求得得表表面面电电位位与与电电荷荷的关系为的关系为 考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得分界面考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得分界面束缚电荷面密度为束缚电荷面密度为 第41页/共51页 静静电电屏屏蔽蔽：当当封封闭闭的的导导体体空空腔腔中中没没有有自自由由电电荷荷时时，即即使使腔腔外外存存在在电电荷荷，腔腔中中也也不不可可能能存存在在静静电电场场。这这就就意意味味着着封封闭闭的的导导体体腔腔可可以以屏屏蔽蔽外外部静电场，这种效应称为部静电场，这种效应称为静电屏蔽静电屏蔽。当然，总电通为零可能是由于闭合面内部当然，总电通为零可能是由于闭合面内部没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违背了静电场的基本特性。背了静电场的基本特性。此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。由由于于导导体体内内部部没没有有静静电电场场，因因此此若若沿沿腔腔壁壁内内部部作作一一个个闭闭合合曲曲面面，通通过其表面的电通一定为零。过其表面的电通一定为零。第42页/共51页 例例 已知半径为已知半径为r1 的导体球携带的正电量为的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径，该导体球被内半径为为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1，球壳的外半径为球壳的外半径为 r3，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为为r4，介电常数为，介电常数为2，外部区域为真空，如左下图示。，外部区域为真空，如左下图示。试求：试求：各区域中的电场强度；各区域中的电场强度；各个表面上的自由电荷各个表面上的自由电荷 和和 束缚电荷。束缚电荷。解：解：由于结构为球对称，场也是球对称由于结构为球对称，场也是球对称的，应用高斯定理求解十分方便。取球面的，应用高斯定理求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。面，因而也垂直于高斯面。r1r2r3r4 0 2 1第43页/共51页 在在 r r1及及 r2r r3 区域中，因导区域中，因导体中不可能存静电场，所以体中不可能存静电场，所以E=0。在在 r1 r r2 区域中，区域中，得得 r1r2r3r4 0 2 1同理，在同理，在 r3r r4 区域中，求得区域中，求得由于由于第44页/共51页 根据根据 及及 ，可以求得各个表面上的自由，可以求得各个表面上的自由电荷及束缚电荷面密度分别为电荷及束缚电荷面密度分别为r1r2r3r4 0 2 1r=r1:r=r4:r=r2:r=r3:第45页/共51页2.5 泊松方程泊松方程 在静电场的情况下，先求解电位在静电场的情况下，先求解电位，再求电场强度是一种基本求解方再求电场强度是一种基本求解方法。法。建立电位的微分方程。对于各向同性线性介质区域，将建立电位的微分方程。对于各向同性线性介质区域，将 和和 代入代入 中，可得中，可得再考虑均匀介质条件，再考虑均匀介质条件，为常数，有为常数，有 称为电位的称为电位的泊松方程泊松方程。对于的空间区域，微分方程为。对于的空间区域，微分方程为 称为电位的称为电位的拉普拉斯方程拉普拉斯方程。第46页/共51页电位的微分方程的适应范围是在各向同性、线性、均电位的微分方程的适应范围是在各向同性、线性、均匀介质中，不含介质分界面。对于不同的介质区域，应匀介质中，不含介质分界面。对于不同的介质区域，应分别建立有不同介电系数的电位微分方程。分别建立有不同介电系数的电位微分方程。电位的微分方程包含了静电场的两个基本程电位的微分方程包含了静电场的两个基本程 、以及介质的构成方程以及介质的构成方程 ，求解电，求解电位的微分方程，再用边界条件和介质分界面上的衔接条位的微分方程，再用边界条件和介质分界面上的衔接条件来确定通解中的待定系数。件来确定通解中的待定系数。电位泊松方程中电位泊松方程中 的是自由电荷体密度。自由面电的是自由电荷体密度。自由面电荷将在边界条件中予以体现。荷将在边界条件中予以体现。应注意：应注意：第47页/共51页U0d1d212ox平板电容器图解：解：场域空间有两种不同介质，要分成场域空间有两种不同介质，要分成两个区城来研究。令介电常数为两个区城来研究。令介电常数为 1 1的区城的区城中的电位为中的电位为 ，介电常数为，介电常数为 2 2的区域中的的区域中的电位为电位为 。它们分别满足拉普拉斯方程。它们分别满足拉普拉斯方程。由于极板的尺寸远大于由于极板的尺寸远大于 、，则电位仅，则电位仅为为x x坐标的函数，分区建立一维拉普拉斯坐标的函数，分区建立一维拉普拉斯方程。方程。例例 平板电容器的极板间有两层介质，第一层介质厚度平板电容器的极板间有两层介质，第一层介质厚度 cmcm，介，介电常数电常数 ；第二层介质的厚度；第二层介质的厚度 cmcm，介电常数，介电常数 。极。极板的尺寸远大于板的尺寸远大于 、，如图所示。设两极板间的电压为，如图所示。设两极板间的电压为U0=110V=110V，求两极板间电位及电场强度的分布。求两极板间电位及电场强度的分布。第48页/共51页相应的定解条件相应的定解条件对拉普拉斯方程积分两次，得对拉普拉斯方程积分两次，得解得解得第49页/共51页返回返回第50页/共51页感谢您的观看！第51页/共51页