高中数学导数及其应用生活中的优化问题举例 新人教选修.pptx

1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题.3.学会建立数学模型，并会求解数学模型.学习目标第1页/共42页栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠第2页/共42页 知识梳理 自主学习知识点一利用导数解决生活中的优化问题的步骤1.分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)；2.求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；3.比较函数在区间端点和在 f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.第3页/共42页答案思考(1)什么是优化问题？答案在生活中，人们常常遇到求使经营利润最大、用料最省、费用最少、生产效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.(2)优化问题的常见类型有哪些？答案费用最省问题，利润最大问题，面积、体积最大问题等.第4页/共42页知识点二解决优化问题的基本思路第5页/共42页思考解决生活中优化问题应注意什么？答案(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式；(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域；(3)在实际问题中，由 f(x)0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值(极小值)，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大值(最小值)；(4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，例如，长度、宽度应大于0，销售价格为正数等.返回答案第6页/共42页 题型探究 重点突破题型一利润最大问题解析答案例1某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量就会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元/件，0 x21)的平方成正比.已知每件商品的售价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数；第7页/共42页解析答案反思与感悟(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解对(1)中函数求导得f(x)18x2252x43218(x2)(x12).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072极小值极大值0 x12时，f(x)取得极大值.f(0)9 072，f(12)11 664，301218(元)，故定价为每件18元能使一个星期的商品销售利润最大.第9页/共42页解析答案第11页/共42页题型二面积、容积最值问题解析答案例2已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r，如果窗子的周长为10，求当半径r取何值时窗子的面积最大.反思与感悟第13页/共42页解析答案跟踪训练2如图，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|3 m，|AD|2 m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积；(3)若AN的长度不少于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.第17页/共42页题型三成本最省问题解析答案例3甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b0)；固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；第21页/共42页解析答案反思与感悟(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？第22页/共42页解析答案跟踪训练3工厂A到铁路的垂直距离为20 km，垂足为B，铁路线上距离B处100 km的地方有一个原料供应站C，现在要从BC段上的D处向工厂修一条公路，使得从原料供应站C到工厂A所需的运费最省，已知每千米的铁路运费与公路运费之比为35，则D点应选在何处？第26页/共42页解析答案因没有注意问题的实际意义而出错易错点例4某船由甲地逆水行驶到乙地，甲、乙两地相距s(km)，水的流速为常量a(km/h)，船在静水中的最大速度为b(km/h)(ba)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，则船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？返回防范措施易错易混第29页/共42页 当堂检测123451.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为()解析答案第34页/共42页2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()解析答案12345第36页/共42页3.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为_元时可获得最大收入.解析答案1 800解析设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数f(x)(1 00050 x)(50 x)100(50 x)，f(x)1 600100 x，当x16时，f(x)取最大值，故把月租金定为1 800元时收入最大.12345第38页/共42页解析答案123454.某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨.30解析设总运费与总存储费之和为y万元，第39页/共42页解析答案5.制作容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时最省材料.123454解析设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，令S(x)0，解得x8，第40页/共42页课堂小结返回1.解应用题的思路方法：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定答案.2.解决最优化问题首先要确定变量之间的函数关系，建立函数模型.要熟记常见函数模型，如二次函数模型、三次函数模型、分式函数模型、幂指对模型、三角函数模型等.3.除了变量之间的函数关系式外，实际问题中的定义域也很关键，一定要结合实际问题的意义确定定义域.第41页/共42页