高一数学寒假课程第7讲-函数的综合应用.doc

寒假课程·高一数学第七讲 函数的综合应用一、知识梳理函数的综合应用函数的解析式函数的图象和性质函数的值域和最值函数与方程函数与不等式函数与实际问题（数学模型）二、方法归纳1. 函数综合应用的重点函数的综合应用重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的思想和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，函数概念是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、不等式、初等函数等都是以函数为中心的代数.揭示函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理数、式、方程、不等式、直线与圆的方程等内容.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量生动的辩证统一，揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的思想与方法.因此，既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图，又要熟练地掌握函数图象的常规变换，体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一.认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数模型，求得问题的解决.函数思想方法的应用不但重要，而且广泛，必须强化函数建模思想的应用，学会运用函数建模的思想方法解决实际问题.2.高中上学期函数的应用（1）函数图象、性质与最值的综合应用；（2）函数与方程、不等式的综合应用；（3）函数模型的综合实际应用. 三、典型例题精讲【例1】已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则（ ）A.         B.     C.      D.解析：由条件，由此解得，.所以，故选B技巧提示：这是函数的解析式与函数的奇偶性的综合，属于函数自身性质间的综合，难度不大，高考常作选择题.又例：设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）  A.+|是偶函数                B.-|是奇函数C.| +是偶函数               D.|- 是奇函数解析：因为是R上的奇函数，所以是R上的偶函数，从而是偶函数，故选A.【例2】已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是_.解析： 单调递减且值域为(0，1，单调递增且值域为（，1），有两个不同的实根，则实数的取值范围是（0，1）.技巧提示：这是函数与方程的综合.根据函数的单调性可以作出函数的简图，数形结合时，把方程视为常数函数，问题被等价转换为两函数图象有两交点，容易得到的取值范围.又例：已知函数，若，则实数的值等于（）A.3 B.1 C.1 D.3解析：显然，问题转化为求方程的解.由函数，得，.故选A.再例: 设函数， 若，则实数（）A.4或2 B.4或2 C.2或4 D.2或2解析：由，得；由，得，.故选B.【例3】函数的值域是（ ）A. B.C. D.解析：0，即 .故选C.技巧提示：由求函数的值域，转化为解简单的指数不等式，题目并不难.若改为函数的定义域，有0，即.而函数是上的增函数，定义域为.又例：设函数则满足2的的取值范围是（）A. 1，2 B. 0，2 C. 1，） D. 0，）解析：2时，01； 又2时，1.满足2的的取值范围是0，），故选D.再例: 若，则定义域为（ ）A. B. C. D. 解析：由解得，故，选A.【例4】函数，（1）若的定义域为，求实数的取值范围.（2）若的定义域为2，1，求实数的值.解析：（1）若，即.当1时，定义域为R，适合；当1时，定义域不为R，不符合. 若，记为二次函数.定义域为R，对恒成立.；综合、得的取值范围. （2）命题等价于不等式的解集为2，1，显然.且、是方程的两根，解得的值为2.技巧提示：这是二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的综合问题，需要灵活地进行等价转换.在第一问中，需要对进行分类讨论.又例：设函数，求使成立的的取值范围.解析：由于是增函数，等价于（1）当1时，2，式恒成立.（2）当11时，2，式化为 2，即1.（3）当1时，2，式无解.综上的取值范围是.再例：设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .解析：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立.当时函数取得最小值，所以，即，解得或【例5】已知.（1）求的定义域；（2）证明为奇函数；（3）求使0成立的的取值范围.解析：（1），即.，即的定义域为.（2），为奇函数. （3）当1时，0，则，即，.因此，当1时，使的的取值范围为（0，1）.当时，由，有，则，解得.因此，当时，使的的取值范围为（1，0）.技巧提示：（1）、（2）小题为对给定函数性质的综合研究，需要对基本初等函数性质的牢固掌握；（3）小题是函数与不等式的综合问题，需要利用函数的性质对不等式进行等价转换.又例：已知函数， 且， （1）求函数的定义域； （2）求使的的取值范围.解析：（1）由0且，得 0，函数的定义域为. （2）由0，知当1时，1；当时，1且0.【例6】设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有.（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.解析：（）由于在闭区间0，7上，只有，故.若是奇函数，则，矛盾.所以不是奇函数.由，从而知函数是以为周期的函数.若是偶函数，则.又，从而.由于对任意的（3，7上，又函数的图象的关于对称，所以对区间7，11）上的任意均有.所以，这与前面的结论矛盾. 所以，函数是非奇非偶函数.（）由第（）小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，且.由于函数是以为周期的函数，故.所以在区间2000，2000上，方程共有个解.在区间2000，2010上，方程有且只有两个解.因为，所以，在区间2000，2005上，方程有且只有两个解.在区间2010，2000上，方程有且只有两个解.因为，所以，在区间2005，2000上，方程无解.技巧提示：函数图象的对称性与函数的奇偶性和函数的周期性密切相关.第（1）小题需要综合利用所给函数的对称性及零点，再根据奇偶函数的特征作出判断.事实上由就能判断不是奇函数.又如果的图象关于对称，那么因为的图象关于和对称，可知4，10，14都是函数的周期.于是由得，这就产生了矛盾，所以的图象不能关于对称，不是偶函数.第（2）小题是根据函数周期性和函数在一个周期内的零点，数出函数在给定区域内的零点.又例：偶函数的定义域为，且对于任意，都有，又当时，则当时， .解析：偶函数满足，得的周期为4.又偶函数当时，得时，.当时，.综上所述，方程个解。【例7】如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长和腰长间的函数式，并求出它的定义域.解析：如图所示，AB2R，C、D在O的半圆周上设腰长ADBC，作DEAB，垂足为E，连结BD，那么ADB是直角，由此RtADEABD.2RE即所以即再由解得周长与腰长的函数式为： ，定义域为：.技巧提示：从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形.B CD又例：用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2，求此框架的面积与的函数式，并写出它的定义域.解析：如图设，则CD弧长，于是AD ， 因此，再由 解之得.即函数式是：，定义域是：.四、课后训练1.函数的定义域是 （     ）  A.    B.         C.    D.2.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.3.设是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和：对任意，；.则下列等式恒成立的是（     ）A. B.C. D.4.已知，（是常数，2），且.（1）求；（2）若.求.5.已知是定义在上的奇函数，且1，若， 时，有0.（1）判断函数在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：.6.已知函数.（1）求证：；（2）若1，求的值. 7.已知二次函数为常数，且满足条件：，且方程有等根.（1）求的解析式；（2）函数在的最大值为，求解析式.8.一家报刊摊点从报社进报的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还可以以每份0.04元的价格退回报社，在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天能卖出250份.但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多赚得多少元.五、参考答案1.2.D3.4.解析 （1）， 于是，有， ，解之，.（2）， ，. 5.（1）在1，1上是增函数，证明（略）（2）不等式的解为 ，1）.6.解析：（1）；又 .（2），又.11.7.答案：（1）.（2） 8.解析：设每天从报社买进份（250400），则每月可销售（2010×250）份，退回报社10（x250）份，又知卖出的报纸每份获得利润为0.08元，退回的报纸每份亏损0.08元.依题意，每月获得的利润为在区间250，400上是增函数.x=400时，取得最大值，最大值为720.12