人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学ppt课件.ppt

2.2 第1课时等差数列的概念与通项公式2.2 第2课时等差数列的性质2.5第1课时等比数列的前n项和2.5 第2课时数列求和2.1数列的概念与简单表示法2.3等差数列的前n项和2.4等比数列第二章 数列目标定位重点难点1.通过实例，了解数列的概念2理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种分类3了解数列的表示方法，理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列前几项.重点：数列的表示方法难点：递推公式的含义.1数列的概念(1)定义：按照一定_排列着的一列数称为数列(2)项：数列中的_叫做这个数列的项a1称为数列an的第1项(或称为_)，a2称为第2项，an称为第n项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为_顺序每一个数首项an2数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数_的数列无穷数列项数_的数列按项的变化趋势递增数列从第_项起，每一项都_它的前一项的数列递减数列从第_项起，每一项都_它的前一项的数列常数列_的数列摆动数列从第_项起，有些项_它的前一项，有些项_它的前一项的数列有限无限2大于2小于各项相等2大于小于3数列的通项公式如果数列an的第n项与_之间的关系可以用_来表示，那么就把这个式子叫做这个数列的通项公式4数列的递推关系式如果已知数列an的_(或前几项)且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的_(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式序号n一个式子第一项前一项an11下列有关数列的说法正确的是()同一数列的任意两项均不可能相同；数列1,0,1与数列1,0，1是同一个数列；数列中的每一项都与它的序号有关ABCD【答案】D2下面四个结论：数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集1,2,3，n)上的函数数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点数列的项数是无限的数列通项的表示式是唯一的其中正确的是()ABCD【答案】A3已知ann(n1)，以下四个数中，哪个是数列an中的一项()A18B21C25D30【答案】D探求数列的通项公式【解题探究】这样的问题需要由特殊到一般进行归纳，认真观察，深入分析内在规律，如：什么在变，什么不变，尤其是变化的量与相应的项数n有何关系，有时也可以以一些简单的数列为依据【方法规律】已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)负号用(1)n与(1)n1或(1)n1来调节，这是因为n和n1奇偶交错；(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系；(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列(后面专门学习)和其他方法解决；(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法【例2】已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由【解析】(1)an3n228n，a434228464，a636228660.数列通项公式的应用【方法规律】通项公式的简单应用主要包括的两个方面：(1)由通项公式写出数列的前几项主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值；(2)判断一个数是否为该数列中的项可由通项公式等于这个数解出n，根据n是否有正整数解便可确定这个数是否为数列中的项【解题探究】将已知等式左边分解因式，以便找出前后项的明显关系数列的递推公式【规律总结】由递推关系式anf(n)an1求数列的通项公式时一般采用累乘法除此外，还应注意原递推公式变形后的数列是否为某个特殊数列周期数列问题是数列中的一种重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推关系中，解决的关键在于利用递推公式算出若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解【示例】已知数列an的通项公式为an2n221n，求该数列中数值最大的项忽视了数列中自变量n只能是正整数而致错【警示】应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可1判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项是否相同2通项公式如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中的n就可以求出数列中的指定项，如果给出数列中的前几项，也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立，并不知道注意：一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数列不存在通项公式3递推公式递推公式是表示数列的一种重要方法，是指已知数列an的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出a1或a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项注意：并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存在递推公式，递推公式也不一定唯一特别是依据数列前几项寻求递推关系，递推公式可能不止一个1数列1，3,5，7,9，的一个通项公式an为()Aan2n1Ban(1)n(12n)Can(1)n(2n1)Dan(1)n(2n1)【答案】B【解析】当n1时，a11，排除C，D；当n2时，a23，排除A故选B【答案】12.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式目标定位重点难点1.通过实例，理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列2掌握等差数列的通项公式及变形公式.重点：理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列难点：等差数列通项公式的应用.1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于_常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示2等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么_叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是_同一个公差dA 3等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列an的通项公式为an_.特别注意：(1)公式中有四个量，即an，a1，n，d.已知其中任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量(2)等差数列的通项公式可推广为anam(nm)d(nm，m，nN*)由此可知已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一项a1(n1)d 1已知数列3,9,15，3(2n1)，那么81是它的()A第12项B第13项C第14项D第15项【答案】C2若数列an的通项公式为ann5，则此数列是()A公差为1的等差数列B公差为5的等差数列C首项为5的等差数列D公差为n的等差数列【答案】A3等差数列1，1，3，5，89，它的项数是()A92B47C46D45【答案】C4 在 等 差 数 列 an中，a1 a5 8，a4 7，则 a5_.【答案】10【例1】判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中an3n2；(2)在数列an中ann2n.【解析】(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列等差数列的定义及判定【方法规律】定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an1an；(2)对差式进行变形；(3)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列已知等差数列an的首项为a1，公差为d，数列bn中，bn3an4，问：数列bn是否为等差数列？并说明理由【解析】数列bn是等差数列理由：数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，an1and(nN*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根据等差数列的定义，数列bn是等差数列【解题探究】运用等差数列的通项公式及解方程组的方法求解等差数列的通项公式【解题探究】由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明等差数列的证明【方法规律】证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)定义法，即证an1an常数；(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2anan1an1(n2)构造法解题1对于等差数列定义的理解要注意：(1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”；(3)“同一个常数d”，d是等差数列的公差，即danan1，d可以为零，当d0时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列；(4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an1and(常数)(nN*)an是等差数列2在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2anan1an1.实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2ananmanm(m，nN*，mn)1在等差数列an中，a3a7a101，a11a421，则a7()A7B10C20D30【答案】C【解析】设等差数列an的公差为d，a3a7a101，a11a421，a1d1,7d21，解得d3，a12.则a726320.故选C2如果三个数2a,3，a6成等差数列，则a的值为()A1B1C3D4【答案】D【解析】三个数2a,3，a6成等差数列，2aa66，解得a4.故选D3若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列 B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列 D公差为9的等差数列【答案】C【解析】令bna2n12a2n，则bn1a2n12a2n2，bn1bna2n12a2n2(a2n12a2n)(a2n1a2n1)2(a2n2a2n)2d4d6d616.故选C4(2019年贵州遵义期末)已知在数列an中，a11，an1anan1an，则数列通项an_.2.2等差数列第2课时等差数列的性质目标定位重点难点1.掌握等差数列的定义和通项公式2探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问题.重点：等差数列的性质难点：等差数列性质的应用.1等差数列an的一些简单性质(1)对于任意正整数n，m都有anam_.(2)对任意正整数p，q，r，s，若pqrs，则apaq_aras.特别地对任意正整数p，q，r，若pq2r，则apaq_.(3)对于任意非零常数b，若数列an成等差数列，公差为d，则ban也成等差数列且公差为_(nm)d2arbd(4)若an与bn都是等差数列，cnanbn，dnanbn，则cn，dn都是_(5)等差数列an的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列如a1，a4，a7，a3n2，成等差数列2等差数列的单调性等差数列an的公差为d，则当d0时，等差数列an是常数列；当d0时，等差数列an是单调递减数列；当d0时，等差数列an是单调递增数列等差数列2在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()A12B16C20D24【答案】B【解析】因为数列an是等差数列，所以a2a10a4a816.3已知数列an中，a510，a1231，则其公差d_.【答案】34在等差数列an中，已知a22a8a14120，则2a9a10的值为_【答案】30【解析】a2a142a8，a22a8a144a8120，a830.2a9a10(a8a10)a10a830.【例1】在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A1B0C1D6【解题探究】注意等差数列通项公式及性质的应用【答案】B利用等差数列的通项公式或性质解题【解析】方法一：设公差为d，a4a22d，即242d，d1，a6a24d0.方法二：由等差数列的性质可知a2，a4，a6成等差数列，所以2a4a2a6，即a62a4a20.【方法规律】等差数列的性质：对任意正整数p，q，r，s，若pqrs，则apaqaras.在牢记等差数列的通项公式时，灵活运用等差数列的性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的在等差数列an中，若a1a2a332，a11a12a13118，则a4a10()A45B50C75D60【答案】B【解析】a1a2a33a232，a11a12a133a12118，3(a2a12)150，即a2a1250.a4a10a2a1250.故选B【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数【解题探究】此题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键灵活设元求解等差数列【方法规律】常见设元技巧：(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为ad，ad，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为ad，a，ad，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a3d，ad，ad，a3d，公差为2d.已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列【例3】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解题探究】在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量等差数列的实际应用【解析】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120(n2，nN*)，每年获利构成等差数列an且首项a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n2200，解得n11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损【方法规律】在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决【示例】已知等差数列an的首项为a1，公差为d且a1126，a5154，则该数列从第几项开始为正数？忽略了对“从第几项开始为正数”的理解而致错【错因】错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n24时，a240.1利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示2若mnpq，则amanapaq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.1等差数列an中，a6a916，a41，则a11()A64B30C31D15【答案】D【解析】69411，a4a11a6a916，a1115.2如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7()A14B21C28D35【答案】C【解析】a3a4a53a412，a44.a1a2a77a428.3已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()Aa1a1010Ba2a1000Ca3a1000Da510【答案】D【解析】由题设a1a2a3a101101a510，a510.2.3等差数列的前n项和目标定位重点难点1.体会等差数列前n项和公式的推导过程2掌握等差数列前n项和公式，会应用公式解决实际问题3熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个求另外两个.重点：等差数列前n项和公式难点：等差数列前n项和公式的应用.1数列的前n项和对于数列an，一般地称a1a2a3an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sn_.2等差数列an的前n项和设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d，则 Sn _.a1a2an 1设等差数列an的前n项和为Sn，若2a86a11，则S9的值等于()A54 B45C36 D27【答案】A3(2019年安徽合肥模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a81，S160，当Sn取最大值时n的值为()A7B8C9D10【答案】B4(2019年山东泰安校级月考)在等差数列an中，已知a2a718，则S8等于_【答案】72【解题探究】合理地使用前n项和公式，注意其变形，应用方程的思想有关等差数列的前n项和的基本运算【方法规律】a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用【例2】等差数列an的前n项和为Sn，若S1284，S20460，求S28.【解题探究】(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1和d，进而求得S28；(2)因为数列不是常数列，因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零，设Snan2bn，代入条件S1284，S20460，可得a，b，则可求S28.等差数列前n项和公式的灵活运用已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_.【答案】21【解析】an，bn都是等差数列，2a3a1a5,2b8b10b6.2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621.等差数列前n项和性质的应用【规律总结】求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程【例4】在等差数列an中，a125，S17S9，求前n项和Sn的最大值等差数列前n项和的最值已知an是一个等差数列且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值【示例】在等差数列an中，已知a160，a1130，求数列|an|的前n项和思路点拨：本题实际上是求数列an各项绝对值的和由已知求得通项an后，可解an0(或an0)来确定这个数列从首项起共有多少项是负数，然后分段求出前n项绝对值的和解后反思：(1)已知数列an，求数列|an|的前n项和，关键是分清n取什么值时an0或an0.(2)在求|an|的前n项和时，要充分利用an的前n项和公式，这样可简化解题过程(3)当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示1等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项及前n项和；(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好1若等差数列an的前5项和S525且a23，则a7等于()A12B13C14D15【答案】B【解析】由S55a325，a35.da3a2532.a7a25d31013.2在等差数列an中，Sn为其前n项和，若a3a4a825，则S9()A60B75C90D105【答案】B3已知数列的通项公式an5n2，则其前n项和Sn_.4(2019年湖北武汉期末)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n等于_【答案】20【解析】a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当Sn取得最大值时，n20.2.4等比数列第1课时等比数列(一)目标定位重点难点1.理解等比数列的定义，能用定义判定一个数列是否为等比数列2掌握等比数列的通项公式，体会它与指数函数的关系3掌握等比中项的定义，能用等比中项的定义解决问题.重点：等比数列的定义、等比数列的通项公式难点：等比数列的通项公式的应用.1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(q0)同一常数 公比 q 等比数列 3等比数列的通项公式等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，则通项公式为：an_.a1qn1【答案】C【答案】B3已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7()A64B81C128D243【答案】A【解析】an是等比数列，a1a23，a2a36，设等比数列的公比为q，则a2a3(a1a2)q3q6，q2.a1a2a1a1q3a13，a11.a7a1q62664.4已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84【答案】B【解析】a13，a1a3a521，33q23q421，1q2q47，解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.【例1】在等比数列an中，已知a39，a6243，求a5.等比数列通项公式【方法规律】a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解关于a1和q的求法通常有两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算已知等比数列an中，a1a2a37，a1a2a38，求an.【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项等比中项的应用【方法规律】本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项等差数列an的公差不为零，首项a11，a2是a1和a5的等比中项，则数列an的前10项之和是()A90B100C145D190【答案】B【例3】已知数列an满足a11，an12an1，bnan1(nN*)(1)求证：bn是等比数列；(2)求an的通项公式等比数列的判定【分析】求an的通项公式可考虑构造辅助数列的方法构造等比数列的技巧3在等比数列an中，(1)a5a115，a4a26，求a3；(2)a2a518，a3a69，求an.2.4等比数列第2课时等比数列(二)目标定位重点难点1.结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质2理解等比数列的性质3掌握等比数列的性质并能综合应用.重点：等比数列的性质难点：等比数列性质的综合应用.qnmaman性质4在等比数列an中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1ana2an1a3an2性质5在等比数列an中，序号成等差数列的项仍成等比数列【答案】C【解析】a5a6a1q4a1q5q4(a1a2)48，又a1a23，q416.则a9a10q8(a1a2)2563768.故选C4已知等差数列an和等比数列bn满足：a1b13，a2b27，a3b315，a4b435，则anbn_(nN*)【答案】3n12n【解析】a1b13，a2b2a1db1q7，a3b3a12db1q215，a4b4a13db1q335，得，4db1(q1)，得，8db1q(q1)，得，20db1q2(q1)，解方程得d2，q3，b11，a12，anbn3n12n.【例1】在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124且公比为整数，求a10.【解题探究】利用若mnkl，则amanakal解题 等比数列性质的应用【方法规律】在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，再求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知和隐含的条件各项为正数的等比数列an中，a4a78，则log2a1log2a2log2a10()A5B10C15D20【答案】C【解析】由等比数列的性质，得a1a10a2a9a4a78，log2a1log2a2log2a10log2(a1a2a10)log28515.故选C【例2】已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两数之积为128，求这四个数【解题探究】求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数设未知数时，可以根据前三个数成等差数列来设，也可以依据后三个数成等比数列来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷对称法设未知项三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数【例3】(2019年上海期末)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数的年增长率为4.9.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？等比数列的实际应用【解析】(1)今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(14.9)101.05b.1年后的设备为a(110%)x1.1ax，2年后的设备为(1.1ax)(110%)x1.12a1.1xx1.12ax(11.1)，【方法规律】数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2kB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后_分钟，该病毒占据内存64MB(1MB210kB)【答案】45【解析】由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64MB时自身复制了n次，即22n64210216，解得n15，从而复制的时间为15345分钟【示例】在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积利用等比中项性质时忽视符号判断【错因分析】该解法没有正确判断a3的符号，在求等比数列的各项时，要注意正负号的选择1对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列【答案】D【解析】由等比数列的性质得a3a9a0，a3，a6，a9一定成等比数列故选D2设由正数组成的等比数列公比q2且a1a2a30230，则a3a6a9a30等于()A210B215C216D220【答案】D3一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4且所有项的积为64，则该数列共有()A6项B8项C10项D12项【答案】D4已知等差数列an的公差不为零，a125且a1，a11，a13成等比数列，则a1a4a7a28_.【答案】202.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和目标定位重点难点1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程2能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.重点：等比数列的前n项和公式难点：能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.等比数列前n项和公式等 比 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn，当 公 比 q1时，Sn_；当q1时，Sn_.na1【答案】B2等比数列an的前n项和Sn3na，则a的值为()A3B0C1D任意实数【答案】C基本运算【方法规律】在等比数列an的五个基本量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以列方程组求解正项等比数列an中，a24，a416，则数列an的前9项和等于_【答案】1 022【例2】设an是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()AXZ2YBY(YX)Z(ZX)CY2XZDY(YX)X(ZX)【答案】D等比数列前n项和的性质【解析】由题意知SnX，S2nY，S3nZ，又an是等比数列，Sn，S2nSn，S3nS2n为等比数列，即X，YX，ZY为等比数列，(YX)2X(ZY)，整理得Y2XYZXX2，即Y(YX)X(ZX)故选D【方法规律】等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法前n项和公式的应用【方法规律】等比数列的定义、通项公式及前n项和公式经常融进各类题型中，应熟练掌握，灵活应用【示例】以数列an的任意相邻两项为横、纵坐标的点Pn(an，an1)(nN*)均在一次函数y2xk的图象上，数列bn满足bnan1an(nN*)且b10.(1)求证：数列bn是等比数列；(2)设数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若S6T4，S59，求k的值数列与函数的综合应用【分析】(1)本题考查等比数列与函数知识由点Pn(an，an1)在一次函数y2xk的图象上，结合bnan1an，求出bn与bn1之间的关系；(2)利用(1)中得到的结论求出Sn，Tn及其关系后利用S6T4，S59，求k的值前n项和公式及应用(1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可利用前n项和公式解与之有关的实际问题；(2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的应用，同时要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字母时，要讨论【答案】D【答案】C【解析】a33S22，a43S32，等式两边分别相减得a4a33a3即a44a3，q4.3若等比数列an的前n项和Sna3n2，则a2()A4B12C24D36【答案】B【解析】Sna3n2，a1S1a3123a2，a2S2S1(9a2)(3a2)6a，a3S3S2(27a2)(9a2)18a.an为等比数列，(6a)2(3a2)18a，解得a2或a0(舍去)a26a12.故选B4已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则a1_.【答案】22.5等比数列的前n项和第2课时数列求和目标定位重点难点1.掌握数列求和的方法2掌握分组转化法、错位相减法、裂项相消法的综合应用.重点：数列求和的方法难点：数列求和方法的综合应用.1分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解3错位相减法若数列an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项的和时，常常采用将anbn的各项乘以公比q，然后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法1已知数列an的前n项和为Snn25n2，则数列|an|的前10项和为()A56 B58C62 D60【答案】D3已知等比数列的前n项和Sn4na，则a的值等于()A4B1C0D1【答案】B【解析】等比数列的前n项和Sn4na，a1S14a，a2S2S1(16a)(4a)12，a3S3S2(64a)(16a)48，12248(4a)，解得a1.故选B4在数列an中，a11，a22且an 2an1(1)n(nN*)，则a1a2a3a51_.【答案】676【例1】在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，求bn的前n项和Sn.分组转化求和【解析】(1)设等差数列an的公差是d.依题意a3a8(a2a7)2d6，从而d3.所以a2a72a17d23，解得a11.所以数列an的通项公式为an3n2.【方法规律】如果一个数列an的通项an是关于n的多项式或分式、根式或其他形式的函数时，这个数列的和又不能直接运用等差数列、等比数列及其他常用公式求和时，我们可以采用“化整为零，各个击破”的数学思想，将数列an的通项经过适当变形进行分解，使之转化为运用公式法能求解的基本数列的求和问题，从而使问题获解已知数列1,12,1222，12222n1，.(1)求其通项公式an；(2)求这个数列的前n项和Sn.【解题探究】(1)利用等比数列的通项公式及其前n项和的公式即可得出；(2)利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出裂项相消求和【例3】已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2ann.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(2n1)(an1)，求数列bn的前n项和Tn.【解题探究】(1)根据题中已知条件Sn2ann，得出n2时，Sn12an1(n1)，此两式作差整理即可得到an1所满足的关系，从而可求出数列an1的通项公式得到所求；(2)根据数列bn的通项可知利用错位相减法进行求和，从而可求出数列bn的前n项和Tn.错位相减求和(2)bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，Tn62(2223242n)(2n1)2n1.Tn2(2n1)2n1.【方法规律】使用错位相减法求和时，要注意对项数进行准确判断，含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.已知数列an是等差数列且a12，a1a2a312.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnan3n，求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)数列an是等差数列且a12，a1a2a312，22d22d12，解得d2.an2(n1)22n.【示例】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，数列bn满足an4log2bn3.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.错位相减法求和时项数处理不当致误【错因】(1)利用公式anSnSn1时，忽视n2这个限制条件，不对n1时进行验证；(2)用错位相减求和时，相减后的和式中的4(2222n1)，这是一个等比数列的前(n1)项的和，处理不当会出错【正解】(1)当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1.所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1.所以Tn3721122(4n1)2n1，2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n.2TnTn(4n1)2n34(2222n 1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.【点评】(1)利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，可将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n1项是一个等比数列(2)利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和数列求和应从通项公式入手，若无通项公式，则先求其通项公式，然后通过对通项公式的变形，转化为求等差数列或等比数列的前n项和4设数列an的通项公式为an22n1，令bnnan，则数列bn的前n项和Sn为_