chapt附录平面图形的几何性质材料力学实用.pptx

解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则例例I-2 求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：xC=0第1页/共15页1.极惯性矩：2.惯性矩：为图形对一点的极惯性矩；xydAxyr rO3.惯性积：为图形对x、y一对正交轴的惯性积；分别为图形对x、y轴的惯性矩；4.惯性矩与极惯性矩的关系：平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。I-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积第2页/共15页 解：平行x轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则 惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x、y、原点的转动惯量。例例I-3 求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。同理可得第3页/共15页 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到I=Ix+Iy，得到例例I-4 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩I。dCxydr rr 解：首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心O为r r处作宽度为dr r的薄圆环，其面积dA=2prprdr r，则第4页/共15页一、平行移轴公式一、平行移轴公式1.公式推导2.平行移轴公式平行移轴公式 b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。3.注意：xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积 二、组合图形的惯性矩：第5页/共15页OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：、，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy第6页/共15页例例I-5 求图示T型截面对形心轴的惯性矩。530530例例I-6 已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3 解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：第7页/共15页303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：再求截面对形心轴的惯性矩：yCzyCzC第8页/共15页一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式1.公式推导：2.转轴公式转轴公式：3.注意：a a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a a为正。I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩 第9页/共15页y1=|AC|dAy1x1y1x1a ayxa aDEBACOxy已知：Ix、Iy、Ixy、a a，求 、。=|AD|-|EB|=ycosa-a-xsina a利用三角变换，得到同理，利用：x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcosa a+ysina a得到第10页/共15页形心主惯性矩形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；2.主轴方位：利用主轴的定义惯性积等于零进行求解；主轴与x轴的夹角:由上式可求出相差90o的a a0，a a0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0；二、主惯性轴、主惯性矩二、主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念：主轴主轴(主惯性轴主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；形心主轴形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴第11页/共15页 与主轴方位的对应关系：求a a0时只取主值|2a a0|p p/2)，若IxIy，则由x轴转过a a0到达x0轴时，有 ；若IxIy，则 。注意，a a0为正值时应逆时针旋转。任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。3.主惯性矩大小：第12页/共15页12010101070例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0 x0a a0图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy如图将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为形心主惯性矩大小第13页/共15页 例例I-8 求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。xyaaCx1y1a a解：由于：，则同理，第14页/共15页感谢您的欣赏！第15页/共15页